Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тот факт, что функция f (x, t ) является первым интеграломсистемы, описывается уравнениемf ( x, t )  c ,где c – постоянная первого интеграла, значение которой определяется начальными условиями движения системы.Первые интегралы отражают законы сохранения, представляющие самостоятельный интерес в механике. Кроме того, первые интегралы используются в большинстве методов интегрированияуравнений движения, поскольку они позволяют понизить порядоксистемы.Критерий первого интеграла вытекает непосредственно из определения и формулируется следующим образом:Для того чтобы функция f (x, t ) была первым интегралом системы (2), необходимо и достаточно, чтобы ее полная производная46по времени, вычисленная в силу уравнений (2), была равна нулю вовсей области определения системы (2), т.е.f( 2)ffff 0.  T x    T X  xt ( 2) xt(25)Для гамильтоновой системы критерий первого интеграла принимает видf H ff H f H ffJ T T ( f ,H) 0.Tx t q p p q ttx(26)Здесь ( f , H ) – скобка Пуассона функций f и H.

Для векторныхфункций f этот критерий записывается следующим образом:f H ff H f H ffJfH 0.(,)txT x t qT p pT q t(26*)Теорема Якоби–Пуассона. Если f1 (x, t ) и f 2 (x, t ) – первые интегралы некоторой гамильтоновой системы, то их скобка Пуассона ( f1 , f 2 ) также является первым интегралом этой системы.Доказательство. По условиям теоремы функции f1 и f 2 удовлетворяют критерию (26), т.е.f1 ( f1 , H )  ( H , f1 ) ,tf 2 ( f 2 , H ) .tУчитывая эти равенства и используя свойства 1º, 4º и 5º скобок Пуассона, получим ( f1 , f 2 )ff (( f1, f 2 ), H )  ( 1 , f 2 )  ( 2 , f1 ) ttt (( f1, f 2 ), H )  (( H , f1 ), f 2 )  (( f 2 , H ), f1 )  0.(( f1, f 2 ), H ) Отсюда следует, что функция ( f1 , f 2 ) тоже удовлетворяет критерию (26) первого интеграла. Теорема доказана.На первый взгляд может показаться, что при наличии у гамильтоновой системы двух первых интегралов с помощью теоремыЯкоби–Пуассона можно «тиражировать» новые первые интегралы47в виде функций ( f1 , f 2 ) , ( f1 , ( f1 , f 2 )) и т.д.

Однако в подавляющембольшинстве случаев такие функции оказываются либо зависимыми по отношению к исходным функциям, либо тождественнымиконстантами.Циклические первые интегралы. Переменная называется циклической, если она не входит в выражение для функции Гамильтона. В силу канонических уравнений Гамильтона (3) каждой циклической координате qk соответствует циклический первый интегралpk   k  const (сохраняется обобщенный импульс pk ), а каждомуциклическому импульсу pk – первый интеграл qk   k  const (сохраняется обобщенная координата qk ).Если циклической переменной является время t , т.е. H t  0(такие системы называются обобщенно консервативными), то вэтом случае первым интегралом системы будет функция Гамильтона:H (q, p)  h  const .(27)Этот интеграл называется обобщенным интегралом энергии. Егоналичие следует из критерия (26).

Ввиду того, что ( H , H )  0 , условие первого интеграла для функции f  H имеет вид H t  0 .Отметим, что в силу соотношений (13) и (15) гамильтониан системы не будет зависеть от координаты qk или времени t, если независит от координаты qk или времени t лагранжиан, и наоборот.Другие примеры первых интегралов. Общих методов поискапервых интегралов не существует. Поэтому в большинстве случаевприменяется «метод угадывания», т.е.

делается предположение, чтонекая функция является первым интегралом системы, а потом спомощью критерия (26) это предположение доказывается или опровергается. В приведенных ниже примерах наличие первых интегралов обусловлено специальной структурой функции Гамильтона.1º. Гамильтониан с отделимыми парами сопряженных переменных.

Пары сопряженных переменных qk , pk (k  1,..., m) называютсяотделимыми, если гамильтониан системы имеет следующуюструктуру:48H  H [ f1 (q1 , p1 ),..., f m (qm , pm ), qm 1 , pm 1 ,..., qn , pn , t ] .(28)Для такой системы для всех k  1,..., m скобки Пуассона ( f k , H )равны нулю:( fk , H ) f k H f k H f k H f k f k H f k0.qk pk pk qk qk f k pk pk f k qkПоэтому в силу критерия (26) система имеет первые интегралыf k (qk , pk )  ck ; k  1,..., m .(29)Отметим, что первые интегралы (29) представляют собой обобщение циклических интегралов, существующих в случаях, когдациклической переменной является обобщенная координата qk илиобобщенный импульс pk .

В первом случае f k  pk , а во второмслучае f k  qk .2º. Гамильтониан со структурой вложенных функций («матрешка»). Рассмотрим гамильтонову систему, для которой функция Гамильтона выражается в виде~, p~, t );H  H ( f m , qm1, pm1, ..., qn , pn , t )  H ( f m , q(30)f k  f k ( f k 1, qk , pk ) ; k  2, ..., m, f1  f1 ( q1, p1 ).~, p~ обозначены ( n  m )-мерные векторы неотделимыхЗдесь через qпеременных q j , p j ( j  m  1,..., n ).Вычисляя скобки Пуассона ( f k , H ) для всех k  1,..., m , получимf k H f k Hqppqj 1jjjjk( fk , H )  f k f j H f k f j f k f j H f k f j 0.fqffpfpffqj 1jjkjjjjkjjkОтсюда в силу критерия (26) следует, что система имеет первыеинтегралы:f1 (q1 , p1 )  c1 ,f k (ck 1 , qk , pk )  ck ; k  2,..., m .49(31)3º.

Гамильтониан с отделимой группой сопряженных переменных. Обобщением случаев 1º и 2º является следующая структурагамильтониана:H  H [ f (q1 , p1 ,..., qm , pm ), q , p , t ] .(32)Здесь 2  m  n , f – произвольная функция своих переменных,через q , p обозначены ( n  m )-мерные векторы неотделимых переменных q j , p j ( j  m  1,..., n ).Для такой системы получаемf H ff H f H m f H f 0.qppqqfppfqj 1j 1jjjjjjjjm( f ,H)  Отсюда следует, что функция f является первым интегралом системы:f (q1 , p1 ,..., qm , pm )  c .(33)В зависимости от структуры функции f, фигурирующей в гамильтониане (32), система может иметь помимо (33) и другие первые интегралы.

Например, если функция f имеет структуру функции f m (30), то, как было показано выше, система имеет m первыхинтегралов. Аналогичным свойством обладают системы с гамильтонианом следующего вида:m~, p~, t ) ;H  H ( f ,qf k (qk , pk )k 1m k (qk , pk ).(34)k 1Непосредственной проверкой устанавливается, что в этом случае помимо первого интегралаmf k (qk , pk )k 1m k (qk , pk )k 150c(35)система имеет m следующих первых интегралов:f k ( qk , pk )   k ( qk , pk )  c k (qk , pk )  ck ;k  1,..., m .(36)Нетрудно проверить, что в совокупности первые интегралы (35),(36) зависимы. Кроме того, поскольку уравнение (35) эквивалентноуравнениюmmk 1k 1 f k (qk , pk )  k (qk , pk )  c k (qk , pk )  0 ,то постоянные ck тоже зависимы между собой:mck 1k 0.(37)В рассматриваемом примере в качестве независимых первыхинтегралов следует взять m функций f k , а для того, чтобы в уравнениях (36) фигурировали только произвольные постоянные, исключить cm , используя равенство (37).

Тогда независимые первыеинтегралы запишутся в видеk (qk , pk )  c k (qk , pk )  ck ; k  1,..., m  1,m 1m (qm , pm )  c m (qm , pm )    ck ,(38)k 1где c1 , c2 , ..., cm1 , c будут произвольными постоянными.3.4. Использование первых интегралов в задачахинтегрирования уравнений движенияПусть система дифференциальных уравненийxk  X k ( x1 , ..., xN , t ) ; k  1,..., N ,(39)описывающая движение некоторой механической системы, имеетm независимых первых интеграловf j ( x1 , ..., xN , t )  c j ; j  1,..., m ,51(40)где c j – произвольные постоянные первых интегралов.

Тогда изуравнений (40) можно в явном виде выразить m переменныхx1 , ..., xm через остальные переменные xm1 , ..., x N и время t :xs   s ( xm 1 , ..., xN , t , c1 ,..., cm ); s  1,..., m .(41)Подставляя эти выражения в последние N  m уравнения системы(39), получим систему, которая имеет порядок N  m :xk  X k* ( xm1 , ..., xN , c1 ,..., cm , t ); k  m  1,...., N .(42)Таким образом, каждый первый интеграл позволяет понизитьпорядок системы, по крайней мере, на одну единицу.

Если будетнайдено общее решение системы (42), то оно будет иметь видxk   k (c1 ,..., cN , t ); k  m  1,...., N ,(43)где c1 ,..., cN – произвольные постоянные. Тогда общее решение дляпеременных x1 , ..., xm находится подстановкой решения (43) в (41).Если система (39) имеет полный набор независимых первых интегралов, т.е. m  N, то явный вид ее общего решения определяется путем разрешения системы уравнений (40) относительноx1 , ..., x N .Если система (39) автономна, т.е. правые части не зависят явноот времени, и имеет N  1 автономных (не зависящих от времени)первых интегралов, то в качестве (42) получим одно уравнениеследующего вида:x N  X N* ( xN , c1 ,..., cN 1 ) .Это уравнение с разделяющимися переменными интегрируется.Его решение xN   N (c1,..., cN , t ) находится из уравненияF ( xN , c1 ,..., cN 1 )  dxNX N* ( xN , c1 ,..., cN 1 ) t  cN ,которое можно трактовать, как неавтономный первый интегралсистемы.52В таких случаях, когда построение общего решения системыдифференциальных уравнений сводится к вычислению интеграловот известных функций и обращению функций, говорят, что системаинтегрируется в квадратурах.

Использование термина «в квадратурах» объясняется тем, что раньше квадратурами называли неопределенные интегралы (первообразные).Исследуем теперь подробно, что дают рассмотренные в п. 3.3первые интегралы для понижения порядка гамильтоновой системы.Начнем с циклических первых интегралов и покажем, что каждый из них позволяет понизить порядок системы не на одну, а надве единицы.Пусть q1 ,..., qm – циклические координаты, т.е.~, p~, t ) ,H  H ( p1 ,..., pm , q(44)~, p~ обозначены ( n  m )-мерные векторы нециклическихгде через qпеременных q j , p j ( j  m  1,..., n ). Для функции Гамильтона с та~, p~ при учете первыхкой структурой уравнения для переменных qинтегралов pk  ck ( k  1,..., m ) записываются с помощью функции~~, p~, t )H  H (c1 ,..., cm , q(45)в канонической форме~ ~~ ~H~~~~~, p~, t ) (46)q  H  F(c1 ,..., cm , q, p, t ), p   ~  G (c1 ,..., cm , q~pqи образуют замкнутую систему порядка 2n  2m .

Если будет найдено общее решение системы (46), то оно будет иметь вид~~~~(47)qx (c1 ,..., cm , ~c , t ) , py (c1 ,..., cm , ~c , t ) ,где ~c – ( 2n  2m )-мерный вектор произвольных постоянных. После подстановки этого решения в функцию (45) циклические координаты q1 ,..., qm определятся из уравнений~qk  H pk  H ck  Fk (c1 ,..., cm , ~c , t )с помощью квадратур53qk   Fk dt  cm k ; k  1,..., m .Таким образом, при наличии m циклических первых интегралов задача поиска общего решения гамильтоновой системы сводится к интегрированию системы уравнений (46), порядок которойна 2m единиц меньше, чем порядок исходной системы.

Кроме того, при понижении порядка системы с использованием циклических первых интегралов сохраняется свойство гамильтоновостисистемы.Если функция Гамильтона не зависит от всех обобщенных координат, т.е. H  H ( p1 ,..., pn , t ) , то система интегрируется, а ее общее решение записывается в виде~Hdt  cn k ; k  1,..., n .pk  ck , qk  ckАналогичным образом показывается, что при наличии циклических импульсов pk каждый циклический интеграл qk  ck позволяет понизить порядок системы на две единицы.Уравнения Уиттекера. Обобщенный интеграл энергииH (q, p)  h(48)тоже является циклическим первым интегралом и позволяет понизить порядок системы на две единицы. В этом случае в процедурепонижения порядка используется свойство автономности системы,которое позволяет исключить время t и выбрать в качестве независимой переменной, играющей роль времени, одну из обобщенныхкоординат. Полагая, что H p1  0 , выразим из уравнения (48)обобщенный импульс p1 :p1   K ( q1 , q2 ,..., qn , p2 ,..., pn , h) ,(49)а обобщенную координату q1 выберем в качестве независимой переменной.

Характеристики

Список файлов книги