Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Система дифференциальных уравнений четногопорядка (1) называется гамильтоновой, если существует скалярнаяфункция H (q, p, t ) , с помощью которой система представима вследующей канонической форме:HHq  H , p   H , т.е. qk , p k  ; k  1,..., n.pkqkqp(3)Функция H (q, p, t ) называется функцией Гамильтона, или гамильтонианом системы, а сами уравнения (3) – каноническимиуравнениями Гамильтона. Переменные qk и pk называются сопряженными друг к другу гамильтоновыми переменными.Из приведенного определения следует, что гамильтониан системы определен с точностью до аддитивной функции времени.39Для записи уравнений (3) в терминах фазового вектора x используется следующая матрица, называемая симплектической единицей: 0 En  .J  0E n(4)Здесь En – единичная матрица порядка n .Матрица J обладает следующими свойствами:J 1  JT   J ,J J T  E 2 n , det J  1 .(5)С помощью матрицы (4) канонические уравнения (3) записываются в видеx  J H .x(6)Условия гамильтоновости системы определяются с помощьютеоремы об условиях интегрируемости.

В силу этой теоремы длягамильтоновости системы (2) необходимо и достаточно, чтобыматрица J X xT была симметрической, т.е.TJ XT  X J  0 .xx(7)Для системы, записанной в форме (1), критерий гамильтоновости описывается следующими тремя матричными тождествами:Q QT,pTpP  PT ,qTqP   QT .pTqКанонические уравнения Гамильтона представляют особый интерес в механике в связи с тем, что этими уравнениями можно описать движения лагранжевых систем, в частности, голономных систем в случаях, когда действующие силы имеют обычный илиобобщенный потенциал. В указанных случаях движения системыописываются уравнениями Лагранжа:40d L  L  0 ,dt q q(8)которые представляют собой систему из n уравнений второго порядка для n-мерного вектора обобщенных координат q .Переход от уравнений Лагранжа (8) к уравнениям Гамильтона(3) осуществляется следующим образом.1.

Преобразованием Лежандра:p  L  f (q, q , t )q(9)определяются обобщенные импульсы p. Вследствие того, чтоL  L(q, q , t ) , обобщенные импульсы выражаются соотношениями(9) в виде функций переменных Лагранжа q , q ,t . Кроме того, приусловии f  2L det  T   det   0, q  q q T (10)которое выполняется для всех натуральных систем, уравнения (9)разрешимы относительно скоростей q , т.е. имеется возможностьвыразить в явном виде обобщенные скорости через переменныеГамильтона q , p ,t :q  ψ (q, p, t ) .(11)2. Функция Гамильтона определяется формулойnH (q, p, t )  [pT q  L(q, q , t )]q  ψ ( q ,p ,t )   pk qk  L.(12)k 1Отметим, что по определению функция Гамильтона есть функция гамильтоновых переменных, т.е. в формуле (12) обобщенныескорости должны быть выражены через гамильтоновы переменныесоотношениями (11).Функция (12), выраженная через переменные Лагранжа, представляет собой обобщенную энергию системы, а для склерономнойсистемы – полную энергию E  T  Π (см.

раздел «уравнения Лагранжа»).41Учитывая правила дифференцирования сложных функций иформулу (9), получим для производных от функции (12) следующие выражения:H  ψT p  L  ψT L   L .qqq q qq(13)H  q  ψ T p  ψT L  q .p qpp(14)H  ψ T p  ψ T L  L   L .tttt q t(15)Уравнения (11) в силу соотношений (14) записываются с помощью функции (12) в виде q  H p и совпадают с первой группой канонических уравнений Гамильтона (3). В свою очередь, учитывая определение (9) и равенства (13), получаем, что уравненияЛагранжа (8) принимают в переменных Гамильтона следующийвид: p   H q , т.е.

полностью совпадают со второй группойуравнений (3).Таким образом, уравнения Лагранжа (8) приводятся преобразованием Лежандра (9) к форме канонических уравнений Гамильтона(3).Преобразование Лежандра представляет собой один из возможных вариантов преобразования уравнений второго порядка в уравнения первого порядка. Достоинство этого преобразования состоитв том, что в результате получаются уравнения, разрешенные относительно производных, и эти уравнения, как и уравнения Лагранжа(8), определяются одной функцией – в данном случае гамильтонианом H (q, p, t ) .К уравнениям Гамильтона (но уже не каноническим) приводятсяуравнения Лагранжа и в случаях, когда имеются непотенциальныесоставляющие Q* обобщенных сил Q .

Полагая, что потенциальные составляющие обобщенных сил учтены в лагранжианеL(q , q, t ) , получим уравнения Лагранжа в видеd L  L  Q* (q , q, t ) .dt q q42(16)Используя преобразование Лежандра (9) и определяя функциюH (q, p, t ) формулой (12), получим соотношения (11), (13), (14), наосновании которых уравнения (8) запишутся в переменных Гамильтона следующим образом:q  H , p   H  Q* ( H , q, t )   H  F* (q, p, t ) .pqpq(17)Эти 2n-уравнений первого порядка, так же, как и уравнения (3),имеют нормальную форму Коши, но не являются каноническими.Переход от уравнений Гамильтона (17) к уравнениям Лагранжаосуществляется следующей процедурой.1.

Из первой группы уравнений (17)q  H p  ψ (q, p, t )(18) ψ  2H det  T   det 0 p  ppT (19)при условиивыражаются обобщенные импульсы через переменные Лагранжа:p  f (q, q , t ) .(20)2. Функция Лагранжа определяется на основании формулы (12)соотношениемL(q, q , t )  [pT q  H (q, p, t )]p f (q ,q ,t ) ,(21)в котором обобщенные импульсы выражены с помощью функций(20) через переменные Лагранжа.Вычисляя частную производную от обеих частей равенства (21)по переменной q , получим с учетом уравнений (18) следующеесоотношение:L  p  f T q  f T H  p  f (q, q , t ) .qqq pПодставляя его во вторую группу уравнений (17) и учитывая равенства (13), придем к уравнениям Лагранжа вида (16):43d L  L  F* (q, L , t )  Q* (q , q, t ) .dt q qqОписанной процедурой канонические уравнения Гамильтона (3)преобразуются в уравнения Лагранжа (8).Отметим, что для произвольной гамильтоновой системы условие (19) может не выполняться.

В таких случаях переход от уравнений Гамильтона к уравнениям Лагранжа невозможен.Дальнейшее изложение будет посвящено в основном изучениюгамильтоновых систем, т.е. систем, описываемых каноническимиуравнениями Гамильтона (3).3.2. Скобки ПуассонаСкобки Пуассона являют собой пример вспомогательных функций, используемых для компактной записи громоздких выражений.Для двух скалярных функций f1 (q, p, t ) и f 2 (q, p, t ) скобка Пуассона ( f1 , f 2 ) определяется следующим скалярным выражением:n( f1 , f 2 )  s 1f1 f 2 f1 f 2f ff ff f 1T 2  1T 2  1T J 2 .

(22)qs ps ps qs q p p q xxЗдесь x – 2n-мерный вектор-столбец переменных Гамильтона q , p ,а J – симплектическая матрица (4).Если заданы m функций f1 , f 2 ,..., f m , то все скобки Пуассона( f j , ) функций f j с функцией  можно записать в виде векторастолбца следующим образом: ( f1, ) f(,) f  2 fT J T(f , )  fT.x  q p p q x ( f , )  m(23)Здесь через f обозначен m-мерный вектор-столбец, составленныйиз функций f1 , f 2 ,..., f m .44В свою очередь все скобки Пуассона ( f j , f k ) можно записатьодним выражением в виде кососимметрической матрицы размераmm :( f1 , f2 )  ( f1 , fm )  0f f T f f T f f T  ( f2 , f1 ) 0  ( f2 , fm ) Φ TJ. (24) q p pT q xT x  (f,f)(f,f)....0 m 1 m 2Косая симметрия матрицы Φ ( ΦT  Φ ) следует из приведенныхниже свойств скобок Пуассона.Свойства скобок Пуассона:1º.

( f j , f k )  ( f k , f j ) ;2º. ( f j , c(t ) f k )  c(t )( f j , f k ) ;3º. ( f j  f k , f s )  ( f j , f s )  ( f k , f s ) ;4º.( f j , f k )tf  f j , f k    f j , k  ; t  t 5º. (( f1 , f 2 ), f 3 )  (( f 2 , f 3 ), f1 )  (( f 3 , f1 ), f 2 )  0 .Свойства 1º – 3º следуют непосредственно из определения (22),а для доказательства свойства 4º достаточно учесть перестановочность операций дифференцирования по x и t .Докажем свойство 5º, называемое тождеством Пуассона.

Вычисляя по определению (22) левую часть равенства 5º с использованием правил дифференцирования билинейных форм, получимследующее выражение:45  f1 J f 2 J f3    f2 J f3 J f1  f  f3 J f1 J f2 xT  xT x  x xT  xT x  x xT  xT x  x f1  2 f 2 f2 T  2 f1  f3 T J T  T JJTxxxxxxxf3 T  2 f 2  f1 f 2 2 f3  T J T  T JJ Txxxxxx xf1 T  2 f3  f 2 f3 2 f1  T J T  T JJ .Txxxxxx xКаждое из шести слагаемых в этом выражении есть скаляр и, следовательно, при транспонировании не меняется. Заменив каждоечетное слагаемое его транспонированным значением и учитывая,что J T   J и что матрица вторых производных каждой функциисимметрическая, получим тождество 5º.3.3. Первые интегралы гамильтоновых системПервым интегралом системы дифференциальных уравненийпервого порядка (2) называется функция f (x, t ) фазовых переменных и времени, определенная в той же области, что и сама система, и сохраняющая свои значения на любом решении этой системы.

Характеристики

Список файлов книги