Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1 2 2 Докажем, что можно получить формулу типа (1.4.19) и для многоэлектронной системы и что (1 — з)-взаимодействие меняет знак при переходе через середину группы. Пусть сначала число электронов й меньше п(2, где л — полное число электронов рассматриваемой группы. Относительно (7ьз можно сделать следующее предположение: В рассматриваемом случае полный спин Здесь можно ввести Сьз=5„!/25 — многоэлектронный параметр спин-орбитального взаимодействия, и мы получаем формулу (1 А.12) .
Остановимся теперь на возможности существования обратного порядка уровней. Пусть йр=п/2. Введем й' — число дырок в оболочке, так что /о+/о'=и, или й=п — й'. Тогда !/сз = 3„, ~ 1!зс= 5ы ~ 1!з! — е, ~~ 1 з! с о (1,4.23) Первый член равен нулю, так как заполнена вся ооолочка, и, следовательно, 1/гз = — $„У 1!з! = — — ' 1.5 = — яьз1.Ь. (1.4.24) м Таким образом, при переходе через середину группы многоэлектронный параметр спин-орбитального взаимодействия изменяет знак, оставаясь по форме (но не по величине!) неизменным. Расстояние между соседними уровнями данного терма определяется правилом интервалов Ланде (вывод формулы совершенно аналогичен выводу формулы (!.4.19)) АЕзз ! =- $ы(/ —;!). (1.4.25) Из этой формулы, в частности, видно, почему только для ионов 5тоо и Ви' в табл. 1.4 пришлось вводить поправку на влияние ближайшего возбужденного уровня. С учетом вышеизложенного легко найти ширину основного терма — разность энергий между верхним и нижним уровнем.
Оказалось, что она равна — + "' ' (1426) АЕ,! .,,! Е(25 ='- 1)5 „для Е< Я. В заключение можно оценить величину сы, по которой сразу же определяется сьз. Прямые расчеты одноэлектронного параметра $„! в водородоподобном атоме привели к формуле еоа г," ьо! 2тосоао ж с ао „о! ~/!+ ) (!+ !) 2 / (!.4.27) 34 Теперь с учетом того, что й= 25 и при предположении, что $„, не зависит от с, формула (1.4.20) примет вид (1.4.22) сз — ы 23 ~ > ! где 2оо! =2 — о — эффективный заряд ядра с учетом экранировки заряда электронамн внутренних оболочек, а ао — боровский радиус В частности, для Зс/-электронов сос = 1,44 10 — о24 см-', (1.4.28) Экспериментальные значения -",з для Зс/-ионов приведены в табл. 1.3, а значения $!/ в табл. 1.4.
Приведем для ориентировки численные значения я4;, рассчитанные по формуле (!.4.27) при о=35 для двух редкоземельных ионов. Для празеодима (с,=59) с4/=720 см-' и для туллия (л=69) х,/ —— 2900 см-'. й !.3. ПАРА- и диАИАГнетиЗАт сВОБОдных иОнОВ Рассмотрим систему, содержащую Л/ невзаимодействующих частиц в единице объема, каждая из которых обладает магнитным моментом Ио- В сферической системе координат направление Ро можно задать полярным и азимутальным углами 0 и ср. Угол О отсчитывается от оси г, вдоль которой направлено внешнее магнитное поле Н. Энергия магнитного момента ао во внешнем магнитном поле Н не зависит от ~р и равна Ем = — роН = — !со// !.'Оз 8. Фазовый интеграл в этом случае запишется так: Оя л о~НсакВ Л= ~~йр~е ~" 31пйс/6~' = ( — з)! !' ) о о Термодинамический потенциал Ф = — /сТ!п Л, и, следовательно, на- магниченность = — — = Л!со (с!1! !" ! = й/ро (с11! а — — ! = !Уи Е (а), а / (1.5.
2) здесь а=иоН/йТ, а Е(а) — функция Ланжевена, Видно, что при а- оо (низкие температуры или сильные магнитные поля) /=А/но, т. е. парамагнетик намагничивается до насыщения. При а«1 (средние температуры и малые магнитные поля) (1,5.2) приобретает вид 35 о а А'Ро С /= Мхо = // = — //, 3 3АТ Т где С = й/ро/Зй — константа Кюри. Отсюда можно определить магнитную восприимчивость 7 ИРо С к— (1,5.4) И 3«Т T (1.5.5) (1.5,6) фазовая сумма (1.5.?) (1.5.9) (1.5.11) 36 37 т. е.
мы получили закон Кюри для парамагнитной восприимчивости. В этом расчете мы предполагали, что каждый магнитный момент может быть направлен произвольно, т. е. рассматривали классический случай. При учете пространственного квантования углового момента количества движения з-компонента магнитного момента где ? — максимальное значение У„а р, = йграь? — максимальное значение р,. ?, принимает значения 7, ? — 1,..., — (7 — 1), — ?.
Энергия магнитного момента во внешнем поле Ен = — )г" — О, ьг 2 7 Я =- ~г'8'„ехр( — Е~йТ), л и, следовательно, Э» — ахр (Хна~И/ИТ) гв ?= — э'в =й(р,- 2 а.р (?.р"И/.ИТ) = !(г)г ( с()г а — — с()г — ) = Лг)г'"В г(а) (1.5 8) а ~ о7 27 27 21 / лн 7н р "и где а= = —, а Вз(а) — функция Бриллюэна. Видно, что ГгТ 'вТ при переходе к классическому пределу ? — оо функция Бриллюэна переходит в функцию Ланжевена. При а- со (сильные поля или низкие температуры) ?=Л')г., т.
е. достигается магнитное насыщение. Для тех парамагнитных кристаллов, в которых можно пренебречь воздействием электростатических полей соседних ионов на магнитоактивные ионы, формула (1.5.8) дает превосходное согласие с экспериментом (см. рис. 1.7). При а((1 функцию Бриллюэна Вг(а) можно разложить в ряд Вн(а) = — а— 7+1 У+1) +Х (7+1) а, 37 277» и уравнение (1.5.8) принимает вид ""'",?(7+ 1). Используя пз (1.45) выражение рг=йгрн !(/+1), запишем )равнение (1.5.9) в форме, совпадающей с (1.5.4): к= — ". (1,5.10) зат Используя формулы (1.4.5), можно из простых физических соображений получить формулы типа (1.5.10) для различных частных О 70 гп Л7 г70 — "л!о З?арогт Рис.
!.7. Завнснмость памагнняенностн от поля парамагннтных попов в кристаллах 13) случаев с другим значением момента р. Например, когда орбитальный магнитный момент «заморожен» кристаллическим полем (см. э 1.8), то следует пользоваться формулой У(гз к =- 3ГТ Л!' фф х= зат (1.5.12) где (1.5.18) восприимчивости (1.5.15) х = '~" —,— Л'а, уро З'еТ (1.5.20) 38 39 где рз =- 2Рв1г 5(5-- 1). Когда связь между Е и 5 разорвана и онп дают независимые вклады в парамагнетизм, то Мы рассчитали парамагцетизм системы атомов, находящихся в основном состоянии. Рассмотрим теперь задачу о пара- и диамагнетязх~е свободных ионов во втором приближении теории возмущений, т. е. учтем влияние возбужденных состояний. Гамнльтониан для одного из невзанмодействующих ионов может быть записан в виде Я= 1 — (ро — — А,) -,'— У(хо у,, з,). (1.5.13) г Суммирование ведется по всем электронам иона, )с — потенциальная энергия системы, не зависящая от Н, А — вектор-потенциал.
Если Н направлено вдоль з, то компоненты вектор-потенциала можно выбрать такими: Аг = — — у„Н, А, = — х;Н, А, = О. (1.5.14) С учетом этого (1.5.13) принимает вид е Я=- э ~ — — Н вЂ” (х,по,— у;р,.)— 2т 2тс — Н' ~ е ) (х-". --у'.)1 — К(хо, у;, ао), 8тсг — (х; р„ — у; рг ) — оператор з-компоненты орбитального магнитно- го момента, поэтому о ег у = ~~)~~ ~ ~' — Нр, --- Н' ' (х-,'+ уо)1 --'- 1/(хо у,, го). (1.5.16) Если ~еперь предположить, что магнитное поле мало изменяет исходную систему энергетических уровней иона, то члены с Н в (1.5.16) мы можем считать энергией возмущения и во всех дальнейших разложениях ограничиваться членами, квадратичными по Н.
Тогда, обозначив энергию з-го основного уровня иона без внешнего магнитного поля через Е,о, а возбужденных уровней через Е„ полу.чим для энергии з-го уровня в присутствии поля Н выражение Е, = Е о Н(р ), л- Х (х-,'.. у-',.), — Но ~ " .(1.5.17) 8тс' ' ' Д го — Его 5 Хс Индекс з означает среднее значение в з-том состоянии, двойной индекс зз' — матричные элементы при з =й а', Сумма состояний после разложения экспоненты л.= ~~~,ехр ~ — — ' ~1- его С Н(!сг)г т ~ е Ъг о е ЛТ ~ ИТ ~Т ~ 8тс' 5 ! (рг)гг ~ (р )- г ог Учитывая, что ')" ехр ( — Е о!кТ) (р,), -- О, для 5 системы Л/ ионов получим гг' дщ 8С х — — — —— Х Н дН 2.
егр ( — Уго7еТ) 5 х ~~~~ехр ( — —" ~ ' ',- 2 ~ '" — ' (х-" — , 'у-",),~~. (1.5.19) Первое слагаемое в квадратной скобке дает уже полученные выше формулы для парамагнитной восприимчивости, третье слагаемое — атомный диамагнетизм. Наиболее интересно второе слагаемое, приводящее к так называемому парамагнетизму Ван-Флека 13!. Обращая внимание па температурную независимость этого слагаемого и пренебрегая вкладом диамагнитного члена, можем записать где первое слагаемое может обратиться в (1.5.10), (1.5.11) или (1.5.12), а второе слагаемое определяез вклад парамагнетизма Ван-Флека.
Расшифровка квантовых чисел иона, скрывающихся в формуле (1.5.19) под индексом з, и выполнение суммирования привели к следующим конкретным выражениям для х. В случае узких мультнплетов Е,' — Ес=йч(/, Н) ((йТ, и а=О, что формально является следствием равенства йч(l, Н) = = — йч(l', /). В случае широких мультиплетов Лч(/, Н) »яТ, и первое слагасмое (1.5.20) совпадает с (1.5.10), а ~ив !" Р(В+ 1) Е(В) 6 (2з' '- 1) (Лч (/ — 1, з) Зч(,/ — 1, з! ) ' где Е(У)= —,М -Е-- 1)' — РЦР— (8 — Е)*), В случае средних мультиплетов йч(в', Х') =йТ естественно получается наиболее сложное выражение У -1-5 кч з,,—, 1 ~л' Л' у (и !ЗЬТ-,'- а ) (2з'-, '1) езр ! — — ~ .У~ ' ° ( Ат З=' !.— 5 ! ив (! .5.22) + .
( — ' Езо (2з + 1) езр ( — — ~ АТ где значок У при и означает, что перед подстановкой в каждое слагаемое суммы в числителе нужно рассчитать а в (!.5.20) при фиксированном Е По этой формуле были рассчитаны значения магнитных моментов ионов 5шз' и Еп', приведенные в табл. 1.4. нитного поля электроны каждой подзоны заполнят равное число состояний ниже уровня Ферми и магнитный момент системы будет равен нулю (а).
После включения внешнего магнитного поля энергия электронов каждон подзоны изменится. Для параллельных Т-спинов она будет равной Ее — ВЕН, а для антипараллельных ~-свинов Ее+Ив л'за ! ',ев " ' г ее~ Рлс. 1.8 4 1.6. ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ МЕТАЛЛОВ Прежде чем перейти к подробному рассмотрению поведения парамагнитных ионов в диэлектрических кристаллах, обратимся к парамагнитным металлам. Если бы газ электронов проводимости в металле подчинялся законам классической механики для невзаимодействующих магнитных ионов, то его парамагнитные свойства были бы аналогичны свойствам только что рассмотренного ланжевеновского газа.
Однако эксперимент показал, что ни один из металлов не обладает магнитной восприимчивостью, следующей закону Кюри. Воспрннмчивость парамагнитных металлов очень мала по абсолютной величине, примерно на два порядка меньше, чем это следует из формулы (1.5.1!), и практически не зависит от температуры. Для объяснения поведения электронного газа в металле оказалось необходимым учитывать принцип Паули, приводящий к статистике Ферми — Дирака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
