Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Энергия электронов ца уровне (Х + 1), заполненном част!шно, есть Е,= (Лю,) (Л, + —,) [Л' — фВ) (). + 1)), (!0.54) где $В() +!) — число электрояов в нижних занятых состояниях. Полная энергия системы /тг электронов равна сумме Е, и Е„: Е=Е!+ Е,. Отдельные вклады в полную энерппо для одного частного случая иллюстрируются графиком на рис. 10.33. Магнитный момент (э системы при абсолютном нуле дается известным термодинамическим соотношением и = — дЕ/дВ. Магнитный момент системы в частном случае, описываемом рис. 10.33, представляет собой осциллпрующую функцию 1/В; ее график показан на рис.
10.34. Осцилляцни магнитного момента газа Ферми при низких температурах как раз и являются эффектом де Хаааа — ван Лльфена. Из формулы (!0.49) видно, что осцилляции отделены одна от другой одинаковыми щпервалами значений 1/В, равными Л(1/В): Л (1/В) = —,'",', (10.55) где 5 — площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной к направлению поля В. кПсриод» Л(1/В) совпадает с правой частью (10.52) прн = Еэе/2ллс и Л! =(Е/2л)эВ. Измеряя величины Л(1/В) для различных направлений поля В, можно вычислить площади соответствующих экстремальных сечений В; тем самым можно извлечь некоторые сведения относительно формы и размеров по. всрхностн Ферми ').
//ример; Поверхность Ферми меткллическаго золота. Шеиберг устэпозил, что в золоте в весьма шираком ннтервзле нзпрзвлеппй поля магнитный момент имеет период 2 1О ' Гс '. Из формулы (10.55) видна, что этот пернод соответствует зкстремзльной орбите, имеющей площздь 5= — ' 2 не 1 9,55 ° 10г ж ' яв 4,8 10" сч-э. йс Ь (1/и) 2 ° 10 Пз табл, 7.1 следует, что для золота величина волнового векторе сферы Фер ми аг = 1,2 !0' см-', плошадь соответствующего энстремвльного сечения равна 4,5 10" см-э, что в общем согласуется с экспериментальным значением. ') Обсуждение энспериментвльных методов и бнблиогпзфию озбот по этому вопросу можно найти в статье Шенберга 118). 872 Рис. 10.35.
Участок поверхности Ферми (такой же, квк нз рис. !0.26) для металла типа меди или золота. Рисунок иллюстрирует форму орбиты электрона при нзлячин магнитного поля, известную под нвзваннем «собачья кость». Это дыркоподобнвя орбита: энергия возрастает при переходе к внутре!гпсй части орбиты. Для истинных периодов Шеиберг дает след)ющпе величины: 2,05 10-' Го-' лля орбиты Вгн и 1В5 10-' Гс-' для орбиты Взы (схенв поэерхности Ферми для Ап и Со изображена нз рнс. 1035) В пзпрввлешш [11!1 в золоте об. нерушен также большой период, рвввый 6.10-' 1с-', соответствующая ему площадь орбиты равна 1,6 !О" см '. Это площадь сечения «шейки», перемычки; орбита вокруг «шейки»ь обозначенная буквой йг, покзззиз иа рис. 10.26. Другая экстремальная орбите, прозванная «собачьей костью», покзззнз ня рис.
10.35; плащздь ее в случае Аи составляет примерно 0,4 от наибольшей площади сечения !через центр «шзрз»). Эксперимснтвлы<ые результаты по эффекту де Хзззв — взн Альфспз ив золоте приведены нз рис. 1036 н 1037. К системс СИ в этом примере легко перейти, если опустеть с в выражении для 5 и считать период равным 2.10-» тесла ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ В МЕТАЛЛАХ С ГРАНЕЦЕНТРИРОВАННОЙ КУВИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ На рпс. 10.38 показаны для иллюстрации поверхности Ферми для свободных электронов, построенные для трех металлов, имеющих ГЦК структуру: меди (с одним валентным электроном), кальция (с двумя валеятными электронамн) и алюминия (с тремя).
Поверхности Ферми изображены для случая приведенной зонной схемы. Поверхность Ферми для свободных электронов образуется пз сфер радиуса й,, который имеет следующие значения: 4,90/а для Сп, 6,2/а для Са, 7,1/а для А!; здесь а — параметр решетки для кубической ячейки, Эти значещгя можно получить пз формулы (10.38), если учесть валентности этих металлов. Значение йш для которого сфера почти касается грани первой зоны Бриллюэна, для случая ГЦК решетки равно 5,45/а. Пормалзь проведенная из начала координат к гексагональной грани первой зоны Бриллюэна, ссть (и/а) (к+у+я) и по абсолютной величине равна Т/3л/а, Таким образом, сферы Ферми для свободных электронов для кальция и алюминия выходят за пределы первой зоны Бриллюэна. Из экспериментов по измерению эффекта магнетосопротивления на кальции известно, что электроны действительно «располагаются» и во'второй зоне 573 Гпс.
1036. Эффект де Хааза — ван Альфена в золоте при магнитном поле 0,1(110). Осцнлляции связан« с движением электронов по замкнутым орбитам типа «собачей коста» (см. рис. 10.35). Регистрируемый сигнал пропорционален второн производной магнитного момента ~ о полю. Приведенная кривая получена прн Т = 1,2 'К методом модуляции поля в сверхпроводяшем соленоиде с высокой степенью однородности поля.
(1. М. Тешр!е1ап,) 3(а«Гс 3(ум'с Рпс. 10.37. Эффект де Хавва — ван Альфена в зологе при магнитном поле В 11 [111]. Кривая показывает осцилляцни, обусловленные движением по орбитам максимального сечения (через пентр «шара»), — тонкая структура с малым периодом.
1(а вту картину накладываются осцнлляции с большим пе. рнодом, обусловленные движением по орбитам вокруг сечения «шейки» перемычки. Эти орбиты обозначены на рис. 10.26 букваыи В н Аг соответственно. (1. М. Теглр!е1оп,) Са Рис. )0.38. Паверхносюг Ферми для металлов с ГПК с1руктурой (случай свободных электронов), когда на элементарную ячейку приходятся один (Сн), два (Са] и три (А!) валентных электрона. Показано, что поверхность Ферми для Сп для согласования с экспериментальными данными получилась в результате деформации сферьь Вторая зона Бриллюэна для Са содержит лишь малые полости с электронами («пузырьки»), а вторая зона для Л! почти целиком заполнена электронами.
Слохсная структура поверхности Ферми в первой зоне для Са и в третьей зоне для А! показана лишь частично. Для обоих случаев показано, что в одной и той же ване характер поверхностей одинаков и они ориентированы так, что все три поверхности имеют кубическую симмег. рию. (Из статьи Макинтоша [)9Б) Бриллюэна, оставляя соответствующее число дырок в первой зоне.
Сфера Ферми для свободных электронов в алюминии содержит в себе всю первую зону Брнллюэна и перекрывается со второй и третьей зонами Бриллюэна. В третьей зоне поверхность Ферми имеет довольно сложный вид, хотя построена она нз частей сферы Ферми для свободных электронов. Модель свободных электронов также дает небольшие «карманы» дырок в третьей зоне, но если потенциал решетки берется так, чтобы учесть зти «пустоты», то электроны добавляются в третью зону.
Общие свойства предсказываемой поверхности Ферми для алюминия вполне хорошо подтверждаются опытом (201. 375 РЕЗЮМЕ ') 1. Любая поверхность Фсрми есть поверхность постоянной энергии аг в й-пространстве. Поверхность Ферми нри абсолютном нуле отделяет заполненные электронами состояния от незанятых состояний. Обычно строить поверхность Ферми лучше всего в схеме приведенных зон, однако характер связности поверхности на~ладнее виден в периодической зонной схеме. 2. Движение волнового пакета, связанного с волновым вектором Й, описывается уравнением движения Г=л(с(й/Й), где à — внешняя сила. Движение в обычном пространстве можно описывать прп по. мощи групповой скорости ра=й 'Ч,а(й). Рассмотрение движения в й-пространстве прн наличии магнитного поля приводит к необходимости различать орбитгя трех типов: электронные, дырочныс и открытые орбиты.
ЭФФективная масса т" электрона с данным й определяется выражением ( — )„,=— 1 Х 1 дее аи,)ит Ь' дни да„ ' Чем меньше энергетическая щель (чем уже запрещенная зона), тем меньше ~ ш' ~ вблизи щели. 3. Если в кристалле имеется одна дырка, это значит, что он имеет одно свободное (незанятое) электронное состояние в заполненной (если не учитывать это единственное исключение) энергетической зоне. Свойства дырки те же, что и системы пз (Л' — 1) электронов.
а) Если электрон покинул состояние, где он имел волновой вектор й„ то образовавшаяся дырка имеет волновой вектор Аа = — й,. б) Скорость изменения вектора йн во внешнем поле требует, чтобы дырке был приписан положительный заряд: еа = е = — а„ и, следовательно движение дырки описывается уравнением — а =- е (В + — ца Х В) . в) Если и,— скорость электрона, которую он имел в состоянии й„то скорость, которую следует приписать дырке с волновым вектором й» = — й„равна 376 ') Все выражения лаются в единицах СГС. г) Энергия дырки, отсчитываемая от начала энергетической шкалы, для заполненной зоны положительна и равна в„(йл) = — е ((г,). д) Эффективная масса дырки противоположна по знаку эффективной массе электрона для той же точки энергетической зоны: пгз = — гп,.
4. Наличие связи в простых металлах объясняется понижением энергии состояния й = О зоны проводимости, когда наклпдываемые иа волновую функцию граничные условия изменяются от шредингеровских (для свооодного атома) до гигнер-зейтцевских (в кристалле). б. Мерой периодичности по 1)В в эффекте де Хаааа — ван Альфена является площадь сечения поверхности ферми 5 в )гпространстве; это сечение берется перпендикулярно к направлению магнитного поля В: 10.1, Зоны Бриллюэна прямоугольной решетки. Построить первую и взорую зоны Бргьтлюзпз для простой прямоугольной решсзки (в случае двух ззыеренпй); считать постоянные решетки равными а н Ь = Зз.
10.2. Зоны Бриллюзна плоской квадратной решетки. а) Построить четверг тю зону Брнллюзна плоской квадратно(1 решетки. б) Лля поверхности Ферми, изображенной на рнс. 10.2, приближенно партн в приведенной зоне внд той части поверхности Ферми, которая лежит в четвертой зоне. Указать область, заполненную электропамн. 1О.З. 1'ексагональная плотиоупаковаииая структура. Рассмотризг пс1 зс о зону Бриллюзпа кристалла с простой гексагопальной решеткой (для слушч трех измерений); постоянные решетки пусть равны а н с (см.
задачу 2 2ь Обозначим через С. наименьший вектор обратной решетки, параллельный осп г кристаллической решетки. а) Показать. что для гексагонзльной плоп оупаковаппой структуры Ф)рье-компонента (у(С,) кристаллического потеппкала (/(г) рззпа пулю. б) Выяснить, равна лп пулю также композента ()(2С.). в) Установить, возможен лн в прпннипе диэлектрик нз лвухизлэгп~ых атомов, размещенных в узлах простой гексагопальной решетки. г) Почему невозможен д~злеглрик нз одиовалентных атомов, размещенных в гексагональной плогноупзкованной кристаллической решеткез 10.4. Зоны Бриллюэна двумерного металла из двухвалентных атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
