Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Из уравнений Гамильтона выразим производные от переменных qk , pk ( k  2,..., n ) по координате q1:54dqkdq1H pkH p1,dpkdq1H qkH p1.(50)Учитывая, что подстановка выражения (49) в уравнение (48) обращает это уравнение в тождествоH (q1 , q2 ,..., qn , K , p2 ,..., pn , h)  h ,и дифференцируя это тождество по переменным qk , pk ( k  2,...n ),получимH  H K  0 ,qk p1 qkH  H K  0 .pk p1 pkС учетом этих равенств уравнения (50) приводятся к видуdqk K ,dq1 pkdpk  K ;dq1qkk  2,..., n(51)Уравнения (51) носят название уравнений Уиттекера. Они образуют замкнутую систему из 2n  2 уравнений для 2n  2 неизвестных qk , pk ( k  2,..., n ), а координата q1 играет роль времени.Уравнения (51) имеют гамильтонову форму (3), а в роли функцииГамильтона выступает функция K (49), называемая функциейУиттекера.Общее решение системы (51) будет иметь видqk  xk (q1 , c1 ,..., c2 n  2 , h), pk  yk (q1 , c1 ,..., c2 n  2 , h); k  2,..., n,(52)а та часть решения, которой определяется поведение координат,будет описывать множество траекторий в координатном пространстве системы.Если общее решение (52) системы (51) найдено, то закон движения исходной гамильтоновой системы в зависимости от времениопределяется следующей процедурой.

Из уравнения Гамильтонаq1  H p1 после подстановки в его правую часть выражений (49)и (52) получим уравнение с разделяющимися переменными:q1  F (q1 , c1 ,..., c2 n2 , h) ,55решение которого q1  x1 (c1 ,..., c2 n1 , h, t ) определяется квадратуройdq1 F (q , c ,..., c , h)  t  c2 n1 .1 12 n2После подстановки этого решения в (52) находится зависимостьпеременных qk , pk ( k  2,..., n ) от времени, а затем по формуле (49)определяется зависимость p1 от времени.3.5.

Теорема Лиувилля об интегрируемых системахТеорема Лиувилля дает достаточные условия интегрируемостигамильтоновых систем. Прежде чем приступить к формулировкеэтой теоремы, дадим определение инволюции.Функции f1 (q, p , t ),..., f m (q, p , t ) образуют систему в инволюции,если все их скобки Пуассона ( f j , f k ) ( j , k  1,..., m) тождественноравны нулю.Обозначив через f m -мерный вектор-столбец, составленный изфункций f1 ,..., f m , условие их инволюции можно записать в виде(см. формулу (24) настоящего параграфа)f f T  f f T  0 .qT p pT q(53)Теорема Лиувилля.

Если гамильтонова система порядка 2nимеет n независимых первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах.Доказательство. Запишем уравнения, определяющие указанныев теореме первые интегралы, в векторном виде:f (q, p , t , α )  0 .(54)Здесь α – n -мерный вектор произвольных постоянных. Значенияэтих постоянных однозначно определяются значениями q, p , t .

Поэтому уравнение (54) разрешимо относительно α , т.е.det(f αT )  0 .56(55)Вследствие независимости первых интегралов система (54) разрешима относительно некоторой группы из n переменных. Полагая,чтоdet(f pT )  0 ,(56)выразим в явном виде импульсы:p  ψ (q, t , α ) .(57)Подставляя эти выражения в уравнения (54), получим тождествоf (q, ψ (q, t , α ) , t , α )  0 .(58)Дифференцируя это тождество по переменной q , получимf   f ψ .pT qTqT(59)Подставляя это выражение в условие инволюции (53), будем иметьf ψ f T  f ψ T f T  fpT qT p pT q p pT ψ ψ T  f T0. T qqpЭто матричное равенство после сокращения на невырожденнуюматрицу f pT принимает видψ ψT0.qTq(60)Из него следует, что матрица ψ qT – симметрическая, и поэтомув силу теоремы об условиях интегрируемости существует функцияS (q, t , α ) , такая, чтоψ (q, t , α )  S .q(61)Обозначим через H * (q, t , α ) функцию, получаемую из функцииГамильтона H (q, p, t ) после подстановки вместо импульсов их выражений (57), т.е.57H * (q, t , α )  H (q, ψ (q, t , α ), t ) .(62)Для частных производных функции H * получим следующие выражения:H *  H  ψT H ,qqq pH *  ψ T H .αα p(63)По условию теоремы функции (57) удовлетворяют уравнениямГамильтона.

Поэтому имеем p  ψψ ψ H ψψ Tq  H .Tqqt q p t(64)Из соотношений (63), (64) при учете (60) получаем равенство*ψ. H tq(65)Из равенств (60) и (65) следует симметричность матрицыψ t  ψ qT ,*T*  H q  H t (66)вследствие чего по теореме об условиях интегрируемости существует функция S (q, t , α ) , которая помимо (61) удовлетворяет уравнению H *  S .t(67)При этом решение системы (61), (67) определяется с точностью дослагаемого  ( α ) следующей формулой:1S (q, t , α )   [qT ψ ( q, t , α )  t H * ( q, t , α )] d .(68)0Перейдем теперь к заключительной части доказательства теоремы.

Покажем, что вектор-функцияU(q, α, t )  S α58(69)– первый интеграл системы. Вычисляя полную производную повремени от этой функции в силу уравнений Гамильтона, будемиметьd ( S )  ( S , H )   2 S   2 S H   2 S .dt ααt α q T α p t α(70)Отсюда, учитывая соотношения (61), (63) и (67), получимd ( S )  ψ T H   2 S   ( H *  S )  0 .tα p αt αdt α(71)Таким образом, n -мерная вектор-функция (9) является первыминтегралом системы, т.е.

переменные q удовлетворяют системеуравненийU(q, α, t ) S (q, α, t )β,α(72)где β – n -мерный вектор произвольных постоянных.Покажем, что из уравнений (72) можно в явном виде найти решение q  q(α, β, t ) . По теореме о неявных функциях система (72)разрешима относительно q , если выполняется условие 2S  U det T   det T   0 . q α  q (73)Дифференцируя тождество (58) по α и учитывая (61), получимf T   ψT f T    2 S f T .αα pqT α pОтсюда в силу неравенств (57), (58) следует условие (73).Таким образом, уравнения (72) представляют собой систему изn независимых первых интегралов, из которой с помощью квадратур находится общее решение для обобщенных координат:q  q(α, β, t ) . После постановки этого решения в (57) находитсяобщее решение для обобщенных импульсов: p  p(α, β, t ) .

Теоремадоказана.59Отметим, что условие (56) разрешимости первых интегралов(54) относительно импульсов не является принципиальным и использовалось только для упрощения доказательства теоремы.Доказанную теорему можно трактовать таким образом, что длягамильтоновой системы порядка 2n при наличии n первых интегралов в инволюции можно найти еще n дополнительных первыхинтегралов, которые в совокупности с исходными определяют общее решение системы.Следствие. Гамильтонова система второго порядка, имеющаяпервый интеграл, интегрируется в квадратурах.Рассмотрим теперь вопрос о понижении порядка гамильтоновойсистемы в случаях 1º–3º, когда гамильтониан системы имеетструктуру (28), (30) или (32).

В каждом из этих случаев учет первых интегралов (29), (31) или (33), соответственно, позволяет запи~, p~ в виде замкнусать уравнения для неотделимых переменных qтой канонической системы порядка 2(n  m) с функцией Гамиль~~, p~, t ) , где c – произвольные постоянные первыхтона H  H (c, qинтегралов. Если будет найдено общее решение этой системы~~~~qx (c, ~c , t ) , py (c, ~c , t ) ,то после его подстановки в уравнения движения для отделимыхпеременных получится «приведенная» замкнутая каноническаясистема порядка 2m с функцией Гамильтона:1º.

H *  H ( f (q , p ),..., f (q , p ), ~x (c, ~c , t ), ~y (c, ~c , t ), t ) ,111mmm2º. H *  H ( f m (q1 , p1 ,..., qm , pm ), ~x (c, ~c , t ), ~y (c, ~c , t ), t ) ,3º. H *  H ( f (q1 , p1 ,..., qm , pm ), ~x (c, ~c , t ), ~y (c, ~c , t ), t ) .Из структуры функции H * видно, что приведенная система имеет те же первые интегралы, что и исходная система. При этом вслучаях 1º, 2º система имеет m первых интегралов (29), (31), в каждом из которых фигурирует только одна пара сопряженных переменных:f k (qk , pk , α )  0 ; k  1, ..., m .60(74)Такие первые интегралы образуют, очевидно, систему в инволюции. Поэтому в силу теоремы Лиувилля в указанных случаях приведенная система интегрируется в квадратурах.Таким образом, в случаях 1º, 2º m первых интегралов (29), (31)позволяют понизить порядок исходной гамильтоновой системына 2m единиц, а при m  n система интегрируется в квадратурах.Аналогичное утверждение имеет место и для случая 3º, еслифункция f имеет структуру вида (34), поскольку первые интегралы (38) тоже образуют систему в инволюции.61§ 4.

Принцип Гамильтона4.1. Принцип Гамильтона для лагранжевых системРассмотрим лагранжеву систему – систему, уравнения которойопределяются одной функцией Лагранжа L(q , q, t ) и записываютсяв видеd L  L  0 ,dt q q(1)где q – n -мерный вектор независимых обобщенных координат.Такими уравнениями описываются голономные механические системы, в которых обобщенные силы имеют обычный потенциалΠ (q, t ) или обобщенный потенциал V (q , q, t ) . В указанных случаяхлагранжиан определяется формулой L  T  Π или L  T  V соответственно, где T – кинетическая энергия системы.Дадим определения, необходимые для дальнейшего изложения.Расширенным координатным пространством системы называется ( n  1) -мерное пространство обобщенных координат q и времени t .

Характеристики

Список файлов книги