Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 72
Текст из файла (страница 72)
11.2. Основы реализации многоальтернативных задач теории принятия решений в КЭНС Пусть существует некоторый источник, реализующий выбор одной из Х возможных гипотез я,, яз, ..., яд, которые образуют множество возможных гипотез С. Существует также некоторая система, которая для каждой гипотезы Рн вырабатывает сигнал яь который определяет вид гипотезы.
Однако выходной сигнал этой системы недоступен непосредственному наблюдению, иначе не было бы проблемы выбора решения. Наблюдению доступен только результат преобразования выходного сигнала системы некоторым устройством, таким, что между входом в, и его выходом у, существует только вероятностная связь. Устройство определяет вероятностный механизм перехода, т.е. преобразования сигнала я; в наблюдение уп Выходной сигнал можно рассматривать как точку из пространства наблюдений. По полученным наблюдениям с помощью правила выбора решения необходимо установить, какая из возможных гипотез использована в данном случае. 402 Рис. 11.4. Неопределенность зависимости гипотезы я, и наблюдения у,: а — функциональная связь наблюдения и гипотезы; б — функциональная связь множества наблюдений и гипотезы: в — стохастическая взаимосвязь части гипотез и множеств наблюдений: г — стохастическая взаимосвязь всех гипотез и множеств наблюдений Возможная неопределенность зависимости сигнала гн и наблюдения у; показана на рис.
11.4. Ситуация, изображенная на рис. 11.4, а, соответствует случаю, когда сигналу в, соответствует единственно возможное наблюдение у;, и в теории решений не рассматривается. Рис. ! 1.4, 6 иллюстрирует случай, когда сигналу в, соответствует целое множество возможных наблюдений у„но эти множества не имеют обших элементов. Проблемы статистического различия гипотез по результатам наблюдения в случаях а и б как таковой нет, поскольку всегда может быть принято правильное решение. В случае, показанном на рис.
11.4, и, наблюдение у, может соответствовать сразу нескольким гипотезам, так что в случае реализации одной из них для идентификации ее по результатам наблюдения нужно принять нетривиальное решение. Рис. 11.4, г иллюстрирует ситуацию, когда любое из наблюдений могло иметь место при любой из возможных гипотез. Правило выбора решения должно учитывать не только результаты наблюдений, но и априорные вероятное~и различных гипотез, а также условные вероятности, характеризующие вероятностный механизм перехода. На рис. !!.5 показаны элементы многоальтернативной задачи теории решений.
Например, если в качестве источника гипотнез рассматривается ЛА, а гипотеза, подлежащая определению, — это используемая в конкретном полете траектория из множества допустимых, то довольно часто можно утверждать, что траекто- 403 Принять Я~ Принять кя Принять Як Рис. 11.5. Элементы многоальтернативной задачи теории принятия решений рии с малыми отклонениями координат от заданных будут более вероятны, чем траектории с большими отклонениями.
Следовательно, допустимо задать априорные вероятности (распределение вероятностей) реализации различных траекторий из допустимого множества. Задание вероятностного механизма перехода будет эквивалентно заданию вида комбинации помехи и сигнала н плотности вероятностей помехи, статистические характеристики которой в общем случае зависят от того, какая из гипотез реализована в данном случае. В большинстве практических задач однократное наблюдение не позволяет обеспечить решение поставленной задачи. Возникает необходимость многократного повторения наблюдений, т.е. задача проверки гипотез по выборкам фиксированного объема — некоторой совокупности наблюдений из пространства наблюдений.
Именно такая задача должна быть решена при синтезе оптимальных поисковых алгоритмов работы корреляционно-экстремальных систем. В соответствии с рис. 11.5 основными объектами, фигурирующими в многоальтернативной задаче теории решений, будут: пространство гипотез С (или решений, так как решением является принятие одной из гипотез), элементами которого в общем случае являются вектоРы гипотез и' = [5„...,5ь[; пРостРанство сигналов о', элементами которого являются векторы сигналов а' = [вы ., ., вь); пространство наблюдений (выборок) У с элементами у' = [у~,..., уь[. Статистические характеристики помехи (шума измерений) предполагают известными.
Каждой реализации принятого наблюдения, искаженного шумом измерений, у е У должно быть поставлено в соответствие некоторое решение (гипотеза) я Е С. Это можно интерпретировать, как преобразование пространства У в С. Правило такого преобразования называется в теории решений стратегией решающего устройства, решающим правилом или решающей функцией Г(фу): У вЂ” > С.
При реализации 1-й гипотезы я, задана функция распределения плотности вероятности наблюдений на пространстве наблюдений 1',(у). Эта функция рассматривается как условная плотность вероятности выборки (совокупности наблюдений у) при реализации рассматриваемых гипотез. Если эти функции (Яу), 2 = 1,..., Х) полностью заданы и не зависят от неизвестных параметров, то гипотезы называются лросл2ыми, Если условные плотности вероятности выборки при рассматриваемых гипотезах зависят от неизвестного (в общем случае случайного) параметра, то гипотезы называются сложными.
Методы, используемые при решении задач теории проверки гипотез, рассмотрим последовательно для случаев проверки двух, а затем нескольких простых гипотез. Пусть выбор одной из двух возможных гипотез (у1 и яз) основывается на ре- У2 зультатах измерений у' = [у1,..., у„!. 1 При этом, каждую из выборок можно 1 1 представить как точку в и-мерном про- 1 странстве (рис. ! !.6). Стратегия принятия У2 О У1 решения может быть представлена как раз- У» деление пространства наблюдений на две области: У1 и Уз. Решающее устройство (см.
рис. ! !.5), выбирает гипотезу я1, когда Рис. 11.6. Разделение проточка, соответствующая выборке у, попа странства наблюдении У поверхностью решения С дает в область У1,т.е. когда у Е У1, и гипотезу уз, если у Е У2. Области У1 и Уз разделены некоторой поверхностью, называемой поверхностью решения д. При таком способе принятия решения можно сделать два рода ошибок: при реализации гипотезы я1 сделан вывод о наличии гипотезы уз и наоборот. Если можно в числах выразить цену этих ошибок или потери, нанесенные решающим устройством, то можно сформировать таблицу или ма- ~ 0 211 трицу потерь и11 (2, 2 = 1; 2); %г = . ВЕЛИЧИНа и1ц В (и1Ш 0 ней характеризует потери, связанные с принятием 2'-й гипотезы, когда на самом деле справедлива )-я гипотеза.
Пусть известны априорные вероятности реализации гипотез я1 и дз, равные соответственно у1 и дз, и условные плотности вероятности выборки у при реализации этих гипотез — Д(у) и Ь(у). Если при попадании выборки в область У1 принимается решение я1, то вероятность правильного решения при условии, что действи- 405 тельно имела место гипотеза я,, равна (11.1) Ры = .(1(УМУ У1 где ду = ду1дуг... г(у„, а вероятность неправильного решения при гипотезе я, Рг1 — Л (У) г(У. (11.2) Уг Аналогично вероятность правильного решения при гипотезе уг равна Ргг = гг(У)4У, (1 1.3) а вероятность неправильного решения при уг Ргг = .Гг(У)г(У (11.4) Уг Так как априорная вероятность реализации гипотезы у, равна ды то вероятность соответствующего наблюдения и правильного решения будет г)зры, т.
е. это вероятность ситуации, соответствующей левому верхнему элементу матрицы Ж. Вероятности ситуаций, соответствующих трем другим элементам, равны дзргп Чгрзг и Чгргг. Средние потери, или математические ожидания потерь, связанных с неправильным решением, будут равны сумме цен каждого неправильного решения, умноженного на вероятность такого решения, т. е. шггрг!д! + игггр1гдг или с учетом (!!.2) и (11.4) юг|В Л (У) с(У + 1гЧг ИМИ (11.5) У1 Уг Формула (11.5) выражает средние потери, которые подлежат минимизации. Таким образом, пространство наблюдений )' необходимо разделить на две области Ъ"~ и Уг так, чтобы математическое ожидание потерь было минимально.
Среднее значение потерь (1! .5) называют байесовским риском, а метод, который обеспечивает минимум (! 1.5) при заданных априорных вероятностях дз и дг, называется 406 методом Байесгп или байесовььи правилом решения. Оно сводится к следующему: для полученного наблюдения у вычисляется коэффи- циент правдоподобия (отношение правдоподобия) л(у) = Л(у)/Л(у) (11.6) и сравнивается с Ло = ге1гЧг/тег1Ч1.
если Л(у)/Яу) > л„, то пРинимаетсЯ гипотеза Я1. 1 (11.7) если Л(у)/гг(у) < ло, то принимается гипотеза яг. /( ~ ) Ч1Л (У) ч1Л(у) + чгЬ(у) ' 1де Ч1 Л (у) + Чг/г(у) — полная плотность вероятностей наблюдения у при всех возможных реализациях. Вероятность гипотезы яг при этом же условии /( ~ Чггг(У) ч1Л(У) + чггг(У) (11.9) «Условный риск», сопровождающий выбор гипотезы я1, определяется соотношением и 1гг (Яг 1У ) а условный риск при выборе яг и,г1/(81 !У) С учетом выражений (11.8) и (11.9) видим, что байесовское правило выбора решения (11.7) выбирает гипотезу, для которой условный риск при наблюдении у оказывается меньшим. Таким образом, выбор гипотез я1 и ег и соответствующее разбиение пространства наблюдений У на две области: У1 и Уг — в соответствии с байесовским правилом решений может быть записано в виде Л (у) п11гЧг Л(у) и 1гЧг "т'1: >; Уг: < Л(У) шг1Ч1 /г(У) ишЧ1 (11.10) 407 Уравнение Л (у)//г(у) = Ло ЯвлЯетсЯ УРавнением повеРхности Решений (см.
Рис. 11.6). Байесова стратегия может быть определена как выбор гипотезы, дающей меньший условный риск. Условная вероятность гипотезы е1 при том, что результатом наблюдения является выборка у, р1 = Л(у) !у Предположим, что известны априорные вероятности реализации со- ответствующих гипотез г21,г2я, ..., гзгг. Тогда математическое ожида- ние потерь (11.11) г=1 Области г'1, ..., Улг требуется выбрать так, чтобы сделать (11.11) минимальным. Так как нам известны априорные вероятности реализации каждой из гипотез, то можно определить условную вероятность того, что наблюдение проводилось при реализации некоторой гипотезы с условием, что компоненты вектора у имеют данные значения. Условная вероятность того, что наблюдение осуществлялось при реализации гипотезы яо равна вЛ(у) (11.12) 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
