Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

изохронные дифференциалы R  (R q T )dq функцийR  R (q, t ) подчиняются тем же самым уравнениям (20), что и виртуальные перемещения голономной системы. Учитывая соотношения (21), получаем для виртуальных перемещений материальныхточек выраженияr j r jr j Rdqdq ,qTRT qT24полностью совпадающие с выражениями (29).Подставляя выражения (29) в общее уравнение динамики (24),получимr jT   (F j  m j r j ) qk 1 jkn dqk  0 .(32)Ввиду того, что вариации dq1 ,..., dqn независимы, уравнение (32)эквивалентно системе из n уравнений:mjTj rjr jqk  FTjjr jqk; k  1,..., n .(33)Выразим ускорения каждой материальной точки через ее кинетическую энергию T j  m j r Tj r j 2 с помощью формулыT j.m jrj  ddt r j(34)Учитывая тождества (27) и (28), преобразуем левые части уравнений (33) следующим образом:d  T jdt  r Tj r j d  N T j r j  N T j d  r j  TTj 1 qk dt  j 1 r j qk  j 1 r j dt  qk N T r  N T r d   Tj j    Tj j  d T  T .dt  j 1 r j qk  j 1 r j qk dt qk qkN(35)Здесь T   T j – суммарная кинетическая энергия системы.jСоотношение (35) позволяет записать уравнения (33) в видеd T T Qk ; k  1,..., n .dt qk qk(36)Здесь через Qk обозначены правые части уравнений (33), называемые обобщенными силами:25Qk  jFTjr jqk; k  1,..., n .(37)Уравнения (36) носят название уравнений Лагранжа второгорода.

Они представляют собой систему из n уравнений второгопорядка для n обобщенных координат q1 , ..., qn . Второй порядокуравнений (36) обусловлен тем, что в левую часть этих уравненийпомимо t , q и q обязательно входят вторые производные по вре .мени от обобщенных координат, т.е. обобщенные ускорения qОбобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений, могут зависеть только от t , q и q (в классической механике случаи, когдасилы зависят от ускорений, не рассматриваются).Уравнения Лагранжа (36) можно записать также в векторномвиде:d T  T  Q  r j F , q jdt q qjT(38)где Q – n -мерный вектор-столбец обобщенных сил. Левая частьуравнений Лагранжа представляет собой результат действия нафункцию T (q , q, t ) дифференциального оператора Эйлера:d    .dt q qАлгоритм составления уравнений Лагранжа сравнительно простой. Нужно сначала выбрать независимые обобщенные координаты q и выразить кинетическую энергию системы в видеT  T (q , q, t ) .

После выполнения всех требуемых операций дифференцирования получается конкретный вид левых частей уравнений(36). Обобщенные силы вычисляются по формулам (37). При этом,учитывая определение частных производных, эти формулы можнопереписать в видеQk  FTj r j (dqk ) A(dq )jkdqk26dqk.(37*)Здесь A( dqk ) – работа активных сил на виртуальном перемещениисистемы, обусловленном изменением координаты qk на величинуdqk .Обобщенные силы Q(q , t ) называются потенциальными, еслисуществует скалярная функция Π (q, t ) (потенциальная энергия),такая, чтоQ(q , t )  Π.q(39)В силу теоремы об условиях интегрируемости критерием потенциальности обобщенных сил является симметричность матрицыQT q , т.е.

условиеQT Q T .qq(40)Отметим, что если все активные силы F j потенциальны, т.е. Π (r1 ,..., rN , t ) , такая, что F j   Π r j , то потенциальными будути обобщенные силы, поскольку в этом случае будем иметьQjrTj ΠF j    Π .qqj q r jrTjОбобщенные силы Q(q, q , t ) называются обобщенно потенциальными, если существует скалярная функция V (q, q , t ) (обобщенный потенциал), такая, чтоQ(q, q , t )  d V  V .dt q q(41)Если обобщенные силы потенциальны или обобщенно-потенциальны, то имеется возможность записать уравнения Лагранжа внаиболее компактной форме.

Для этого используется функция Лагранжа (лагранжиан) L . В случае потенциальных сил лагранжианопределяется формулойL T Π ,27(42)а в случае обобщенно-потенциальных сил формулойL  T V .(43)С помощью этой функции уравнения Лагранжа записываются ввидеd L  L  0 .dt q q(44)В дальнейшем механические системы, описываемые уравнениями Лагранжа вида (44), будем называть лагранжевыми системами. Примечательно, что уравнения движения, а следовательно, ивсе свойства лагранжевых систем определяются одной функцией –лагранжианом L(q, q , t ) .Обратим внимание, что выше была изложена процедура составления уравнений Лагранжа в инерциальных системах отсчета. Онаосновывалась на уравнениях (22), справедливых в инерциальныхсистемах отсчета, и поэтому в уравнениях Лагранжа (38) кинетическая энергия T (q, q , t ) тоже должна вычисляться в инерциальнойсистеме отсчета.В неинерциальной системе отсчета движение каждой материальной точки описывается уравнениемm j r jотн  F j  J пер J корNj ,jjгде J пери J кор– переносная и кориолисова силы инерции, дейстjjвующие на точку.

На основании этих уравнений, повторяя дословно все выкладки, проведенные при выводе уравнений (38), получимуравнения Лагранжа, составленные в неинерциальной системе отсчета:d T отн T отн Q  Q пер  Q кор .qdt q(45)Здесь T отн – кинетическая энергия системы, вычисленная относительно неинерциального базиса, Q – обобщенные силы, соответствующие активным силам F j , а Qпер и Qкор – обобщенные силы,обусловленные переносными и кориолисовыми силами инерции.28Очевидно, что конкретный вид уравнений Лагранжа зависит неот способа их составления (в инерциальной или неинерциальнойсистеме отсчета), а от выбора обобщенных координат. Если уравнения (38) и (45) записаны в одних и тех же обобщенных координатах, то они должны тождественно совпадать. Отсюда следуетQ ин  Q пер  Q кор d V V; V  T отн  T ,dt q q(46)т.е. силы инерции являются обобщенно потенциальными.Отметим, что составление уравнений Лагранжа в неинерциальных системах отсчета в большинстве случаев представляет собойболее громоздкую процедуру, чем их составление в инерциальнойсистеме отсчета.

То возможное упрощение, которое получается ввыражении для кинетической энергии T отн по сравнению с T, компенсируется существенным усложнением, связанным с вычислением обобщенных сил Qпер и Qкор . Если же для вычисления этих силиспользовать формулу (46), то в результате придем к уравнениям(38), составленным в инерциальной системе отсчета.Следует иметь в виду, что если ставится задача написать уравнения движения некоторой механической системы относительнонеинерциального базиса, то это означает, что в качестве обобщенных координат нужно использовать переменные, описывающиеположение системы в этом базисе, и никоим образом не регламентирует способ составления этих уравнений. В большинстве такихзадач проще получить искомые уравнения, составляя их в инерциальных системах отсчета, т.е.

на основе уравнений (38), а не уравнений (45).2.4. Свойства уравнений Лагранжа1. Ковариантность. Прежде всего отметим, что под ковариантностью уравнений подразумевается инвариантность правила ихсоставления по отношению к замене переменных, а не инвариантность самих уравнений [2].Ковариантность уравнений Лагранжа означает, что при любойневырожденной дважды непрерывно дифференцируемой заменекоординат29 qTdet  ~ q~, t ) ,q  q (q0,(47)уравнения Лагранжа сохраняют свою форму, т.е. в новых перемен~ эти уравнения принимают аналогичный (38) видных q~~ ~rTjd T  T  Q  ~ Fj ,~~ qdt qj q(48)~ ~ ~где T (q, q, t ) – кинетическая энергия системы, записанная в новых~переменных, Q – соответствующие новым координатам обобщенные силы.Ковариантность уравнений Лагранжа следует из самого выводаэтих уравнений. Если исходные координаты q удовлетворяют условиям (15) локальной параметризации, то в силу оговоренных~ также бувыше свойств преобразования (47) новые координаты qдут удовлетворять этим условиям, вследствие чего для них справедливы уравнения (48).

В ковариантности уравнений Лагранжаможно убедиться и непосредственной проверкой, применив преобразование (47) к уравнениям (38). Используя правила дифференцирования сложных и обратных функций, получим в конечном итогеуравнения11 qT   d T T   qT  ~ ~  ~    q~  Q,~  qdtqq  ~которые после умножения на невырожденную матрицу qT qприводятся к виду (48).~Связь между обобщенными силами Q и Q выражается следующей формулой преобразования обобщенных сил при замене координат:r~qTQ   ~j F j  ~qj qT30jrTjqFj qT~ Q.q(49)При преобразованиях координат в лаграгжевых системах (44)~ ~ ~новый лагранжиан L (q, q, t ) определяется как старый лагранжианL(q , q, t ) , выраженный через новые переменные.2. Калибровочная инвариантность. Непосредственной проверкой устанавливается, что для функции   f (q, t ) , представляющей собой полную производную по времени от произвольнойфункции координат и времени, справедливо тождествоd     0 .dt q q(50)Отсюда следует, что при добавлении такой функции к кинетической энергии системы уравнения Лагранжа остаются неизменными.Это свойство уравнений Лагранжа называется калибровочной инвариантностью.Уравнения Лагранжа (44) остаются неизменными, если функцию L заменить функцией L  cL  f (q, t ) , где c  0 – постоянная.Таким образом, лагранжиан системы (44) определен с точностьюдо мультипликативной постоянной c  0 и аддитивной функции  f (q, t ) .3.

Структура кинетической энергии и функции Лагранжа.Выясним зависимость кинетической энергии системы T (q , q, t ) отобобщенных скоростей q . На основании соотношений (26) имеем22rTj rj  1 rj  r 11TT  mj  j  .T  mj r j r j  mj  T q   q  mj2 j2 j  q q t  2 j  t  jВвиду того, что производные rTj q и r j t могут зависетьтолько от q и t , кинетическая энергия представляется в видеT  1 q T Aq  q T b  T0  T2  T1  T0 ,2(51)где T2  0 – квадратичная форма обобщенных скоростей, T1 – линейная форма обобщенных скоростей, T0 – форма, не зависящая отскоростей.

Характеристики

Список файлов книги