Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 13
Текст из файла (страница 13)
кг ' с з;! — расстояние между точками с единичной массой (точка Р) и элементарной массой дМ (рис. 1.! ). Потенциал Земли для точечной единичной массы может быть формально представлен в виде интеграла по всей массе Земли (м) Вычислить интеграл в выражении у ) (1.2) по всему объему геоида, не говоря уж об объеме Земли, невозможно, поскольку не существует ни математической модели обсуждаемой фигуры, ни функции, описывающей изменение плотности масс в ее объеме. Положение точки Р вне объема Земли и элементарной массы Земли йМ определяются сферическими координатами: для Рис.
1.1. Координаты тоточки Р— это г, Ч, Х; для элементарной чечной единичной массы, массы дМ вЂ” р, ~р', Х'. находящейся вие объема Тогда выражение потенциала в функ- Земли ции сферических координат может быть представлено в следующем виде: Единственный путь получения обозримого решения для (1.3) связан с использованием степенного разложения выражения (1.3) в ряд с использованием сферических функций. Обозначая угол между р и г через ~р, получим (1.4) В процессе полета БР относительно поверхности Земли будут меняться величины г и у, а следовательно, и величина1. Очевидно, что потенциал У будет меняться при движении ракеты в некоторых пределах и может быть вычислен приближенно с помощью усеченного степенного разложения при введении различного рода допущений. Наиболее существенные допущения касаются формы Земли, ее размеров и распределения масс.
Предварительно рассмотрим наиболее простой вариант вывода, хорошо поясняющий физический смысл первых членов разложения. Из (1.4) получим 1 г — Р( —, у) . (1.5) Так как р ( т, то функция ' может быть разложена в т биномиальный ряд по степеням малой величины Ь = р7т.
Равномерная сходимость этого ряда доказана М.Ф. Субботиным и Г.Н. Дубошиным. В результате получим, что Е(Ь, »р) = — — ~~» ( — ) Р„(сов»р), ч=о (!.6) где Р„(сов»р) — многочлены Лежандра, а функция Е ( Ь, »р) носит название производящей функции многочленов Лежандра. Подставляя (1.6) в (1.2), найдем Ю (т, »р, )».) = 7" ,'» ! р™Р„ (сов »р) г!М.
(!.7) 1 +1/ Функция 17 в (1.7) будет зависеть от сферических координат точки Р (см. рис. 1.1). Сферические функции обладают свойством ортогональности, согласно которому после поворота координатных осей они сохраняют свои свойства. Поэтому, если ось у совместить с радиусом-вектором г, то основная сферическая функция Р„(соз»р) может быть представлена в виде (и — т)! Р„ (соа »р) = ~~» х Ь (и+т)! =о х Р„(»йп <р) Р„(в!и я»,) сов ( Х вЂ” Х,), (1.8) где / 1, если ти = О, ) 2, если тфО; 60 <р! и Ц вЂ” широта и долгота положения элементарной массы дм, задаваемая радиусом-вектором р = гь Учитывая полученное выражение (1.8), интеграл (!.7) преобразуем к виду Щг,<р, Х)= — ~ ~> ( — ") х п=ет=о х (Сп сов т Х+ Я„в!пт Х) Рп (в!и ф), (1.9) где г, — наибольший радиус поверхности принятой к рассмотрению физической модели Земли; 1 (и — т)! Спт = — / г,"Р, (в!п <р ) сов т 1, БАЛХ; г,"М (и+го)! / !м) 1 (и — т)! Я„~ =, / пРп (Яп Ч,.)в!птХ,йМ; г п+т !М) (1.10) (1.1 1) Р„(яп <р) — присоединенные сферические функции (присоединенные функции Лежандра порядка п с индексом т); Р (яп д) = = Рп,(яп д) — главные сферические функции (основные много- члены Лежандра).
Функции Лежандра вычисляются по следующим формулам (при и >2): Рпт (в1п Ф) !т(п) (2п — 1) яп <рРп з „,(в!и <р) — (и + т — 1)Рп з „,(яп <р) Рпт (яп <р) = (2п — 1) сов ~рРп 1 п 1(яп <р), !т=п) РОО(вш (р) = 1, Рго(яп у) = яп <р, Ры(яп <р) = сов (р.
(1.12) 61 Физический смысл отдельных слагаемых силовой функции (1.9) может быть уяснен в результате рассмотрения условий обращения в нуль сферических функций. Если положить т = О, то получим Рп(яп <р), зависящую только от широты. При этом, будучи полиномом п-й степени, она имеет и нулей на интервале ( — к/2; л/21 Поэтому данная функция называется зональной (зональной еармоникой), образующей на сфероиде п + 1 зону, внутри которой она будет сохранять свой знак. Зональные гармоники учитывают только широтные эффекты ГПЗ и ее формы. В случае гп = п имеем (2п)! Р„„(яп <р) = сов" <р, 2" и! а функции Р„„(яп гр) сов п Х и Р„„(яп ф) яп п Х могут обращаться в нуль (за исключением полюсов) только на меридианах, определяемых уравнениями сов п Х = 0; аш и Х = О.
Указанные функции называются секгориальными сферическими функциями (секториальныяи гармониками), учитывающими чисто долготные эффекты ГПЗ и ее формы. При одновременном выполнении неравенств гп фО и гп ф и соответствующие функции, называемые элементарными сферическими функциями, Р„(яп ф) сов и Х и Р„(яп гр) яп и Х будут содержать как широтные, так и долготные члены и принимать нулевые значения вдоль п параллелей и т меридианов. Поэтому на сфере они сохраняют знак внутри криволинейных четырехугольников и треугольников, образованных пересечением двух параллелей и двух меридианов или двух меридианов и параллели. Данные функции (гармоники) называются тессеральными гармониками, учитывающими смешанные широтные и долготные аномалии ГПЗ.
С увеличением и или гп количество нулей у всех гармоник возрастает. Отсюда следует, что общие закономерности, характеризующие форму Земли и ее ГП, описываются гармониками низшего порядка. Локальные же изменения определяются гармониками высшего порядка.
При этом с увеличением порядка амплитуды гармоник уменьшаются. Физическая сущность изложенного хорошо иллюстрируется наглядной схемой рис. !.2. Силовая функция в виде (1.9) представляет собой ее физический аналог, как угодно близко приближающийся к силовой функции Земли при и — > со. Как следует из соотношений (! .10) и (1.11), коэффициенты С„„и Я„„„характеризующие собой амплитуды гармоник (сферических функций), зависят от распределения масс внутри Земли и от ее формы, причем наглядный физический смысл они приобретают при и < 2 (координаты центра и моменты инерции).
Рассмотренная математическая модель силовой функции Земли была предложена И.Д. Жонголовичем в 1957 г. (33) и достаточно широко и долго использовалась как в России, так и за рубежом. Позднее, по рекомендации Международного Астрономического Союза, 62 Рис. 12. Типы гармоник потенциала поля тяготения Земли и расположение на сфере областей изменения нх знаков для практического использования была введена несколько видоиз- мененная модель, записываемая в виде СЮ сс п Г=Е~1,у З„('к)" г.(м.,р(~.~~ (' )". а=а в=я т=1 х (С„~спят)(.+Я„~япгпХ)Р„(яп (р) . (1.13) Здесь главные сферические функции определяют по так называемой формуле Родрига Р„= Р„, (в(п (р) = —, „, (1.14) 1 с(" (яп (р — 1)" 2"п) ((в(п" (р а присоединенные сферические функции находят по зависимости Р„= Р„(яп (р) = соя~ (р ) не ((яп™ (р (1.15) сов™ (р (1л+ (яп (р — 1) 2"и( с(яп" ь~ (р При расчетах на ЦВМ эти функции, как правило, аппроксимируются следующими рекуррентными зависимостями: 63 (2п — 1) гйп (РР(„1) — (и + т — 1) Р(п з)т п — т при п>т, (2п — 1) Р(„П(„() соа (р при п = т.
Рпт (М~ ~ ~ (и)" (С„1~-Я пп )) Р ( пп Ю)~, )1.)6) где С„, ߄— нормированные коэффициенты, связанные с их не- нормированными значениями соотношениями Спт = 7((птСпт) Опт = Х(птспт~ (1.17) где нормирующий множитель ())'„определяется по формуле при т = О; 2п+ 1 при т фО. 64 Первые три зависимости, необходимые для начала расчета, имеют вид соотношений Рос, Рш) и Ры, содержащихся в (1.2). Данная форма модели гравитационного потенциала, получившая название «классической», предполагает, что центр масс Земли совпадает с началом планетоцентрической гринвичской системы координат. В отличие от (1.9) в выражении (1.13) зональные гармоники вынесены в отдельное слагаемое, С„, обозначено через 7„, а в качестве наибольшего радиуса поверхности Земли принято значение экваториального радиуса ОЗЭ, обозначенного, как следует из изложенного ранее, через о .
В настоящее время в качестве модели силовой функции, используемой при решении задач баллистического обеспечения полета БР, получила наибольшее распространение модель потенциала, записываемая через нормированные коэффициенты и функции Лежандра: Как слелует из выражения 11.16), число слагаемых степенного разложения в нем ограничено и = т = 36. Это связано с тем, что уровень точности коэффициентов С„и Я„при и > 36 не приводит при их учете к повышению точности моделирования силовой функции ГПЗ. В заключение отметим, что представляя силовую функцию ГПЗ при решении практических задач баллистического обеспечения полета БР в виде конечной суммы членов степенного разложения, мы, естественно, допускаем ошибку, которая уменьшается с увеличением числа удерживаемых членов.
Однако если определенный эффект ГПЗ описывается комбинацией нескольких гармоник, то не всегда прибавление слагаемых уменьшает ошибку приближения к истинному полю ~113]. Поэтому аппроксимировать геоид и его поле следует реальными физическими телами, учитывая порядок малости н степень важности отбрасываемых н удерживаемых членов разложения для решения конкретной задачи. Наибольшее распространение при этом получили следующие математические выражения рассмотренных ранее моделей Земли: ° модель сфероида (модель ньютоновского потенциала) с силовой функцией К, = К(г, где К = г" М = 398600, 5 10 м !с~; ° модель эллипсоида вращения, учитывающая только полярное К~ сжатие Земли (эллипсоид Клеро) с силовой функцией ГГ„= — 11 + г ~ +Сто 1 — ') Рзо(яп (р); коэффициент Сто, определяющий перг 2/ 1 вую гармонику, вычисляется как Сзо = — — ~ а — — )З), где )З = З~, 2 /' 1 = йззазК ', а Рзо(яп <р) = — (Зяпз <р — 1) .
Учитывая последнее равенство, получим, что в точках <р ~35'15'52л силовая функция эллипсоида Клеро равна аналогичному значению для сфероида, а на экваторе и полюсах — соответственно больше и меньше, чем у сфероида, причем максимальное отличие эллипсоида от сфероида пропорционально сжатию и достигает 21 км; ° модель эллнпсоида вращения, учитывающая квадрат полюсного сжатия Земли, с силовой функцией 65 1/„= — ~1+ ~ — ') СгоРго(яп 1р)+ ( — ') С40Р40(яп 1р) т ~ т т 8/7 5 в которой Сло = — ( — аг — — а (3 35(,2 2 ° модель трехосного эллипсоида, учитывающая экваториальное сжатие Земли, с силовой функцией 1/3 ~1 + ( ) С20Р20 (я1п 1р) + т ~ т + ( — ') (Сгг соя 2 7 + Ягг яп 2 2.) Ргг (яп 1р) Р00 (в1п Рю (яп 1р) =1, ЯП 1Р, 3.2 1 — ЯП 1Р— —, 2 2' 5, г 3 — яп ф — — вщ 1р, 2 2 35 , 4 15 , 2 3 — Яп 1Р— — Яп 1Р + —, 8 4 8' Р20 (в!п 1р) = Рзо (яп ф) = Р40 (Б1п ф) вводя стандартные обозначения геопостоянных по = К 3,986005 1014 мзlсг лг = КагС20 = — 1,76 1020 м"/сг' и Ка С40 = 1,09 1020 мт/сг, получим 66 где учитываемое второй секториальной гармоникой экваториальное сжатие а* = 11130000 имеет порядок квадрата полярного сжатия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
