Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 73
Текст из файла (страница 73)
вЛь(у) я=1 Если будет принято решение, что принята гипотеза я1, то математи- ческое ожидание потерь 0*Л(у) Л 1Ч Нгт г ° 1=1 Е чьЛ(у) г ф. г /с=1 (1!.! 3) 408 Пусть теперь необходимо выбрать одну из 1У гипотез я1, яз,..., я1ч, для которых заданы условные плотности вероятностей наблюдений (у' = (у1, ..., у„]) при реализации этих гипотез Л(у), ..., Лч(у) соответственно.
Задача состоит в том, чтобы разбить про- СтраНСтВО НабЛЮдЕНИй Г' На ггг' ПОПарНО НЕПЕрЕСЕКаЮщИХСя ОбЛаСтЕй 'г1, 'гз, ..., У1ч. Если наблюдение попадает в область т',(у Е 'г',), то можно сделать вывод о том, что была реализована гипотеза яг Пусть цена ошибочного выбора гипотезы я„в то время как на самом деле имела место гипотеза я1, равна иг 1. Вероятность этого ошибочного решения 9г~г(У)ш,' (=1 1~7' (! !.14) была минимальной. Таким образом, данную выборку у относим к одной из областей У;, на основании чего можем принять решение о выборе гипотезы я .
Следовательно, к-я область пространства наблюдений Уь состоит из тех точек у, для которых выполняется неравенство гт Х д,Цу)игы < ~! г1,Яу)нг „ (=1 (=1 (фк 1~7 где 7' = 1, 2, ..., Ю; 7' ф и. Рассмотрим случай простейшей матрицы потерь, когда ш, = 1 для всех( и 7' (! Ф 7'), т.е. О нггп шш О О 1 1 0 иг,ч г (11. ! 6) ш1,ч шзм 1 1 О Тогда для точек области Уь выполняется условие д;Яу) < ~> г7,Яу), (~ ~ к). (1!.!7) г= 1 (ф- з 1=1 1~/с Вычитая из обеих частей неравенства (11.17) 2; г7,Д(у), г=1 (фй,у получим ч Л(у) < 9ь|~(у), О Ф (~) (!1.!8) В этом случае точка у принадлежит Уы если й есть индекс, для которого д, (,(у) максимальна, т. е. «ь, соответствующая области Уь, есть наиболее вероятная гипотеза.
409 Мы получим минимум математического ожидания потерь, если вы- берем у так, чтобы (1 ! .13) было минимальным. Для этого достаточно, чтобы для всех 7' сумма Стратегия принятия решений при двух гипотезах. Рассмотрим, как реализуется стратегия принятия решений, описываемая формулами (11.7), если распределение вероятностей наблюдений 11(у) и 5(у) при условии реализации соответствующих гипотез подчиняется нормальному закону, т. е. для вектора наблюдений у' = (у1, у2,..., у„) заданы плотности распределения вероятностей 1 1 — — (у — гп, )'К (у — гп ) (Я л)п /ГК 1 1 — — (у — т, )'К, (у — пг, ) 1!!, ! СП )'2(у) — е, ( 20) ГДЕ (гну( ) )' = [П!у(г),..., 1Пу(„) ], (хну( ) )" = [ту(!),..., ту( ) ] — Математическое ожидание вектора у соответственно при реализации гипотез е1 и е2; Ку — корреляционная матрица вектора у (считаем, что она постоянна для обеих гипотез).
В соответствии с правилом решения (11.7) найдем отношение --(у — пзу ) К, (у — пзу ) (1) т -1 (1) Л(у) .12(У) (2) г — 1 (2) ехр --(у — тп, )'К, (у — тпу ) ехр — — [(у — гп )'К (у — гп )— (1) , 1 (1) у у (11.21) — (у — 1п, )' — (у — пзу )'К, (у — гпу )] (2) т (2) -1 (2) 1 От неравенства вида (11.7) мы можем перейти к эквивалентному, если прологарифмируем обе его части (так как логарифмическая функция монотонно возрастает). Тогда с учетом (11.21) получим, что следует выбрать гипотезу е1, если — — [(у — 1п, ) К„(у — 1п, )— (1) т -1 (1) — (у — пзу))"К '(у — пз~ ) > 1п, (11.22) ч! и!21 и гипотезу е2, если знак неравенства противоположный. Левую часть неравенства можно преобразовать к виду 1 2 4!О Уз, УзК вЂ” (пз зп ) (тп ! пз )~ х (ц (2) 1,ц (2), 2 Я1Ю21 У2: у К „(тп„— пз„) — -(зп„+ пз, ) х з — 1 (!) (2) (1) (2) з 2 Ч!ш21 (11.24) Стратегия принятия решений при нескольких гипотезах.
Покажем, как реализуется стратегия принятия решения, задаваемая условием (11.15), когда по измерению у' = (уы ..., у„! необходимо сделать выбор одной из Х гипотез я,, яз, ..., я)ч при распределении вероятностей выборок, подчиняющемуся нормальному закону. В этом случае условные плотности наблюдений Яу) имеют вид 1 ( /2 п)п /ГК ( 1 х ехр — — (у — пзз )'К,, '(у — пт,й), (11.25) где( = 1,2, ..., Х; (зп,' )' = ~т„~,, ..., т,,',~] — соответствующий вектор среднего значения; ʄ— корреляционная матрица, как и ранее постоянная при всех гипотезах. Если априорные вероятности реализаций каждой из )з' гипотез заданы и равны соответственно с)п д2, ..., ())к, можно определить х функций, задаваемых формулой (11.14) и провести разбиение пространства наблюдений У так, что область У,, будет совокупностью точек у, в которых з-я функция оказывается минимальной.
Как в случае двух гипотез, введем функции Хзь(у) = 1п Л ь = 1п Л(у) Ь(у) У вЂ” — (зп(з) + пзз ~)~ К, '(пф~ — пзз )). (11.26) 411 Первое слагаемое (11.23) является линейной функцией компонент вектора наблюдения и называется дискриминантной функцией. Таким образом, в случае нормального распределения вероятностей наблюдений разбиение пространства наблюдений У на области Уз и У2, и соответственно выбор гипотез я, и я2 проводится по следующему правилу: Учитывая (11.3), условие (11.18) разбиения пространства наблюдений и выбора з-й гипотезы можем записать в виде У: Х.ь(у) > 1п —, к = 1, ..., Х, и ~ )2 (11.27) Чз Условие (11.27) предполагает равные цены ошибочных решений, т. е. матрицу потерь вида (11.16). 11.3.
Корреляционно-экстремальный алгоритм фиксации прохождения ЛА района, характеризуемого аномалией геофизического поли Пусть задачей навигационной системы ЛА является фиксация прохождения им района, характеризуемого аномалией зондируемого геофизического поля. В памяти системы хранится дискретная реализация сигнала а' = (а|, ..., ав], описывающего аномалию поля в данном районе, представляющую собой результат предварительного зондирования поля в и равноотстоящих точках я, = 6(1,), измеренный в и равноотстоящих моментах времени 1, в интервале Т наблюдения 1; = г' Ат = ! — (1 < 1 < и), А! = Ах/Ъ', где Ьх — ини тервал между точками зондирования, Ъ' — скорость ЛА.
Измерения датчика поля при прохождении аномалии представляют собой сумму ожидаемого сигнала и гауссового шума с нулевым средним значением у = а(!) + и(т), фиксируемую соответственно в дискретные моменты времени так, что вектор наблюдения у' = ~уы ..., у„], Все остальное время (при движении ЛА вне района аномалии) выходным сигналом датчика поля является шум измерений (ожидаемый сигнал отсутствует).
Таким образом, анализируя результаты измерений, навигационная система должна принять одно из двух решений, т. е. выбрать одну из двух гипотез: я, — ожидаемого, описывающего аномалию, сигнала, нет и ЛА не прошел через заданный район; язв ожидаемый сигнал получен и ЛА прошел через заданный район.
Если интервал тзт между измерениями превышает величину ю, ', обратную ширине шумового спектра, то компоненты вектора наблюдения уз = у(Ц) можно считать статистически независимыми, и при гипотезе у, плотность вероятности их совместного распределения (11.19) будет иметь вид 4!2 Л(У) = РП(У1)Р12(У2). Рзи(У ) = 2 — 2 = (2 и оз) г ехр( — ~~ -У2 о„2), (11.28) г=1 где о2 — дисперсия случайной величины у,. Когда ЛА проходит аномалию и ожидаемый сигнал присутствует в наблюдении, часть вектора у, обусловленная шумом измерений, равна уз — аь Поэтому при гипотезе яз функция совместного распределения измеряемых величин будет иметь вид Л(Ь) = Рш(У1)Р22(У2) "Рзи(уи) = = (2 и о„) г ехр — ~1 ' . (11.29) ;=1 И Правило принятия решений дается соотношениями (11.7) или (11.24).
Коэффициент правдоподобия (см. (11.6)) и 2 Л(у) 1,. 2 о'„' ( Решающее устройство принимает гипотезу я1, если Л(у) > Ло или с учетом (11.24), если лг(2 .;г) лг(-~,'л „'г, л,). гг~.ггг ~ 2 г=1 г=1 Таким образом, выбор решения может осуществляться на основе анализа величины п Л! ~ а(1,)у(!1) (11.32) путем сравнения ее с некоторым фиксированным значением, определяемым правой частью неравенства (! 1.3!).
В и-мерном пространстве наблюдений с координатами у1 (см. рис. 11.6) поверхность решений представляет собой гиперплоскость (11.33) вгуг = СОПЯ, 413 перпендикулярную вектору с компонентами вп При большом числе зондируемых точек поля и наличии белого шума в измерениях вели- чина, определяемая формулой (11.32) (при п — > оо), будет равна Г т в(1) у(1) !1, о (11.34) т.
е. решение о выборе одной из двух гипотез основывается на вычи- слении взаимной корреляции наблюдения у(1) и ожидаемого сигнала я(1) (т. е. функции, записанной в памяти системы в виде карты поля) и сравнении с некоторым пороговым значением. 11.4. Оптимизация поисковых алгоритмов работы КЭНС 4!4 Возможности применения поисковых алгоритмов в КЭНС во многом связаны с использованием БЦВМ, решающих задачу совмещения реализаций случайных функций.
В качестве примера синтеза поискового алгоритма КЭНС-1 на основе изложенных результатов теории статистических решений (и в частности, правила выбора вида (1!.27)), рассмотрим алгоритм, предложенный в )11). Его реализация предполагает использование вспомогательной «грубой навигационной системы», которая выдает приближенные значения текущих фазовых координат ЛА. Будем считать, что карта поля записана в блоке памяти КЭНС с шагом дискретизации по координатам Ж = Ах = Ах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
