Borovik-ES-Eremenko-VV-Milner-AS-Lektsii-po-magnetizmu (1239152), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В случае ферромагнетика с положительным обменным взаимодействием это состояние легко находилось непосредственно из физических соображений. Для антиферромагнетика процесс несколько сложнее ввиду того, что отрицательное обменное взаимодействие стремится ориентировать спины подрешеток антипараллельно, в то время как зеемановское взаимодействие с магнитным полем стремится установить их вдоль поля. Энергия анизотропии не меняется при замене ое на — 5-.
Наличие таких конкурирующих факторов свидетельствует о том, что при достаточно слабом внешнем поле должна сохраняться антипараллельная ориентация спинов подрешеток ). При некотором значении поля, которое определяется обменным взаимодействием и магнитной анизотропией, эта ориентация нарушится, и спины подрешеток установятся под углом к оси анизотропии. Покажем, что приведенные рассуждения подтверждаются вычислениями. Прежде всего предположим, что спины в пределах каждой из подрешеток в положении равновесия ориентированы одинаково.
Обозначим через д!, со! и дз, !аз полярные углы спииов соответственно первой и второй подрешеток (ось - -- полярная). Тогда, как следует из выражения (21.10), энергия основного состояния равна о = 275 Х(совдасозд! е йпд!в!пдасоз(у! — Эаа)(— — Ыт~(созе д! + созе да) — 2!л77б(сов д! + созда).
') В гамильтониане (2!.!О), в отличие от (2!.1), перед энергией обменного взаимодействия между подрешетками стоит знак плюс Коэффициент 2 вводится для удобства, ) Отклонение от антипараллельной ориентации при сколь угодно слабом поле энергетически не выгодно из-за увеличения энергии анизотропии. 37! 2!.д. Сииноеые волны в интиферромигнгглике Из условий экстремума, дго дго дго дга дтз1 гзй див дфг находим следующие два решения: 1) д~ = О; да = т (или наоборот); 2) д1 = дз = д; ф1 = фз ~ х; сов д = (где г — конфигу- гиН Н(22г — Ь) рационное число). Сравнивая значения энергий для обоих решений, находим, что при Н < Н„ реализуется первое решение, а при Н > Ни — второе, причем Ни = Я~4(2-~ — Ь), Этот результат подтверждает приведенные выше физические соображения и совпадает с результатом феноменологического расчета, описанного в гл, 20.
Соответственно различному характеру основного состояния при полях, меньших и больших поля Нгн закон дисперсии спиновых волн в этих двух областях полей имеет различный вид. Рассмотрим сначала случай Н < Н„. Будем для определенности считать, что д1 = О, а дз =- и, т.е, что спины первой подрешетки направлены по полю, а спины второй подрешетки — против поля. Полагая в уравнениях (21.11) Яч, — — Яо + ач„ Ячг = — Яо + ачг и линеаризуя эти уравнения по оч, и о .„ получим а = — 'У Яо,— 2 о е и~ +у ~о,Н+ — Яо+ — Яо ,' 1 ( гу Ь ч' и ч Р- " ч! д д Р (21.13) о, .= Т Яо, — 2 ко + ~~ + 7 ~о,,Н вЂ” — Яо — — Яо у гу Ь Чг ' Ч Р Чг Р Переходя в (21.13) к компонентам Фурье (ои, и ок,), получим (при данном )с) систему из четырех уравнений, из которой найдем закон дисперсии для двух ветвей спектра '): еи, = йигм = (21.14) Явное выражение для суммы 2 еши определяется симметрией кристаллической решетки.
Так, например, в случае простой кубической ) Мы оставляем только положительные решения биквадратного дисперсионного уравнения Гл. 2Г Динамика магнитной решетки Саиноеые волны 372 решетки 2' ежи = 2(совая, Ч- сова!3 + сова(г,), где п, -- постоянная решетки. Из выражений (21.14) видно, что минимальное значение каждой из энергий, бок, и й ~к„ достигается при [с =- 0. При этом = ы, =2ягьгг -я еггы. ф 21.4. Спектр спиновых волн в области малых квазиимпульсов градиентов: 14" =- ~ш (М; ) г(г, (2!.15) где л, = (ап у, г) и интегрирование ведется по всему объему кристалла. Плотность энергии ш (М, ВМ/дт.,) можно представить в виде разложения в ряд по степеням компонент вектора тп и его пространственных производных дМ/дх,.
Затем можно ограничиться несколькими первыми членами ряда, так как коэффициенты при оолее высоких степенях М и дМ/дт, обычно значительно меньше коэффициентов при первых членах. До сих пор мы стремились изложить методы расчета спектра спиновых волн для всего диапазона значений квазиимпульсов в пределах зоны Бриллюэна — от ее центра до границы.
При этом пришлось ограничиться простейшими частными случаями и модельными соображениями, например учитывать обменное взаимодействие лишь между ближайшими соседями. Часто, однако, необходимы расчеты спектра спиновых волн для более сложных магнитоупорядоченных структур и без каких-либо модельных ограничений. Такие расчеты возможны для области малых квазиимпульсов, где длины спиновых волн существенно больше периода кристаллической структуры.
В этом случае применима макроскопическая (или феноменологическая) теория, впервые построенная для ферромагнетиков Е.М. Лифшицем [133[ и для антиферромагнетиков М. И. Кагановым и В.М. Цукерником [124] и подробно изложенная в ряде обзоров и монографий [3, 12, 34, 77, 90[. Как отмечалось в предыдущей главе, феноменологическая теория рассматривает кристалл как непрерывную среду. Магнитоупорядочениое состояние описывается заданием в каждой точке кристалла вектора М,(г,1) плотности магнитных моментов подрешеток. А.
Феноменологическая теория спиновых воли в ферромагиетике. Поскольку в ферромагнетике одна подрешетка, индекс 1 при М будем опускать. В отсутствие внешнего магнитного поля энергия ферромагнетика является некоторым функционалом от самого магнитного момента и его 21 4 Спектр спииовььх воли в области льалььх квазиилпульсов 373 В разложение обязательно должны входить такие комбинации величин М и дМХдл„которые инвариантны относительно преобразований, переводящих кристаллическую структуру кристалла саму в себя (элементов симметрии кристалла). Для простоты ограничимся рассмотрением одноосного ферромагнетика, когда в кристалле есть избранная ось симметрии высокого порядка. Тогда плотность энергии ферромагнетика можно представить в виде, удовлетворяющем указанным выше требованиям: ьс (М, ) = -АЛХз — -Д(Мп)з+ -о ( ) (21 16) Здесь член АЛХ"/2 описывает в основном энергию обменного взаимодействия при однородной намагниченности кристалла.
Второй член в выражении (21.16), называемый энергией магнитной анизотропии кристалла, описывает в основном спин-орбитальное взаимодействие; п — единичный вектор, направленный вдоль оси симметрии кристалла. Легко заметить, что любой поворот вокруг направления оси и не изменяет выражения для полной энергии И', Наконец, третий член разложения описывает обменное взаимодействие, возникающее при неоднородном распределении намагниченности по объему кристалла. Разложение (21.16) справедливо, когда характерный размер магнитных неоднородностей, возникающих в кристалле, значительно больше периода кристаллической решетки: Л » а, или сь)л « А, где й †.
квазиимпульс спиновой волны, Л вЂ” ее длина, а — период кристаллической структуры. Кроме того, в выражение (21.16) нужно добавить плотность энергии магнитного момента во внешнем магнитном поле — МН. При этом, однако, необходимо помнить, что поле Н внутри кристалла не равно полю Но вне кристалла на бесконечности. Эти поля отличаются на величину --4тгХь'М, где Лг — размагничиваю1ций фактор кристалла, определяемый размерами и формой образца. Вместе с тем, если поле не слишком велико и кристалл представляет собой вытянутый вдоль намагниченности образца цилиндр, то ЛХ « 1, и следовательно, Н = Но. Для простоты остановимся именно на такой ситуации. Благодаря сильному обменному взаимодействию между спинами отдельных атомов ферромагнетика его магнитный момент в области температур, значительно меньших температуры Кюри, с большой степенью точности можно рассматривать «жестким».
Иначе говоря, как уже отмечалось в гл.20, имеем (М(г, С)~ =- Л1о~ = сопз1. (21.17) Найдем основное состояние ферромагнетика. Другими словами, определим такое распределение величины М(г,г) вдоль кристалла, при котором энергия кристалла минимальна. Минимум функционала определяется приравниванием вариации 61Т' нулю, что дает следующее 374 Гл. 21 Динамика магнитной региетки Соиноеь»е еолнь« уравнение: дг АМ вЂ” с« — —,, — дп(Мп) — Н бМ = — О.
(21.18) дгм дл, Из выражения (2!.17) находим, что М бМ = О, и следовательно, бМ ! М, а из выражения (21,18) получаем, что вектор бМ перпендикулярен вектору Н,ф = — — = п, +,дп(Мп) — АМ+ Н. б'!4' д М 6М дк,' (21. 19) Следовательно, вектор М параллелен Н,ф, т.е. Н,ф играет роль некоторого эффективного магнитного поля, вдоль которого выстраивается «жесткий» магнитный момент. Теперь можно записать д'М Н„1, = Н вЂ” АМ+с» —,, +,дп(Мп) = сМ, (21.20) где с — произвольно. Решения уравнения (21.20) определяют равновесные распределения вектора плотности магнитного момента М(г,1).
Если константа неоднородного обменного взаимодействия и > О, то решение уравнения (21.20) соответствует однородному распределению плотности магнитного момента вдоль всего кристалла. Например, при внешнем поле, равном нулю или направленном вдоль оси п, которую мы выбираем параллельной оси ., имеем М = (0,0, Я1о) при д > О. Заметим, что подавляющее число ферромагнетиков обладает однородной намагниченностью, и следовательно,о > О. Кроме того, у кристаллов с размагничивающим фактором Г»г 1 учет размагничивающих полей приводит к возникновению в кристалле неоднородных распределений магнитного момента (даже при о > 0), связанных с возникновением доменной структуры. Перейдем к исследованию колебаний плотности магнитного момента ферромагнетика. Для этого необходимо иметь уравнение, определяющее изменение плотности магнитного момента со временем.
Жесткий свободный момент М прецессирует вокруг направления магнитного поля Н согласно уравнению дМ = у(МНо), где йр В нашем случае роль магнитного поля играет Н,ф, т.е. жесткий магнитный момент ферромагнетика прецессирует вокруг направления поля Н,й„или дМ(") = «(Мне,,). (21.21) 21 4.
Спектр спинозы волн е области льалььл кеазиимпрльсое 375 Интересуясь в дальнейшем малыми колебаниями плотности магнитного момента и магнитного поля около их равновесных значений Мо и Но, положим М = Мо+ р(г,1); Н = Но+ Ь(г,1), где р и Ь вЂ” малые величины. Однако при вычислении величины Ньф = — бв75М к полной энергии кристалла нужно прибавить энергию магнитодипольного взаимодействия ') --' (МЬ,й. 21 Здесь поле Ь связано с магнитным моментом ферромагнетика уравне- ниями магнитостатики: го1Ь =- О; с11т(Ь+4кМ) = О. (21.22) Ограничившись в уравнении (21.21) только линейными по р и Ь членами и воспользовавшись соотношением, следующим из (21.22): дЬ ! дМ 4к' получим линеаризованное уравнение движения магнитного момента: ди — =- ТМо ~Ь + слс.'эр —,дп(1ьп) —,, р —,3 э р~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
