Kittel-Ch-Vvedenie-v-fiziku-tverdogo-tela (1239153), страница 70
Текст из файла (страница 70)
С. Вцп!ар.) Рнс. !1.4. Движение электронов и дырок в электрическом поле Е. Нацравлеиня скоростей двлжекия электронов и дырок противоположны, но создаваемый ими электрический ток имеет одинаковое направление, а яценко направление электрического поля, ббГГ гбр Эбб хго тгту гтг Р ,и Рис. !'~,5, Температурная зависимость логарифма проводимости германия при различных ковцентрапиях трехвалеитных и пятваалентных примесей Г2]. Температурная зависимость проводимости особенно чувствительна н конпентрапни носителей. Содержание примесей влияет иа когпгентрацэю носи~елей при низких температурах, однако при высоких температурах конпептрапия носителей определяется собственными свойствами чистого кристалла полупроводника.
В собственной области в температурной зависимости проводимости доминирует множитель ехр( — Еэ!ййэТ), фигурирующий в выражении для ионпентрапии носителей гЕе — ширина энергетическои щели). Поэтому график зависимости логарифма проводимости от обратной температуры в собственной области имеет вид прямой линии. Воспользуйтесь приведенными данными для опенки ширины энергетической щели германия. ~Огэет; -0,7 эВ.) таили!ЛА н.! Ширина энергетнчесиой щели Е (запрещенной зоны) межлу валентной зоной и зоной проводимости в некоторых полупроводниках при абсолютном нуле н при комнатной температуре (! — непрямые переходы, е( — прлмые переходы) и, эп о»к! зон — 0,39 0,29 (3-1 — 0,37 ~ Г!9Тс ) ! РЬ8 | РЬ8 | РЬТе г) а е( г( | с( | е( |' 1,14 0,67 0,00 0 1 ! 7»»7 01п 03 2 58 2»2 0!8 | Са8 0,35 ! С08е 1,3.') )! Сбтс 2,26 )! 7гО 1,!3 | Уп3 0,78 ) ЕпТе 152 | АйС1 , Сп.О 1,6*' 1,7! 1Я1 1,15 3,91 3,6 03 018 3,2 — г,8 2,17 3,93 0,56 )( Т|О *) Нате — пел|пете»п, впергепю|екне зпны перекрнввытен.
йаа Ел+Ай Е|ппг Згфган ф~тпнг йге Экгагия фгвгона лм — ь ю Ю !пкс, ! !.6. Зависимость поглощении фотоноа от пх элер|пи в чиль» |и!зле!о треках прп абсолютном нуле, а) Граница поглоще|щя зпнпскт от элсргпн фотонов простсйщиы образоы; она определяетсн щпрпной эперг|пическоп щели; Е, = йюк. б) Опмщеское поглощс||не вблпщ грп щцы ослабевае, когда эзерю|я фотонов 7|ы = Ег+ йрй фотон гоглощаегся с ооразованпем трех частиц: свободного электрона, свободной дырки и фокона с зпсргней ЬР. В случае б энергия Е,е..| характеризует порог образования свободного электрона и свободной дырки без образования фояояа.
Такие переходы называют верпп|альпыми, опп аналогичны прямым переходам в случае а. Приведенным графикам ие отвечают какие-либо линии поглощения, ко~орые иногда впалы как раз вблизи нижнего по энергии края порога. Такие липин связаны с образованием связанных пар электров — дырка, называемых экситонами. Поглощение, вызывающее образование экситопов, иаприыер в арсеииде галлая (ОаАз), рассматривается в гл. !8. Алыаз 8! Ое а-8а 1п8Ь !пА» 1пр Озр (задз Оа8Ь А!8Ь 8 |С (!тех) Те ХБ8Ь 5,4 1,!7 074 0,36 1,29 2,32 1,о2 0,81 1(г 3,0 0,33 0,53 зоны орооогуолгооооо Угроо боооиыной зооь ьт йо й бу Рис, ! 1,7.
и) Самая низкая точка зоны проводимости соответствугг тому жс значению й, что и высшая точка валептной зоны. Изображен (вертикьлыго вверх! прямой оптическпи переход, при котором й почти не изменяется, поскольку поглощаемый фотон имеет очень малый волновой вектор. Пэро.-оная частота гзз для поглощения при прямом оптическом переходе опредглясгсл величиной энеРгетической щели Еа — — аыз. б! ПепРЯьши пеРетод пРоисходиг с участием фотона и фоиона, поскольку края зоны проводимости и взлснгиой зоны удалены друг от друга в й-пространстве. Пороговая энергия прямэго проис са для случая б презып.зет действитгльнуго ширину щели.
Пороговая »пергол поглоигеипя для непрямого перехода згеллду краями зол составляет йго = Лз -1- ЛП, где Й вЂ” частота излУчениого фонона с волновым вьктоРэч К сз — й,. При высоких теипгратурак уже имщогся фононы; если фоион поглэш штся одновременно с фотонам, пороговая энергия йы = Ез — лй. наметим, что па рисунках покзззлы только пороговые переходы 11ераходы, воойи,с говоря, возыогкны почти между л~обыьги пзрамл точек эгнх двух з и, дзя .,оторых ыо:ут выаэлпяпся законы сохранения энергии и залпового поглш"ения непрерывного оптического спектра лежит прн частоте ша, то пшрина запрещенной зоны определяется из соот. ношения Ез = Лша (см.
рис, 11.6,а и рис. 11.7,а). При прямом процессе псглогцеяид фотон поглощается кристаллом с образованием электрона и дырки. Непрямой процесс поглогцения (см. рис, ! 1.6,б и рис. 11.7,6) имеет место, когда энергетические ми. нимумы для электронов (в зоне проводимости) и для дырок (в валснтной зоне! имеют место при различных значениях волвогого вектора й и «расстояние» между ними равно й,. В этом случае прямой переход, обусловленный поглощением фотона с энергией, равной минимуму ширины в запрещенной зоне, не будет удовлетворять закону сохранения волнового вектора, т.
е. соотношение йрг,,г = й, пе может выполняться, потому что волновые векторы фотонов в представляющей для нас интерес области энергий (порядка 1 эВ) пренебрежимо малы по сравнению с й,. Однако в рассматриваемом случае возможно образование фонона с волновым вектором К и частотой И. Тогда имеют место соотношения йр„,! = й, + зх' ~ О, йщ = Ез + йьз, 13 Ч, Киссель эгт дэ д эра ~ эа Рнс. 11.8. Оптическое поглопэенне в чистом антнмоннле анана (1пэь). олесь переходы прямые,тая лак края ао.
ны проводимости н валентноа воны отвечают центру воны Брнллюэна прн а = О. (О, %. Ооье!1, Н, У, Гап.1 э йэ йз ру Юа, эд удовлетворяющие законам сохранения. Энергия фонона й(1 при этом обычно будет много меньше, чем ширина щели Еа. В данном случае фонон даже с большим волновым вектором служит, так сказать, дешевым поставщиком импульса кристалла, поскольку характерные величины энергий фононов (-0,01— (.'.03 эВ) малы в сравнении с ширнной энергетической щели. !!ропссс может идти и с поглощением фонона. Если температура достаточно велика для образования фононов путем термического юэзбуждения, то возможны также процессы поглощения фотонов с поглощением фононов. Величину щели между зонамп можно вывести и пз тсмперат, риой зависимости проводпаюсти или концентрации носителей в области собственной проводимости. Концентрацию носителей можно получить из измерений эффекта Холла (гл.
8), дополняемых иногда измерениями проводимости. Однако лишь оптические измерения позволяют определить, каким переходам, прямым или непрямым, отвечает наблюдаемая энергетическая и;ель. Например, в Сэе и 81 края зон «связаны» непрямыми переходами; в 1пВЬ края зон связаны прямыми переходами (см, !.ис. !1.8). В а-5п щель отвечает прямым переходам, но при этом ширина щели точно равна нулю (5], В кристаллах Н8Те и Н((8е, являющихся цолуметаллами, наблюдаемая ширина щели сказывается отрицательной, что свидетельствует о перекрытии энергетических зоп. ЗАКОН ИЕЙСТВУЮШНХ МАСС Мы хотим определить зависимость концентрации собственных носителей от щнрины энергетической щели; для этого вычислим количество электронов, переходящих в результате возбу>кденпя при температуре Т в зону проводимости, как функцию химического потенциала и. В физике полупроводников и часто называют уровнем Ферми' ). Мы будем отсчитывать энергию от верхнего края (потолка) валентной зоны, как на рнс.
11.9, П)ыс тз' и Рис. 11сь Энергетическая схе. ма, иллюстрирующая статистические расчеты. Функция распределения Ферми изображена в том же масштаое справа,для случая йзТ << Ее. Изображен случай собственного подупроводнш<а, в котором уровень Ферми р лежит внутри ззпрешенной зоны. ~~фФ:~~ГГ//Г~~д:,.м „„ интересующих нас температурах можно предположить, что в зоне проводимости е — )с )) йаТ, и функция распределения Ферми — Днрака сведется к ехр( й т )' (! 1.1) Значение величины 1 — это вероятность того, что электронное состояние зоны проводимости занято.
Напомним, что р есть энергия, прп которой 1= 1/2, но формула (11.1) справедлива приближенно в предположении 1« 1. Будем считать, что для энергии электрона в зоне гроводимости имеет место зависимость Тсз)ст ва=Ея+ —, лспе (1 1.2) ') Эта терминология не очень удачна. Строго говоря, уровень Фсрмп— зто уровень, на котором сше есть электроны прн абсолютном нуле (в модели свободных электронов)'1 оп определяется лншь концентрацией электронов и совпадает (грн абсолютном нуае) с энергией Ферми, вли с химическим потенцналоы И (Т = О), т.
е. со свободной энергией па один электрон. Прн конечных температурах (Т Ф 0) энергия Ферми (химический потенциал) становится Функцией температуры и не равна энергии, соответствующей уровню Ферми. Нестрогость состоит в том, что н при Т Ф О энергию Ферми называют уровнем Ферми, ноторый, таким образом. становится ззвисяшим от температуры и, будучи средней величиной, может не отвечать никакому из разрешеннмх уровней энергетического спектра (например, он может оказаться в зопрешенной зоне). — Прим. ред. 13» ЗОТ где пт,— эффективная масса электрона. Тогда в соответствии с (7.24) число состояний с энергиями между е и в+ с(е на единицу объема равно ю, (е) с!е = —, ( —,.') (е — ее) '* сте.
(1 1.3) Используя (11.1) и (11.3), для чвсла электронов в зоне прово- димости (на единицу объема) получим: п = ~ !х), (е) ), (е) с(е = и Выполнив интегрирование, получим '): (И.В) Задача не решена, пока не известно )с. !)атезно также рпссчитать равновесную копцентрацшо дырок р. Функция распределения для дырок )а связана с функцией распределения д. з электронов ), соотношением !ь = 1 — 1„ поскольку дырка с:Уделяется как отсутствие электрона. 11мсем: ! 1 Ге — и ехр( )+1 ехр( . )+! а в прсдполозкенпи (Н вЂ” е) >) йпТ. Если дырки у потолка пале~!твой зоны ведут себя как частицы с эффективной массой ть, плотность дырочпых состояний определяется кзк п)а(е) 1 = 1, ( — ',,а)ь( — )ъ (к 11апомним снова, что энергия отсчитывается от потолка валентной зоны вверх. Действуя далее тем же путем, что и при выводе В обозначениях, которые автор использовал а своей кингс [б) (~л.
1!), этот резулыат ыозкно записать в виде 2Л с"р ( ег)йпт) и= У !е) (11.5а] Гд УО (е) = (2пй йпейат) (11.5б) —.квантовый объем, приходяшийся на электрон проводимости, а Л вЂ” абсолнттяая активность, равная ехр()з)йаГ). Иной вывод соотношения (1!.9) приведен в статье Киттелв 171, '(11.4), для концентрации дырок в валентной зоне получим. е р = ~йа(в))а(я)де=2( а вз ) ехр ~ — — ). (11.8) Перемножая выражения для а и р, получим для состояния рав- новесия полезное соотношение: а т з ар=4(, и, ) (т,та)'ехр ~ — — ). в (1 1.9) Этот полезный результат не содержит значения уровня Ферми )з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
