Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.Л. Теория ракетных двигателей. 1989 г. (1241535), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Формула для ! 7) получена в результате дифференцирования выражения (6.10) по !п Т. 67 Частные производные параметров равновесного состава (д )и лр!д!их)в, (д !п М !д )и х)н, где х =- Т, у = р нли к = р, у =Т, необходимы для расчета свойств продуктов сгорания, таких как теплоемкости, термические коэффициенты, скорость звука и др. Зги производные должны характеризовать диссоциированнуго смесь в состоянии равновесия, поэтому их следует находить из системы уравнений химического равновесия при известных значениях ле н Мт. Продифференцируем систему уравнений (6.!2) ... (6.14) по )их при у = = соиз1; При х =- р и р = — Т получаем (7.
ю) ( д)иТ)р ( д!пТ )р' (7.!1) (д1пр)т ( д1пр )т (7.12) Для нереагирующей смеси р = сопз1, следовательно, (д !иМт(д1иТ)р — — О, (д!п М уд1ир)т =-1. 7.2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПЛОТНОСТЬ СМЕСИ Термодинамические функции 1 кг идеальной смеси определяют следующим образом. Энтальпия (7.13) Если /4, /ч, выражены в кДж/кмоль, то значение ! получается в кДж/кг. Энтропия (без учета образования растворов конденсированной фазы) (7.14) Если Яе, 5",, выражены в кДж/(кмоль К), то значение з получается в кДж/(кг К), В приведенных выше формулах величины с индексом з относятся к веществам в конденсированном состоянии: символами /ч, 5", обозначены энтальпия и энтропия одного киломоля д-го компонента при температуре Т и стандартном для энтропии давлении в 101325 Па.
Другие термодинамические функции (внутреннюю энергию, термодинамический потенциал, изохорно-нзотермический потенциал и т. п.) определяют по термодинамическим соотношениям с йомощью величин 1, з и параметров уравнения состояния (5.1). 68 Уравнения (7.6) .. (7.8) образуют систему линейных уравнений для определения частных производных (д !и ие'д 1и х)ю (д !и Мт!д )п х)в. В заключение установим связь между пронзводвыми величинами М,: (д 1п Мт,'д 1п Т) и, (д!и Мтвд 1п р)т и соответствующими логарифмическими производными молекулярной массы. Для этого продифференпируем уравненение (7.4).
В результате получаем 7.3. ТЕРМИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ Изменение термодинамического состояния системы во многих случаях описывают уравнениями термодинамики в дифференциальной форме. Для этих уравнений необходимы частные производные различных термодинамических величин. Для определения любой производной нужно задать параметры состояния системы р, о, Т, теплоемкости ср, с„, и термические коэффициенты ар, (4т.
Согласно определению термические коэффициенты записываются следующим образом: изобарный коэффициент расширения ар —. (!!о) (до7дТ)„; (7.!5) изотермический коэффициент сжатия рт = — (1/о) (до(др)т, (7.!5) изохорный коэффициент давления Т, = (1/р) (др7дТ),. (7.1 7) Последний можно выразить через предыдущие величины: Т. = (!7р) (аДт), (7.18) поэтому достаточно определить наиболее употребительные коэффициенты а„и (!т. Представйм термические коэффициенты следующим образом: и используем уравнение состояния в виде !и 'о = 1и Р, + !и Т вЂ” 1п р — !п р.
В итоге, после подстановки д 1и о, получаем ))т (! +(д~п )г~' где логарифмические производные молекулярной массы смеси определяют по формулам (7.11) и (7.12). 7ЛЬ ТЕПЛОЕМКОСТИ Если в процессе изменения температуры при р = соиз1 или о = соиз1 многокомпонеитное рабочее тело сохраняет состояние химического равновесия, то теплоемкость рабочего тела должна определяться с уче4ом теплоты химических реакций.
Такую теплоемкость называют р а в и о в е с н о й (эффективной). гб 15 ге г5 а/аг В,РР О,РВ ВРР ср/ре, 5 г ! 1 В5 1 г У мю гера угас г к 7.1. Значения равновесной и замороженной теплоемкостей продуктов сгорания, р = 15МПа — — — р=з мпа, — р=тз мпа 7.2. К сравнению равновесных н замороженных свойств продуктов сгорания Согласно определению теплоемкость при постоянном давле- нии равна ср = (д((дТ)р. Если прйменить эту формулу для модели равновесно реаги- рующей смеси, то получим равновесную теплоемкость ср, учиты- вающую изменение химического и фазового состава в зависимости от температуры. Имея в виду, что величина 1 представлена фор- мулой (7.13), после дифференцирования получим 2,' п1ВРС + ~~ ~пем1С», ср —— Рр + пРРВ11 Р + п1 1„, -+(~~."~), (7.21) Первое слагаемое в выражении (7.21) определяет теплоту, которая необходима для изменения температуры смеси постоян- ного состава, т.
е. при отсутствии химических реакций. Это обычная з а м о р о ж е н н а я теплоемкость сг= (7.22) поскольку для смеси постоянного химического состава частные производные в уравнении (7.21) обращаются в нуль. 70 Второе и третье слагаемые в выражении (7.21) — это теплота, которая идет на изменение химического состава равновесной смеси. На рис. 7.1 показаны значения равновесной и замороженной теплоемкостей продуктов сгорания топлива О, + керосин для входного сечения сопла. Как видно, замороженная теплоемкость практически не зависит от давления, в то время как равновесная теплоемкость зависит заметно. При малых и больших а,„, т. е. при невысоких температурах, когда значения производных (дп,/дТ)и) малы, разница между равновесной и замороженной теплоемкостями уменьшается. Теплоемкость при постоянном объеме определяют выражением с, = (де/дТ),, однако формулу для расчета с„проще получить из известного термодинамического соотношения с„— с„=- Т (дТ/др)„х х (до/дТ) .
С учетом соотношений для термических коэффициентов получим с„= ср — (ар/()г) оТ или в применении к реагирующей смеси— )1е [1 — (Д )и Р1д )и Т) „7 и Р [ ! + (д 1и и1д 1и р) г[ Для нереагирующей смеси р = сопз[, следовательно, из формулы (7.23) получается, как частный случай, обычное соотношение для замороженных теплоемкостей С,1 = С„( — Р,. (7.24) По известным значениям теплоемкостей определяют отношения: равновесных теплоемкостей х = с„/с„ (7.25) и замороженных теплоемкостей х1 = ср)/с,п (7.26) 7.5.
скОРОсть 3ВукА Общим определением скорости звука является соотношение а' = (др/др), в котором производная берется при некоторых условиях (!Р = сопз[), имеющих место в звуковой волне. В случае энергоизолированности и отсутствия неравновесных процессов сжатие и расширение в звуковой волне являются изоэнтропными и, следовательно, а' = (др/др)„= — о' (др/до),. (7.27) 7! Прн распространении звуковых колебаний в реагнрующей среде процесс в звуковой волне будет нзоэнтропным, если: 1) частота колебаний велнка, а скорости химических и фазовых превращений относительно малы, в результате чего состав смеси (хнмнческнй и фазовый) не успевает измениться прн прохождении звуковой волны, частицы конденсата остаются неподвнжнымн и имеют постоянную температуру; процесс в волне протекает как в нереагнрующей смеси; скорость звука в газовой фазе называют замороженной; 2) скорости химических н фазовых превращений велики, а частота колебаний относительно мала. Прн сжатии и разрежении в звуковой волне состав смеси успевает измениться в соответствнн с изменением температуры и давления.
Прн прохождении волны поддерживается химическое и фазовое равновесие; частицы конденсата имеют параметры, равные параметрам газа, и перемешаются вместе с ннм; скорость звука называют р а в н о в е си о й. Производную (др/ди), можно найти, нспользуя известные (13) соотношения термодинамики: (др/ди). = — ср/с.(1ти = — нр/Рт Подставляя эту пронзводную в равенство (7.27) и учитывая уравнение состояния и формулу для рт, получим для равновесной скорости звука выражение р яйог (7.28) Р 1! + (д 1и Р/д 1и р) т ' Для нереагнрующей смеси р = сопз1, а отношение замороженных теплоемкостей — я1', следовательно, нз выражения (7.28), как частный случай, получаем формулу для замороженной скорости звука а~~ =- я Р7'. (7.29) На рнс. 7.2 в качестве примера приведены данные для равно весных и замороженных свойств продуктов сгорания топлива О, + + керосин прн а,„= 0,8 и давлении !5 МПа.
Разница между равновесными и замороженными параметрами наиболее значительна в области максимального изменения состава прн изменении температуры нлн давления и мала в остальных случаях. 7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ 7.8.1. Использование результатов расчета равновесных состояний После завершения расчета равновесного химического состава, термодннамнческнх свойств и параметров рабочего тела для входного и любого другого сечения сопла по известным соотношениям можно определить параметры процесса течения. 72 Скорость продуктов сгорания в заданном сечении ш =- у' 2 ((, — !), где ш в м/с, если ( в Дж/кг. Удельная площадь сечения Р ~ Р,т а ж мр Щ7И где / в м'с/кг, /7а в Дж/(моль К), ш в м/с, р в Па.
Геометрическая степень расширения сопла (относительная площадь сечения) (7.32) (7.30) Р =.. Р/Р. = ///. Удельный импульс тяги в пустоте . +/.р' (?.33) Если ка в м/с, /„в м'с/кг, р, в Па, то !у „имеет размерность м/с. Удельный импульс тяги на высоте Н /ун = /у. п — /арн. (7. 34) Удельный импульс тяги при р, = рн /у /у. и /ара аиа. Расходный комплекс (7.35) (7.36) т " * Ла мана ' размерность р — м/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
