Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Атом мышьяка называется донором (докоркым атомом), поскольку при иоиизации ои отдает электрон в зову проводимости. 393 Избыточный электрон движется в кулоновском поле примесного атома с потенциалом е7ег, где е — статическая диэлектрическая проницаемость ковалентного кристалла. Множитель 1/а учитывает уменьшение кулоновских сил, действующих между зарядами, обусловленное электронной поляризацией среды, Такая трактовка пригодна для орбит, достаточно больших по сравнению с расстоянием между атомамн, н для медленных движений электрона, таких, что орбитальная частота мала по сравнению с частотой ы, соответствующей ширине запрещенной зоны. Этн условия хорошо выполняются для внешних электронов атомов Р, Аз или 5Ь при введении их в качестве доноров в кристаллы Ое пли 5Ь Оценим теперь энергию связи донорной примеси. Боровскую теорию водородного атома легко изменить для нашего случая, вводя диэлектрическую проницаемость среды и эффективную массу электрона в периодическом поле кристалла.
Энергия связи электрона в атоме водорода равна — е~т)2лз в системе СГС или — е'и/2(4пе~п)' в системе СИ. В случае полупроводника следует заменить е' иа езде и т на т*; в результате мы получим выражение для энергии нонпзации донора в полупроводнике: (СГС) Еа = —,~, ', Боровский радиус орбиты электрона в атоме водорода в основном состоянии имеет вид Д'/те' в системе СГС или 4пезй'/яеэ в системе СИ.
Итак, для боровского радиуса донора получим: (СГС) аз= '„,; (СИ) аз — — "'„", . (1!.15) Применение этого результата к германию и кремнию затруднено анизотропным характером эффективной массы электрона проводимости; этот вопрос будет рассмотрен ниже. Однако поправка к энергии донора, связанная с диэлектрической проницаемостью, наиболее важна, поскольку последняя входит в выражение для энергии (11.14) в квадрате, а эффективная масса — лишь в первой степени.
Общее представление об энергии примесных уровней можно получить, воспользовавшись усредненным значением для анизотропной эффективной массы: мы будем считать кч* — 0,1ш для электронов в германии и т' ж 0,2т для электронов в крсмпьш. В качестве примера приведем типичные значения статической диэлектрической проницаемости: 5,5 у алмаза, 11,7 у кремния, 15,8 у германия. У некоторых полупроводниковых кристаллов статическая диэлектрическая проницаемость много больше; 205 у РЬВ, 400 у РЬТе, 1770 у ВпТе. Энергия ионизации свободного атома водорода равна 13,6 эВ. Для германия энергия ионизации донора Ез в нашей модели 394 тлвлипл пз Энергии ионязапии доноров Ел (в эи) в германии и кремнии 2!опорами служат примесные атомы пятпвалентных элементов.
Л» 0,045 0,0120 0,049 0,039 0,0090 0,0127 составляет 0,006 эВ, что соответствует умножению на коэффициент пт"/атея = 4 10 4; соответствую|ппй результат для кремния составляет 0,02 эВ. Расчет (сьл. 19 — 111, а также [12), гл, 14) с использованием всех компонент тензора анпзотоопной массы лает 0,00905 эВ для германия и 0,0298 эВ для кремния.
Латтинджер и Кон рассматривалп также ) точнения таких расчетов для кремния. Наблюденные значения энергий ионпзации доноров приведены в табл. 11.3. Радиус первой боровской орбиты увеличивается в ети/т* раз по сравнению со значением 0,53 А для свободного атома водорода. Соответствуюгппй радиус составляет !60 0,53 80 А для германия п 60 0,53 ЗОА для кремния. Эти радиусы столь велики, что орбиты прпмесных атомов перекрываются даже прн относительно низких конпентраппях примесей. Подобно тому как введение в Се пли 51 пппмеси атомов пятивалептного элемента приводит к появлеп1по электронов, «ба м»т д«бби б'асхаб Рис. 1!.12. Атом бора 1В) имеет только три валентиых электрона; он может «укомплектовать» свои тетраздрнчесхие связи, лишь «заимствовав» один элен- трон из связи Эд — 91, образуя дырку в валентной зоне кремния.
Образовавшаяся положительная дыряв принимает участие в проводимости. Атом бора называется акцелгорол именно потому, что при нонизании захватывает злеитрон нз валентной зоны. При абсолютном нуле дырка становится связанной. 395 тявлнцл пз Энергии ионизяцин вкцепторов й (в ов) в гермпнин и кремнии Акцепторамн служат примесные атомы трехвзлентнык элементов !и А! 0,16 0,057 0,065 0,045 0,0108 0,0102 0,0112 0,0104 введение примеси атомов трехвалентных элементов приводит к появлению дырок (см.
рис, 11.12). Типичными трехвалептпыми примесями являются В, А!, Са и 1и. Такие примеси называются ак!!епторалш, поскольку они могут захватывать электроны из валентной зоны, создавая в ней подвижные дырки. При ионизации акцептора и образовании дырки потребляется некоторое количество энергии. (В принципе задача об акцепторах аналогична задаче о донорах, хотя построение соответствующей наглядной модели потребует от читателя некоторого усилия. В обычной схеме энергетических зон электрон, приобретая энергию, перемешается вниз.) Экспериментальные значения энергий ионизация акцепторов в германии и кремнии приведены в табл.
11.4. Видно, что энергии ионизации акцепторов того же порядка величины, что я энергии нонизации доноров. Боровская модель с теми же изменениями, что для электронов, качественно применима и для дырок, но расчет эффективной массы для германия и кремния сильно усложняется из-за необходимости учета вырождения, существующего, как мы увидим„в верхней части валентной зоны '). Взглянув на табл. 11.3 и !1,4, можно заметить, что энергии ионизацпн доноров и акцепторов сравнимы с йвТ при комнатной температуре (йвТ = 0,020 эВ).
Поэтому тепловая иониза. ция доноров и акцепторов существенно сказывается на проводимости германия и кремния при комнатной температуре. Если, например, атомов донора существует больше, чем атомов акцептора, тепловая ионизация будет поставлять в зону проводимости избыточные электроны и проводимость образца будет определяться в основном электронами (отрицательными зарядами).
В таком случае говорят, что материал относится к л-типу. Если же преоблада!от акцепторы, то в валентной зоне образуются избыточные дырки (положительные заряды), которые в основном и обусловливают проводимость. В этом случае материал ') См, в связи с этим работу Липзрв а Бвлдереп!и 1131. ТЕПЛОВАЯ ИОНИЗАЦИЯ ПРИМЕСНЫХ АТОМОВ Расчет концентрации электронов проводимости, освобождспных прн ионизации доноров, аналогичен стандартному в статистической механике расчету тепловой иоинзации атомов водорода.
Если акцепторы отсутствую~, то в предельном случае низких температур (йаТ « Еа) для и получим результат: п (ноЛ'и) ' ехр ( — „,, 'г 1, (11. 16) где и, = — 2(гп,йаТ!2пйт)', й н — концентрация доноров, Чтобы получить выражение (11.6), мы применяем законы химического равновесия к отношению концентраций, а именно: (е) гггуД 1ма1 , — = функция температуры, а затем полагаем (Уй)= (е) =а. ') Это утвержненне следует на рассмотрения, прнведенного в нннге Кнттеля 161, см, формулу (Мдз).
897 относят к р-типу. Во многих случаях тип полупроводника (а-тип или р-тип) можно грубо примерно определить по знаку э.д.с. Холла (см. гл. 8). Другим простейшим лабораторным методом может служить определение знака термо-э.д.с. Если два конца образца находятся при различных температурах, то носители тока стремятся концентрироваться на более холодном конце'). Избыточная концентрация, превышающая конце:працию, соответствующую локальному тепловому равновесию, приводит к возникновению разности потенциалов, знак которой определяет знак заряда носителей тока. Напомним, что в отсутствие примесей, когда число электронсв равно числу дырок, полупроводник называется собственным.
Концентрация электронов при собственной проводимости и, при 300'К равна 6 10" см-а для германия и 7.10' см-' для кремния; удельное сопротивление материала с собственной проводимостью равно 43 Ом.см для германия и 2,6 10' Ом см для кремния. Минимальная достигнутая в настоящее время концентрация примесей составляет примерно 10'о атомов на 1 см', так что проводимость германия может быть собственной прн комнатной температуре, чего нельзя сказать о кремнии. Примеси, не способные к ионизации, не влияют на концентрацию носителей и могут присутствовать и в ббльших количествах — электрические измерения не обнаруживают их. Аналогичный результат справедлив и для акцепторов; его ле~ко получить, вводя соответствующие изменения в ход рассуждений и предполагая, что доноры отсутствуют.' Если концентрации доноров и акцепторов сравнимы по величине, то ситуация резко усложняется и соответствующие уравнения решаются численными методамн.
Подан!кипеть носителей тока при наличии примесей. При относительно малом количестве прнмесных атомов илн при высоких температурах подвижность носителей тока определяется нх рассеянием па фопонах. Прн повышении концентрации примесей может оказаться существенным рассеяние на примесных атомах. Характер рассеяния па примесях будет зависеть оттого, нейтралььы нли нонизованы примесные атомы.
Для нейтральных примссных атомов задача эквивалентна случаю рассеяния электрона на атоме водорода. Заметим, что в кристалле площадь первой боровской орбиты возрастает в (ет/т*)т раз. Точное решение задачи о сечении рассеяния на нейтральной примеси в том диапазоне энергий, который представляет интерес для полупроводников, весьма сложно. Рассеяние носителсй на ионизованных донорах или акцепторах рассмотрели Конуэлл и Вайскопф, которые использовали формулу рассеяния Резерфорда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
