Borovik-ES-Eremenko-VV-Milner-AS-Lektsii-po-magnetizmu (1239152), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Иначе говоря, в этих состо) Речь идет о ферромагнетике, находящемся в состоянии теплового равновесия. При нестапионарном воздействии роль играют также и сильно возбужденные состояния 366 рл. 2Г динамика магнитной решетки Саиновые волны ф 21.2. Полуклассическая теория спиновых волн в ферромагнетике Энергетический спектр ферромагнетика вблизи основного состояния (спектр спиновых волн) может быть получен с помощью классических уравнений движения для спинов магнитных атомов. рассмотрим сначала ферродиэлектрик, для которого магнитная часть энергии имеет вид Н = —,УЕ ЯчВ, — 6~ (Я)' — 2рНЕ (Ь")'.
(21.1) чг ч ч Здесь первое слагаемое описывает обменное взаимодействие; Д положительный обменный интеграл между ближайшими соседями. Второе слагаемое энергия анизотропии; 6 — константа анизотропии, которую мы будем считать положительной. Третье слагаемое — зеемановская энергия взаимодействия спиновой системы с внешним магнитным полем Н; р — магнетон Бора; г1 и г векторные номера узлов кристаллической решетки. Ось з совпадает с направлением поля Н. При классическом рассмотрении операторы спинов в гамильтониане (21.1) заменяются числами, а уравнения движения получаются с помо ью авенства р а где (ЯчН) — классическая скобка Пуассона. (21.2) ') В пределе прн Х вЂ” ~ оо.
яниях --проекция спина в одном узле кристаллической решетки на единицу меньше максимальной, а в остальных узлах — максимальная. Число таких состояний равно числу магнитных атомов в решетке. Лействительно, в отсутствие зависящего от спннов взаимодействия между атомами уменьшение на единицу --проекции спина в любом узле изменяет энергию системы на одну и ту же величину.
Это значит, что уровень энергии, соответствующий минимальному возбуждению, Дг-кратно вырожден (где Х вЂ” число узлов). Обменное взаимодействие снимает вырождение, уровень энергии размывается в полосу '), но число состояний, естественно, остается прежним. Ввиду трансляционной симметрии решетки состояние с одним повернутым спинам описывается волновой функцией, представляющей собой плоскую волну, волновой вектор которой нумерует состояние. Такие волны были впервые рассмотрены Ф.
Блохом и называются спиновыми волнами. Итак, с точки зрения квантовой механики спиновая волна — это волновая функция состояния с минимальным отклонением проекции спина на избранное направление. С наглядной классической точки зрения спиновую волну можно представлять как спин, отклоненный от своего равновесного положения и распространяющийся по решетке. 2П2. Полуклассинеская теория спиновьгх волн в ферромагнетике 367 Поскольку спин является механическим моментом (тпч —— ЬВч), мы можем воспользоваться, как и для орбитального момента, известными из классической механики выражениями для скобок Пуассона и записать (гп'шф = т', нли (5'5'") = — Ь". (21.3) Два другие равенства получаются из (21.3) циклической перестановкой координат х, у и -.
Скобки Пуассона для компонент спинов, относящиеся к разным узлам решетки, равны нулю. Постоянная Планка входит в равенство (21.3), поскольку спин Я измеряется в единицах 6. Это никак не связано с квантовым рассмотрением, и в дальнейшем присутствие постоянной й играет чисто формальную роль. С помощью (21.2) и (21.3) получаем следующее уравнение: 6 — 'ч = 212 ЯчЯ р -Ь 268ч(Ячп)п+2РНЯчп, ог р где р — вектор, соединяющий Ч-й узел с его ближайшими соседями; п единичный вектор вдоль оси -. Последнее уравнение можно представить в виде ~~; .— 1 (В,Н„,,э1; (21.4) где Нв,ь = Нп+ — 7~ Яагер+ — (Ячп)п 1 - 6 (21.5) д д Р есть эффективное магнитное поле, действующее на спин Я .
Помимо истинного внешнего поля Н, оно содержит слагаемые, учитывающие обменное взаимодействие и магнитную анизотропию. Свободный магнитный момент, находящийся в постоянном внешнем поле, прецессирует вокруг направления поля, причем частота прецессии шо = 3Н. Поскольку эффективное поле (21.5) учитывает обменное взаимодействие с ближайшими к данному спину соседями, прецессия спина перестает быть локализованной в узле решетки и должна распространяться от узла к узлу в виде волны, которую естественно назвать спинозой волной.
Таким образом, с классической точки зрения спиновая волна в ферромагнетике это волна неоднородной прецессии магнитных моментов атомов, обусловленная обменным взаимодействием спинов. В гамильтониане (21.1)мы не учли энергию магнитного дипольного взаимодействия атомов решетки, а также межузельную анизотропию. Эти взаимодействия также приводят к неоднородной прецессии, однако ввиду их малости по сравнению с обменным взаимодействием ими можно пренебречь. Нетрудно заметить, что уравнения (21.4) представляют собой нелинейную систему, общее решение которой, за исключением специаль- 368 Рл.
2Д Динамика магнитной решетки Спиновые волны ных случаев, не найдено. Если, однако, ограничиться рассмотрением прецессии при малых отклонениях спинов от положения равновесия, то общее решение может быть легко найдено. Квантовым аналогом малых отклонений от положения равновесия являются квантовые состояния, близкие к основному, которое соответствует классическому положению равновесия. Это положение может быть найдено из уравнения (21.4), если потребовать обращения в нуль производных дЯ /д1. Тогда (ЯчН„~) = О. Последнее Условие УдовлетвоРЯетсЯ пРи любом Ч, если положить Я = Яо пРи всех Ч, пРичем вектоР Яо напРавлен вдоль внешнего поля Н.
Такой результат также следует и из физических соображений. Действительно, изотропное обменное взаимодействие с положительным обменным интегралом ориентирует спины параллельно друг другу, но не выделяет какого-либо направления в пространстве. Благодаря энергии анизотропии спины устанавливаются вдоль избранной оси (оси анизотропии), а внешнее поле выделяет одно из двух направлений вдоль этой оси.
При малых отклонениях спинов от положения равновесия уравнения (21.4) можно линеаризовать. Представим для этого спин в виде с ммы: у Бч = Бо -Ь оч' ~пч~ << ~Бо~ =- с, (21.6) где 5 — величина спина отдельного атома. Подставляя (21.6) в уравнения (21.4) и ограничиваясь в правой части членами, линейными по оч, получим йач ~ 1 1 ~ г,7 6 — ч ='у~Ба,,У вЂ” 2'и э ~ + ~ ~п,Н+ — Яо+ — Яо, (21.7) ч.р~ ~ ч где - — число ближайших к Ч-му узлу соседей. Члены нулевого порядка по пч выпадают в силу выбора основного состояния (положения равновесия).
Система уравнений (21,7) является линейной и может быть решена с помощью преобразования Фурье: пч = 2 оке*"ч; ок = - ~ пче (21.8) ч — у ч Здесь Х число атомов в решетке, а волновой вектор )с изменяется в пределах зоны Бриллюэна. Подставляя разложение (21.8) в (21.7), получим уравнение для компонент Фурье (оз,): дан ./О е,7,7х,ь 61 — =; (оь,Яо) (хр + — — — 7 е' "Ч- — (, р р и( или в проекциях на координатные оси гг~,' — — 7,7 — ' а — ~ е' + Н + — ' 0~",, Зб9 2ДЗ.
Спиновые волны в интиферроиигнетике гт~и — — — 1,У вЂ” - — 2 е'~п + Н +— и Отсюда, подставляя находим г — 2гг( — г '" )ггы+2гв, (21.9) и Полученное выражение для гиии дает связь между частотой и волновым вектором спиновой волны, т.е. волны неоднородной прецессии магнитных моментов атомов ферромагнетика. С другой стороны, если рассматривать (ым как энергию элементарного возбуждения (квази- частицы), то (21.9) представляет собой закон дисперсии для таких элементарных возбуждений.
Закон дисперсии (21.9) совпадает с энергией блоховской спиновой волны, т.е. квантового состояния с одним «перевернутым» спином системы с гамильтонианом (21.1), в котором спины являются операторами. Такое совпадение классического и точного квантового результатов является следствием совпадения классического основного состояния, когда все спины ориентированы вдоль поля, и квантового, когда проекции всех спинов на направление поля одинаковы и равны своим максимальным значениям. 9 21.3. Спиновые волны в антиферромагнетике Описанный в предыдущем параграфе полуклассический метод позволяет найти энергетический спектр спиновых волн для более сложных магнитных структур, прежде всего антиферромагнетика.
С классической точки зрения антиферромагнетик представляет собой магнитную систему, состоящую из нескольких магнитных подрешеток. В основном состоянии каждая из подрешеток намагничена до насьпцения, а суммарная намагниченность антиферромагнетика равна нулю. Рассмотрим простейший антиферромагнетик, состоящий из двух магнитных подрешеток, между которыми имеется обменное взаимодействие. Гамильтониан такого антиферромагнетика с учетом энергии анизотропии и зеемановской энергии взаимодействия с внешним постоянным и однородным магнитным полем, направленным вдоль оси анизотропии, имеет вид г( =- 2и ~ ХЯч1Я„з — о'~ [(Яч|) + (Ячз) 1 — 2РН'~ (Яч|+ Нчз) (21.10) Обозначения в (21.10) совпадают с соответствующими обозначениями в гамильтониане (21.!); индексы 1 н 2 — отвечают магнитным подре- 370 Гл.
2Г Динамика магнитной ретебнки Слиноеые еолнь~ щеткам; 7 — положительный обменный интеграл ). Так же как для !! ферромагнетика, здесь получаются уравнения движения для спинов каждой из подрешеток: — --=. = Т '(пчаН з~, (21.11) где Нч! ~ Ячч.р з + (Я !!п)п + Нп (21. 12) Нчз = — —,1, Бчэр,! + — (Ячяп)п+ Нп. еф 7 б Дальнейшая линеаризация уравнений (21.12) и нахождение энергетического спектра спиновых волн связаны, как и ранее, с нахождением основного состояния (положения равновесия спинов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
