Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Выведем теперь выражение для локального поля для узла в произвольной решетке (не обязательно кубической симметрии). Локальное поле, действующее на атом, есть сумма поля от внешних источников Ес и полей от диполей внутри образца. Из поля диполей удобно выделить часть, при расчете которой суммирование по диполям можно заменить интегрированием. Локальное поле можно записать в виде Еюс =Ео+ Е~ + Ез+ Ез (13,23) Здесь Ео — поле, создаваемое фиксированными зарядами вне тела; Е~ — деполярнзующее поле от зарядов на внешней поверхности образца с поверхностной плотностью, равной и Р; Ез — поле Лорентца (в полости). Это — поле, создаваемое зарядами на внутренней поверхности сферической полости, фиктивно вырезанной в поляризованном образце; оно действует на атом в центре полости, см. рис.
13.7 (введение такой полости— в сущности лишь математический прием расчета поля Ез); Ез — поле, создаваемое атомами внутри полости. ГЗ 7зтрьглолео внутри лдзазлггг7 Рис. 13.7. Внутреннее элентрическое поле, действующее на атом в кристалле, состоит пз внешнего поля Ез и поля, обусловленного всеми осгальныьгп атоь~аьги кристалла. В этом последнем обычно выделяют три составляющих, вводя воображаемую полость в виде сферы, центр которой сояпадает с даяным атомом. Для поля в центре, создаваемого дппольными полями других атомов, ограничиваются суммированием полей от всех атомов вяутри сферы.
Это поле обозначено через Ез; для кристаллов хубическон симметрии оно равно нулю. Эффект от атомов вне сферы можно описывать как действие однородно поляризованной диэлектрической среды. Поле, создаваемое при этом в центре сферы, равно Е1 + Ез, где Е~ — деполярнзующее поле, обусловленное зарядами, наведенными на внешней поверхности образца, а Ез — поле, создаваемое зарядамв на внутренней поверхности сферы. 4тв Рис.
! З.в. К вычислению поля в нентре сферической полости, вырезанной в однородно поляриэованиом диэлектрике. Заряд слоя = аяа э1п О лов Р сов О. В сущности сумма Е, + Еа + Е, описывает всю ту часть локального поля, действующего на данный атом, которая обусловлена дипольными моментами всех других атомов образца; поэтому можно записать: (СГС) Е~+ Ет+ Е,=~~' ' ' ' ' . (13.24) (В системе СИ р, заменяется на р,/4пее,) Диполи, расположенные на расстояниях, ббльших примерно десяти постоянных решетки от рассматриваемого атома, дают лишь плавно изменяющийся вклад в сумму; расчет этого вклада сводится к вычислению двух поверхностных интегралов (см.
сноску после формулы (13.7)). ОЛин интеграл берется по внешней поверхности эллипсоидального образца и дает поле Е~ [см. (13.1!)). Второй интеграл определяет Е,; его можно брать по любой внутренней поверхности, охватывающей рассматриваемую точку (только необходимо, чтобы расстояние точки до поверхности было достаточно большим, скажем, около 50 А). Тогда при расчете поля Еэ надо учитывать все диполи, не включенныс в объем образца между внешней поверхностью образца и внутренней поверхностью, по которой проводится интегрирование для расчета Ет. Наиболее удобно выбирать внутреннюю поверхность в форме сферы. Поле Лорентца Е,. Поле Еь обусловленное поляризационными зарядами на поверхности фиктивной полости, было впервые вычислено Лорентцом в !878 г. Если через О обозначить полярный угол (см.
рис. 13.8), отсчитываемый от направления поляризации как осн, то плотность зарядов на поверхности сферической полости (пусть радиус сферы равен а) в окрестности точки, задаваемой радиусом-вектором под углом О, будет равна — Р соз 9. Электрическое поле в центре полости (СГС) Е,= ~(а ')(2паз)пО)(ас(9)(РсозО)(созО) = — "Р;(13 25) е 3 1 Зее 474 Рис.
13.9 Локальное электриче. сиое поле Еы. в диэлектрике, обусловленное только однородной поляризацией Р. Предполагается, чго окружение атома в данной точке имеет кубическую симметрию и поэтому Ез =- О. Проиллюггриронаны четыре типичных случая расположения векторов Р и Е|,. а) Вектор Р лежит в плоскости тонкой пластинки. б) Вектор Р перпендикулярен к плоскости пластинки. в) Вектор Р направлен так же, как и в случае б, но на обе поверхности пластинки нанесена металляческая пленка и поверхности закорочены проводником. г] Сфера; прн любом направлении вектора Р имеем. Ем, = О.
(Чтобы получить выражение для Е1„ в системе СИ, надо умножить Р на 1(4паа.) ое — Р 5 Геяь )Р ае 5 Ьг а 4н — Р е и (р' Ег -( — — — ~Р-О сввМйгт Рнс. 13 10. Харак ге)нюе расположение локального элекгрического поля Ем, и поляризации Р прн распространении поперечных и продольных оптических фононон. Локальное электрическое поле (обусловленное взаимодействием на больших расстояниях) обнаруживает тендешпно способствовать деформации, сопровождающей распространение поперечных оптических фононов (случай а), но в то же время препятствуе~ деформации, сопровождающей распространение продольных оптических фоионов (случай б). Поэтому юс.т мг.
Значения локального поля (пропорциональные длине стрелок) относятся к структуре, в которой ионы находятся в оиру- женив кубичесной симметрии. Горизонтальные линии соответствуют атомным цепочкам (или атомным плоскостям). Г(ооеееннаге 4я антон. Рононтс Ега.= — Р (ЕГО) Фононыс Егас=( 4о т — ')Р= — — 'Р(арье 4х" Во Ю Поле диполей внутри полости Ее. Поле Е;„ обусловленное диполями внутри сферической полости, является единственной величиной, зависящей от атомной структуры кристалла. Мы уже показали [см. (13.19) — (13.21)), что для точки внутри кристалла, расположение атомов вокруг которой имеет кубическую симметрию, Ез= 0, (13.25) если все атомы образуют точечные диполи, моменты которых параллельны друг другу. Величина Е, для тетрагопальных н простых гексагональных решеток приведена в работе М!оллера [б) (см, также статью Мак Кихана [7)). Для полного локального поля в точке с кубическим окружением согласно (13.23) и (13.26) имеем: (СГС) Еже=Ее+ Е~+ — Р= Е+ з Р (13 27) (СИ) Е~ос=Е+ з Р.
! Зеь Локальные поля для различных случаев расположения Р в пластинке (а также для шара) показаны на рис. 13.9. Выражение (13.27) называют чтормулой Лорентца; она утверждает, что поле, действующее на атом с кубическим окружением, равно сумме макроскопического поля Е [см. (13.18) ! н поля, обусловленного поляризацией всех других атомов образца, равного 4лР)3 (нли Р)3еь). Экспериментальные данные для кубнческих ионных кристаллов [8, 9] подтверждают формулу Лорентца. Локальные поля для оптических фононов в ионных кристаллах зависят от характера поляризации (см.
рис. 13.10). ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ПОЛЯРИЭУЕМОСТЬ Диэлектрическая проницаемость е изотропной среды (нли среды с кубической симметрией) определяется отношением О/Е: (СГС) е= ' =1+4пХ, (СИ) е= ' . =1+Х, (13.28) где Х вЂ” диэлектрическая восприимчивость; связь Х с е дается соотношением (СГС) Х= —.= —, (СИ) Х= — =е — 1.
(13.29) Р е — 1 Р еюЕ Здесь Š— макроскопическое электрическое поле. В некубическнх диэлектрических кристаллах связь между Х и е несколько сложнее, поскольку зти величины в общем случае являются тензорами: (СГС) Р„= Х„,Еч, ея, = 1+ 4аХяч! (13.30) (СИ) Ря = Хя еаЕч, еяэ = 1+ Х„ч.
476 1!оляризуемосгь а атома определяется через локальное электрическое поле: р=аЕь, (13.3П где р — дипольный момент атома. Это определение а имеет оди. наковый вид как для системы СГС, так и для системы СИ, хотя некоторые авторы в системе СИ записывают определение а в виде р = аесЕм,. Заметим, что величина а является характеристикой атома (или иона), в то время как диэлектрическая проницаемость будет зависеть также и от того, как атомы расположены в кристалле.
Поляризуемость в системе единиц СГС имеет размерность (длина)', дипольный момент — размерность (заряд Х длина), электрическое поле — (заряд1длнназ) . Поляризация кристалла может быть приближенно записана в виде суммы произведений поляризуемостей атомов на соответствующие локальные электрические поля, а именно: Р= ~ йггрг= ~.
"Л'~агЕм,()), (13.32) г ! где Мг — число атомов в единице объема, имеющих поляризуемость аь и Ем,(1) — локальное поле, действующее на атом в точке 1. Далее мы хотим найти связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостями атомов. Очевидно. что для этого нужно знать зависимость между макроскопнческим .и локальным электрическими полями. Мы дадим вывод в системе СГС, а окончательный результат приведем также и в системе СИ. Если локальное поле задается формулой Лорентца (13.27), то имеем: (СГС) Р=(~~ Ю~аг) (Е+ — '" Р). (13.33) Разрешив (13.33) относительно Р, получим восприимчивость: (СГС) Х= Š— — 4 .
(13.34) 1 — — Л'га~ 3 '+,' — — —,' ~)У,ар (13.33) Этот результат известен как формула Клаузиуси — Мосогги. Она устанавливает связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью, но, разумеется, лишь для тех кристаллических структур, для которых можно получить выражение для локалыюго поля Лорентца. 477 По определению е= 1+ 4пт.
(в системе СГС); тогда нз (13.34) получим; (СГС) —,',,' = 4 ~.' й1,.,; (СИ) Рис. )3.! !. Схема установки дли измерения диэлектрической проницаемости диэлектрика, помешаемого в конденсатор Если еэгкосзь конденсатора с диэлектриком равна С, то, подбирая значение емкости кзлиброванного конденсатора С, так, чтобы колебательный контур имел резонансную частоту мз !Гчгь(ох+С) СОВПадаЮШую с собственной частотой эзз колебзтележого контура с конденсатором, не содержашич диэлектрика, легко определить диэлектрическую проннпаемость е.
Измерение диэлектрической проницаемости. Обычньп! метод измерения диэлектрической проницаемости вещества основан на сравнении емкости С" конденсатора, заполнен!инго веществом, с емкостью С' пустого конденсатора. Отношение С"/С' как раз и равно диэлектрической проницаемости а. В принципе определение величины емкости можно свести к нахождению произведения ЛС резонансного контура (схема которого приведенз на рис. !3,11). На этой схеме С, — калиброванный переменный конденсатор, а С вЂ” конденсатор, в который можно поместить образец диэлектрика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
