Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 8
Текст из файла (страница 8)
О таких операциях ций, котор ят как о преобразованиях симметрии. Каждое из вози ж , о. ных говорят образований симметрии можно представить в виде к: омбинации пре р е елен- трех о сновных типов преобразовании: 1) поворот на опр д ' некоиый угол л вокруг некоторой оси, 2) зеркальное отражение в н т ое торой плоскости и 3) параллельный перенос тела на некотор расстояние. Если криста,чл совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой й осн на угол 2л/и, говорят, что он обладает осью симметрии а-го порядка. Операция зеркального отражения в в некотоой плоскости соответствует наличию плоскости симметрии, а одновременное применение обоих этих преобразований — поворота и отражения в приводит к так называемым зеркально-поворотным осям. Зеркально-поворотная ось второго порядка представляет собой преобразование инверсии, эквивалентное отражению в точке— центре инверсии.
Совокупность всех преобразований симметрии данного кристалла называют его группой преобразований симметрии, илн просто группой симметрии. С ет по черкнуть, что в квантовомеханических применениях леду д б азования п еоб азования симметрии рассматривают как преобразов координат, оставляющие гамильтониан данной системы и р нва иант ным.
Изучение групп симметрии удобно производить с помощью общего математического аппарата теории групп [5]. Преобразование, входящее в состав группы, называется элементом группы Для любых двух элементов определена операция произведения. й!ы будем рассматривать группы, каждая из которых содержит конечное число различных преобразований -- конечные группы. Полное число элементов группы называют се порядком.
Группа обладает следуюгпими свойствами: 1. Произведение любых двух элементов группы (в нашем случае последовательное применение двух преобразований симметрии) есть элемент той же группы. 2. (ЛВ)С=Л(ВС) (ассоциативность произведения). 3. Существует единичный элемент Езр=ф. 4, У каждого элемента группы существует обратный ему элемент. Последовательное их применение дает единичный элемент АА '=Е. Легко показать, что ЛА '=Л 'А, (ЛВ) — '=В 'А '.
При. веденные свойства полностью определяют понятие группы. Группа в абстрактном смысле полностью определяется зада нием таблицы произведений ее элементов, хотя конкретно за символами элементов могут скрываться совершенно различные операции. Две группы с совпадающими таблицамн произведений называются изоморфными. 48 49 Коммутативности в общем случае нет, т.
е. АВИВА. Если же группа коммутативна, то она называется абелевой. Частным случаем абелевых групп являются так называемые циклические группы, все элементы которых могут быть получены путем возведения одного нз элементов в последовательные степени. Если из группы О можно выделить такую совокупность элементов, что она тоже составляет группу, то ее называют подгруппой группы О. Два элемента А и В называются сопряженными, если А = = СВС ', где С вЂ” элемент этой же группы. Если А сопряжено с В, а В с С, то и Л сопряжено с С.
В этом случае можно говорить о совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом. Такие совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом, называют классами группы. Единичный элемент группы сам по себе составляет и класс и подгруппу. Но, вообще говоря, класс группы отнюдь не обязательно является ее подгруппой. П е реобразования, входящие в состав группы симметрии кристалла, могут быть такими, чтобы по крайней мере одна точка кристалла оставалась неподвижной при применении любого из этих преобразований.
Группы симметрии, обладающие указанными свойствами, называют точечными группами. Приведем примеры некоторых точечных групп. 1. Г . Группы С„содержат всего одну ось и-го порядка. 2 Г п С руп а С„~, получается присоединением к оси и-го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. З.Г п ру па С„, Если присоединить к оси симметрии и-го порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще (и — 1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси лод углами и/и.
4. Г ппа руппа Р„. Если к оси и-го порядка добавить перпендикулярную ен ось второго порядка, то это приведет к появлению еще в (и — 1) таких же осей, так что будет всего и горизонтальны. осей торого порядка, пересекающихся под углами и/и. Х Нанб . олее интересны для нас группы, названные кубическими, потому что нх элементы симметрий можно набрать нз числа элементов симметрии куба. о.
Группа Т (группа тетраэдра) состоит из осей симметрии тетраэдра. Оси второго порядка соответствуют осям, проходящим через центры противоположных граней куба, оси третьего порядка — пространственным диагоналям куба. Группа содержит 12 элементов, распределяющихся по четырем классам. 6.Г п руппа Та. Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра, которые можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и одну ось третьего порядка. Эти плоскости стве н содержат каждая по два противоположных ребра куба и соо н о по две диагонали, соединяющие их вершины. Порядок тветгруппы равен 24, она содержит пять классов.
7. Группа О (группа октаэдра) состоит из осей симметрии куба. Группа О нзоморфна с группой Тж 8. Группа Оь включает все преобразования симметрии куба и может бйть получена добавлением к группе О центра инверсии. Группа содержит 48 элементов, разбитых на 10 классов. П е не операции симметрии к некоторой функции коордиримен н нат ф~ преобразует ее в некоторую новую функцию фя у перь мы имеем систему линейно лреобразующихся друг в друга при преобразованиях симметрии функций фь ... Ф р р осуществляющие этн линейные преобразования, можно задатьвчнратных матриц Очевидно„что эти матрицы подчиняются де квадр ть этих мат иц та лице б.
е умножения данной группы. Совокупность , р называется представлением группы, а совокупность фу торыми осуществляются линейные преобразования — базисом, на котором определено данное представление. Если теперь удается, взяв произвольные линейные комбинации исходных базисных функций, лрео р ф, еобразовать одновременно матрицы представления к ительно однотипно ном ~ блочному виду (блоки — симметричные относ л элементов, то иагоналей матриц «квадраты» отличных от нуля э.
), д представление называется приводимым, В этом случае, очевидно, можно понизить ранг матриц представления путем перехода к матрица м-блокам н соответственно число базисных функций ло сравнению с исходными. Если дальнейшего понижения р и п еоб азоматр ц р и провести нельзя нн при каком линейном прео р ванин базисных функций, то полученные представления н и называются неприводнмымн. Ранг матриц представления определяет разос ь представления. Совокупность сумм диагональных элементов матриц представления называется характером р и едстзвПриведем без доказательства следующие теоремы, доказанныс в теории групп: а) число неэквивалентных нелриводимых представлений равно числу классов группы, б) сумма квадратов размерностей неприводимых представлений ранна числу элементов группы (порядку группы), в) суммы диагональных элементов матриц представления для различных элементов одного класса совпадают, г) сумма характеров нелриводимых представлений равна характеру того приводимого представления, из которого они образованы.
Эта операция называется разложением характера приводимого представления на характеры нелрнводимых представлений, Чрезвычайно существенны теоремы о единственности указанного разложения и разложения порядка группы на квадраты размерностей неприводимых представлений.
Проиллюстрнруем все изложенные утверждения на примере простейшей группы симметрии равностороннего треугольника (группа Р, или изоморфная ей группа Сз„). Обозначим вершины треугольника буквами А, В, С, а центры противоположных сторон соответственно а, Ь, с. Операции поворота вокруг осей второго порядка Аа, ВЬ и Сс, совмещающие треугольник сам с собой, обо- зо, ! с, 9Л еп Таблица умножения группы Ра Г, à Π— 1 Г9 ЬЬеприводимые представления группы 09 к Г, 1 Г Га у'312 — !12 ~),У'з~г — !12/! У'312 -ь,ь2 50 51 2п значим А, В, С, а операции поворота на угол — вокруг вертиз кальной оси Р и Е, Для группы Сьц элементам А, В, С будет соответствовать отражение в вертикальных плоскостях, проходящих через Аа, ВЬ и Сс.
Лобавляя к этим пяти элементам единичный элемент Е, получаем группу шестого порядка Е, А, В, С, Р, Е. Таблица умножений этой группы приведена в табл. 1.5. В этой Таблица 1.3 группе содержатся три подгруппы: 1) Е, 2) Е, А и 3) Е, Р, Е и трикласса: 1) Е,2) А,В,Сн3) Р,Е.
Непрнводимые представления группы Ра приведены в табл.1.б, а характеры непрнводимых представлений даны с учетом олина- Таблица 1,6 Й,2 т' 372 ~ — 1/2 Ргз12 — 1!2 — У' 3!2' ) ковости сумм диагональных элементов для матрип представления соответствуюшнх операциям симметрии одного класса в табл.1.7. Таблица 1.7 Характеры неприводимык представлений группы П9 Матрипы двумерного представления Га в табл. 1.6 имеют наглядный смысл матриц преобразования координат х, у в плоскости 2п при повороте на угол — для операций Р и Е н отражения отно- 3 сительно линьгй Аа, ВЬ, Сс для операций А, В, С. На примере этой группы видно выполнение приводившихся без доказательства теорем.
Отметим дополнительно, что цифры в таблице характеров группы, стоящие в первом столбце (Е), характеризуют размерность непрнводпмого представления. Перейдем теперь к нашей главной цели — примененшо теории групп к систематике энергетических уровней ионов и анализу изменения их волновых функций прн изменении симметрии поля, которое действует на нон. Введение естественного требования пнечьриантности уравнения Шредингера по отношению к преобразованиям симметрии кристалла приводит к естественному следствию, что после применения элементов группы к волновой функции, удовлетворяющей этому уравнению прн некотором собственном значении энергии, должно снова получиться решение уравнения с тем же значением энергии. Иначе говоря, множество всех преобразований симметрии, оставляющее гамильтониан системы инвариантным, образует группу, причем волновые функции 1точнее, угловые части этих функций) системы есть базисные функции, па которых определены не- приводимые представления группы.
Следовательно, уровни энергии системы можно нумеровать сныволахьи, обозначаюшнми неприводимые представления группы симметрии, а кратность вырождения уровня будет равна размерности неприводимого представления. Понижение симметрии окружения иона или воздействие на ион некоторого ннзкосимметричного поля может привести к раси!еплению уровней, т. е. к поннжени!о нх кратности вырождения. На языке теории групп это означает, что соответствующее дан- ному уровню представление, которое было неприводимым в случае высокой симметрии, при понижении симметрии становится приводимым. Определить характер расщепления вырожденного уровня— значит разложить указанное приводимое представление на неприводимые представления новой группы более низкой симметрии, а в силу единственности разложения характеров это расщепление будет определено однозначно и правильность его легко проверить, пользуясь таблицами характеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
