Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для этого нужно лишьопределить правила вычисления числа степеней свободы и способы задания положения твердых тел.Твердое тело представляет собой систему из бесконечного числаточек с бесконечным числом связей. При этом все эти связи являются голономными. Они задаются уравнениями (ri  r j ) 2  cij  const, описывающими неизменность расстояния между любой парой точек в теле. Из курса динамики твердого тела [5] известно, что в силу этих связей положение твердого тела можно задать шестью независимыми переменными, например, тремя координатами xc , yc , zc некоторого полюса C, выбранного в теле, и тремя углами Эйлера  , , , задающими ориентацию связанного стелом базиса по отношению к неподвижному базису. Через эти переменные однозначно определяется положение каждой точки тела.18Таким образом, в общем случае твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Если же тело вырожденное, т.е. представляет собойсистему точек, лежащих на одной прямой, то оно имеет пять степеней свободы (его положение можно определить пятью переменными xc , yc , zc ,  ,  ).В дальнейшем будем считать, что связи (ri  r j ) 2  cij  const ,определяющие твердые тела, уже учтены, так что положение каждого тела, входящего в механическую систему, задается некоторымнабором из шести (или пяти) переменных. При этом под компонентами R1 , ..., RS вектора R , определяющего положение системы безсвязей, будем подразумевать совокупность переменных, задающихположение всех тел и всех отдельных точек механической системы.Число n степеней свободы такой системы будет определяться тойже формулой (13), а в случае голономных связей также можно выбрать n обобщенных координат, задающих параметризацию системы в виде (14), удовлетворяющую условиям (15).2.2.

Общее уравнение динамикиРассмотрим произвольную механическую систему, положениекоторой в выбранной системе отсчета задается S-мерным вектором R . Будем считать известными зависимостиr j  r j (R ) ,(16)которыми определяется положение r j каждой материальной точкисистемы через вектор R . Если система состоит из конечного числаотдельных материальных точек, то компоненты вектора R можноотождествить согласно (1) с совокупностью декартовых координатэтих точек. Если же система включает твердые тела, то положениекаждой точки каждого тела тоже будет однозначно определятьсяконкретной функций вида (16) через те из компонент вектора R ,которые задают положение этого тела.Пусть на рассматриваемую систему наложены p конечных связейf k (R, t )  0; k  1,..., p19(17)и d дифференциальных связей вида (4):Si  aTi R  bi   ai R  bi  0; i  1,..., d .(18) 1Заменяя уравнения (17) эквивалентными дифференциальными равенствами и умножая почленно уравнения (18) на dt, получим систему уравненийf kfdR  k dt  0; k  1,..., p,TRtTi  1,..., d .ai dR  bi dt  0;(19)Множество всех решений dR (dt ) системы (19) называетсямножеством возможных перемещений механической системы.

Длялюбого фиксированного значения dt размерность этого множестваравна числу степеней свободы системы n  S  p  d .Важнейшим в механике систем со связями является понятиевиртуальных перемещений. Виртуальные перемещения системыопределяются как множество всех решений R системы уравненийf k R  0 ( k  1,..., p ), aTi  R  0 (i  1,..., d ) ,TR(20)получаемой из (19) при dt  0 , и трактуются как перемещения, допускаемые связями, при «замороженном» времени.

Размерностьмножества виртуальных перемещений также совпадает с числомстепеней свободы системы. Если все конечные связи стационарны,а во всех кинематических связях bi  0 , то виртуальные перемещения совпадают с возможными.Возможные и виртуальные перемещения материальных точексистемы выражаются через dR и R вытекающими из (16) соотношениямиdr j r jRTdR ,r j r jRTR .(21)При выводе законов движения произвольной механической системы используются элементарные законы, описывающие движениеее материальных точек, т.е.

законы Ньютона.20В инерциальной системе отсчета движение каждой материальной точки механической системы описывается уравнениемm j rj  F j  N j .(22)Здесь результирующая сила, действующая на точку, разделена надве части. Первое слагаемое F j называется активной силой и определяется как сила, действующая на точку при отсутствии связей всистеме.

Второе слагаемое N j называется реакцией связи. Это дополнительные силы, которые возникают при наложении на системумеханических связей. Активные силы F j представляют собой заранее известные функции времени, положения и скоростей механической системы, а реакции связей N j являются неизвестными вуравнениях (22).Если заданы только связи (17), (18) и ничего неизвестно о характере реакций, вызываемых этими связями, то задача определения движения механической по заданным активным силам оказывается неопределенной (для системы из N материальных точекчисло 3 N  p  d скалярных уравнений (17), (18), (22) меньше числа 6 N неизвестных r1 ,..., rN , N1 ,..., N N ). Задача становится полностью определенной, если рассмотрение ограничить случаем идеальных связей.Определение.

Связи называются идеальными, если суммарнаяработа реакций этих связей на любом виртуальном перемещениисистемы равна нулю, т.е. NTj r j  0 .(23)jЗдесь суммирование ведется по всем материальным точкам системы.Во многих практических примерах условие (23) обеспечиваетсяза счет ортогональности реакций связи к множеству виртуальныхперемещений системы. Таким примером является задача о движении точки по неподвижной или движущейся по заранее известномузакону гладкой поверхности. В обоих случаях действующая на точ-21ку реакция гладкой поверхности нормальна к плоскости виртуальных перемещений точки.Свободное твердое тело представляет собой систему материальных точек с идеальными связями.

Реакции связей в этом случаеявляются внутренними силами, а сами связи таковы, что работаэтих сил на любом перемещении тела равна нулю.Система твердых тел, соединенных идеальными шарнирами(при вращении одного тела относительно другого отсутствует момент сил трения в шарнире), является системой с идеальными связями.Твердое тело, катящееся по неподвижной или движущейся позаранее известному закону поверхности без скольжения, тоже естьсистема с идеальными связями. В этой задаче реакция, действующая на тело со стороны поверхности, приложена в точке контакта,виртуальное перемещение которой равно нулю.Два тела, катящиеся друг по другу без скольжения, тоже образуют систему с идеальными связями. Действующие в точке контакта тел реакции подчиняются третьему закону Ньютона: N12   N 21 ,а виртуальные перемещения контактирующих точек одинаковы.Поэтому суммарная работа этих сил равна нулю.В приведенных примерах показаны системы, движение которыххарактеризуется отсутствием трения скольжения.

В связи с этимидеальные связи часто называют связями без трения.Понятие идеальных связей применимо и к системам с трением.Во многих задачах силы трения могут быть определены на основеэкспериментальных законов трения и отнесены к активным силам.Тогда оставшиеся составляющие реакций связей будут удовлетворять условию (23), и, следовательно, связи можно считать идеальными.Далее всюду будем полагать, что наложенные на систему связиидеальны. Из условия идеальности связей (23) и уравнений (22)получаем следующее уравнение, называемое общим уравнениемдинамики: (F j  m j rj )T r j  0 .(24)jПримечательно, что в этом уравнении отсутствуют реакции связей. Это уравнение утверждает, что для любого совместимого со22связями движения системы сумма работ активных сил F j и силинерции ( m j rj ) на любом виртуальном перемещении системыравна нулю.2.3.

Уравнения Лагранжа 2-го родаРассмотрим голономную систему с идеальными связями, движущуюся в некоторой инерциальной системе отсчета. Для такойсистемы, как было показано выше, можно выбрать обобщенныекоординаты q1 , q2 ,..., qn в количестве, равном числу степеней свободы системы, которые будут задавать параметризацию системы ввиде (14).

На основании равенств (16) положения материальныхточек системы тоже будут выражаться через q и t конкретнымизависимостями:r j  r j ( q, t ) .(25)Дифференцируя равенства (25) по времени, получимr j r jqTq r jtnr js 1qsq s r jt.(26)Отсюда вытекают следующие тождества:r jqkr jqk.(27)Обратим внимание, что здесь и далее при вычислении частныхпроизводных f qk и f qk от функций f (q, q , t ) координатыqk и скорости qk следует рассматривать как независимые переменные.Сопоставляя следующие два соотношения:r jqkn 2r js 1qk qsqs  2r jqk t,d  r jdt  qkполучаем вторую группу тождеств:232 2rj n  rj,qs qqtqk s 1 s kd  r jdt  qk r j q .k(28)Тождества (28) означают перестановочность операций вычисления полной производной по времени и частной производной по координате.Обратимся теперь к общему уравнению динамики (24).

Предварительно покажем, что виртуальные перемещения материальныхточек системы представляют собой изохронные дифференциалыфункций (25), т.е. выражаются в видеr j r jqTnr js 1qsdq  dqs .(29)Учитывая, что функции (14) R  R (q, t ) , будучи подставлены вуравнения голономных связей f k (R , t )  0 , должны обращать этиуравнения в тождества, получимf k (R (q, t ), t )  0; k  1,..., m .Дифференцируя эти тождества, будем иметьf k R f R f kdq   kTTTtR q R t dt  0; k  1,..., m .(30)Отсюда, ввиду того, что dq и dt независимы, следуетf k Rf kd R  0 ; k  1, ..., m ,qR T qTRT(31)т.е.

Характеристики

Список файлов книги