Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Выражение для таких полей дает формула (!3.5б). Определим среднее поле Е(га) как поле, усредненное по объему элементарной ячейки кристалла, содержащей атом в узле решетки га' Е (га) = — ~ г()г е (г), 1 (13.7) где е(г) — микроскопическое электрическое поле в точке г. Поле Е является величиной, которая изменяется в пространстве 467 ! Е„==Поле, создаваемое фиксированными зарядами (!3.5) вне тела. гораздо более плавно, чем микроскопическое поле е '). Поле диполя (1З.бб) мы можем считать хорошим примером поля е(г), поскольку поле диполя является микроскопическим несгла>кенным полем. Мы будем называть поле Е жакросколическим электрическим полем.
Оно годится для рассмотрения всех задач электродинамики кристаллов, при условии, что нам известна связь между полем Е, поляризацией Р и плотностью тока /, фигурирующей в уравнении (13.1), а также если длины волн, распространяю- Шихся в кристалле (в интересующих нас задачах), достаточно велики по сравнению с постоянной решетки кристалла'). Чтобы установить вклад поляризации в величину макроскопического поля, мы можем упрощенным путем найти поле от всех диполей образца. Согласно известной теореме электростатики ') макроскопическос электрическое поле. создаваемое однородной голяризацией, равно электрическому полю в вакууме, создаваемому фиктивными зарядами, распределенными на поверхности тела с плотностью а: сг = и ° Р. (1 3.8) Здесь н — единичный вектор нормали к поверхности тела, направленный наружу (от поверхности поляризованного вещества).
Применим результат (13.8) к случаю диэлектрической пластинки (рис. 13.4,а), однородно поляризованной по всему объему. Пусть поляризация пластинки равна Р, Электрическое поле ф(г) =р ягаб (1/г) В случае образца с распределенной по объену поляризацией ф(г) = ~ п)г(Р ягаб (1/г)); (! 3.8б) зто выражение, с точностью до произвольного вектора, можно переписать в виде ф(г) ~ й)г ( — — б!тР+ и!т — 1. 1 Рч г ° ).
(! 3.8в) Если Р— постоянный вектор, то бщ Р = О и, согласно теореме Гаусса, г„, Єà о г г (! З.аг) где г(5 — элемент поверхности тела. Это и завершает доказательство теоремы. ') Если образец не кристаллический, то усреднение надо производить по достаточно большому объему, отражающему характер атомной структуры образца.
з) Подробный вывод уравнений Максвелла для макроскопических полей Е и В па основе рассмотрения н усреднения микроскопических полей е и /г дается во многих учебниках, например в книге Ваи Флака (1). Ясное и элементарное изложение этого вопроса можно найти в учебнике Парселла (2). ') В системе единиц СГС электростатический потеицнал ф диполя с моментом р имеет вид (13.8а) глу Ег У') Е1(г), создаваемое поляризацией, согласно упомянутой выше теореме равно полю, создаваемому фиктивными зарядами на поверхности пластинки, распределенными с плотностью а = и Р. На верхней поверхности пластинки единичный вектор нормали и направлен вверх, на нижней поверхности — вниз.
На верхней поверхности плотность фиктивных зарядов (т. е. заряд на едииицу поверхности) равна о = и Р = Р, на нижней, соответственно, — Р. Электрическое поле Еь обусловленное этими зарядами, в любой точке между поверхностями имеет простую форму; удобно, что на краях оно исчезает. Согласно формуле Гаусса (СИ) Е, = — — = — —. !и! Р ео ео ' (13.9) (СГС) Е, = — 4и! и)=- — 4иР Полное макроскопическос поле внутри пластинки мы получим, складывая поле Ег с внешним полем Ео. (СГС) Е= Ео+ Ег = Ео — 4тгРа' Р (СИ) Е=Ее+Ег — — Ео — — а, ео (13.10) где г — единичный вектор нормали к поверхности пластинки. Итак, имеем определение: .Е) =— Поле поверхностных зарядов с плотностью и Р на границе тела простой формы. (13.
11) Это поле плавно изменяется в пространстве внутри и вне тела; при этом оно удовлетворяет уравнениям Максвелла (13.1)— (13.3) и совпадает с макроскопическим полем Е. То„что поле Ег 469 Рнс. )ЗА. а) Однородно поляризованная дизлектрическая пластинка; вектор поляризапнп Р направлен перпендикулирно к ее плоскости. 6) Две однородно заряженные параллельные пластинки, которые создают точно такое же поле Еь что и в случае а. Верхняя пластинка имеет поверхностную плопюсть зарядов и = +Р, нижняя пластинка имеет а = — Р. является плавно изменяюгцейся функцией (с точки зрения атомных масштабов), связано с заменой дискретной решетки днполей р; распределением поляризации Р, т.
е. функцией достаточно гладкой. Деполярнзующее поле Е,. Геометрические формы тел в большинстве задач, рассматриваемых в теории диэлектриков, достаточно просты, и в этих задачах поляризацию внутри тели можно считать однородной. В этих случаях вклад в макроскопичсское поле дают лишь полз Ее и Еь т, с. (13.!2) Е= Ее+ Ег где Е, — внешнее поле, Е, — поле, создаваемое однородной поляризацией. Г!оле Ег назьгпают деполярпзуюп!гглг полем, так как внутри тела оно имеет тенденцию располагаться противоположно внешнему полю Е, (см. рис. 13.5). Удобно вести рассмотрение для образцов, имеющих форму эллнпсоида, поскольк> сферы, цилиндры и дкска можно описывать как предельные случаи эллипсоида. Удобство состоит в том, что однородная поляризацпч образцов таких форм создает однородное дсполяризующее поле. Этот замечательный математический результат выводится в классических учебниках по электричеству и магнетизму (см., например, книгу Беккера [3]).
Пусть оси прямоугольной системы координат направлены вдоль главных осей эллипсонда; если компоненты вектора поляризации Р по этим осям равны Р„Ря, Р„то для компонент деполяризующего поля получим; (СГС) Е,х= — МхР„, Е,е — —.= — МяР„, Е„= — М,Р;, (13.!3» МхГ х „гсуря МгГ х (СИ) Е,„= —, Е, = — — ', Е„=— ез ' гя е„ ' " ез Здесь М„, М,, М,— дегголлризргощие факторьг, величины которых зависят от отношений длин главных осей эллипсоида. Сами значения М„Мю М, положительны и для нх суммы удовлетворяется правило М,+ М, +гу,=4п (СГС), илп М„+Ми+ М,=! (СИ). Значения М для эллипсоидов вращения, как функции отношения сгга, графически изображены на рнс.
13.6. Значения М Рис. !Зд. деполярязующее поле Е, направлено противоположно Р. Показаны фиктивные поверкностные зарялы, которые и созда от поле Ег внутри зллипсоида. -470 п,л Рис. 13.6. Зависимость деполяриэуюшего фактора ау от отношения ллин главиык осей сга эллипсоида вращения для напранления вдоль оси а. аг о г луп ось Форма сгс ~ си Любая 4и/3 1,'3 4и 1 О О Сфера Тонкая пластинка Нормальная к плоскости пластинки В плоскости пластинки О О йи 113 Длинный круговой цилиндр По оси цилиндра Перпендикулярна к оси цилиндра Деполяризующсс поле можно уменьшить до нуля двумя пу.
тами; 1) используя длинные тонкие образцы или 2) электрически закоротив электроды, нанесенные Оа противоположные стороны тонкой пластинки. Однородное внешнее поле Ев будет индуцировать в эллипсоиде однородную поляризацию. Введем дггэлекгричеекуго восприилс чивость у соотношением (СГС) Р =ТЕ, (СИ) Р = ев1!Е, (13.14) которое связывает макроскопическое поле Е внутри эллипсоида с поляризацией Р. Если поле Ео однородно и направлено вдоль главной оси эллипсоида, то согласно (13.13) (СГС) Е=Еа+Е~ =Ее (УР (СИ) Е=Ео — —, ° (!3.15) Отсюда следует, что (СГС) Р=)1(Ев — )уР)! Р= х, Ео' (!3 16) (СИ) Р=Х(авЕв — й(Р) Р= х '„Ее для других предельных форм были вычислены Осборном 14! и Стонером [51: Величина поляризации зависит от деполяризующего фак* тора 1)!.
Если восприимчивость у очень велика по сравпешпо с М, то (СГС) Р ж — "; (СИ) Р ж — "' . (13.17) В этом предельном случае величина поляризации определяется в основном формой образца. Если иас интересует определение диэлектрической восприимчивости у материала, то следует избегать ситуаций, отвечающих этому предельному случаю. ЛОКАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НА АТОМЕ В системе СИ следует р заменить на р14пно.
Направления х, у, г эквивалентны в силу предположеииой симметрии решетки и выбора формы кристалла (сферы); таким образом, имеем: ч т ! (13.20) ') !расположение соседей атома в узлах кубичесното кристалла не обязательно имеет кубичесную симметрию. Например, расположение соседей иона кислорода Оз в струнтуре титаната барин (см, рис. 14,2] не обладает кубической симметрией. Однако расположение ионов Ыа' и ионов С1 в решетке ЫаС1 (а также ионов Сз' и С1- в решетке СзС)) обладает кубической симметрией. Говоря о поле, действуюшем на атом в каном-то узле решетки.
мм имеем в виду поле, действуюшее на любой атом в таком же узле. 472 Величина локального электрического поля, действующего из атом в узле кристаллической решетки, значительно отличается от величины макроскопического электрического поля. В этом легко убедиться уже при рассмотрении простого случая, когда расположение соседей данной точки решетки имеет кубическую симметрию, а кристалл имеет форму шара '). Для макроскопи. ческого электрического поля в образце сферической формы со- гласно (!3.15) имеем (СГС) В=Нс+Е~=Ео — — Р (13 18) (СИ) Е = Ео+ Е~ = Ео — — Р.
1 За, Рассмотрим поле, действующее иа атом в центре шара (как мы увидим ниже, выбор местоположения атома ие играет осо- бой роли, результат от этого ие зависит). Если моменты всех диполей параллельны оси з и равны р, то г-компонента этого поля в центре шара согласно (!3.5б) будет равна сумме полей, создаваемых всеми другими диполями: (СГС) Ешр —— р ~~ з ' = р ~~' ' ' . (13.!9) отсюда следует, что Еа,р —— О. (13.21) В этом случае (атом в решетке кубической симметрии в сферическом образце) локальное поле равно как раз внешнему полю: Е~ес = Ео (13. 22) Следовательно, локальное поле далеко не то же, что среднее макроскопическое поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
