Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При этом симметрическая матрица A (q, t ) размера31n  n , n -мерный вектор b(q, t ) и скалярная функция T0 (q, t ) определяются выражениямиrTj r jrTj r j21 m  r j  . (52)bmA  mj,,T j q t 0 2  j  t q qTjjjФункция Лагранжа, определяемая формулами (42) и (43), имеетаналогичную (51) структуру, т.е. тоже выражается функцией второй степени относительно обобщенных скоростей:L  1 q T Aq  q T d  L0  L2  L1  L0 .2(53)Действительно, для случая потенциальных сил лагранжиан определяется формулой L  T  Π (q, t ) , на основании которой получаемL2  T2 , L1  T1 , L0  T0  Π .(54)Для выяснения структуры функции L  T  V в случае обобщенно потенциальных сил определим структуру обобщенного потенциала V (q, q , t ) . Из формулы (41) следует2  f (q, q , t ) .Q(q, q , t )   V T qq qОтсюда, учитывая, что в механике рассматриваются только те случаи, когда силы не зависят от ускорений, получаем 2V  0 .q q TЭто тождественное равенство означает, что обобщенный потенциаллинейно зависит от обобщенных скоростей, т.е.V  q T c(q, t )  Π (q, t )  V1  V0 .(55)Здесь второе слагаемое в обобщенном потенциале, если оно неравно нулю, трактуется как «обычная» потенциальная энергия, поскольку получаемая за счет него формулой (41) составляющаяобобщенной силы определяется выражением  V0 q , аналогич32ным определению (39) «обычного» потенциала.

Из формулы (45)следует, что и в случае обобщенно потенциальных сил функцияЛагранжа L  T  V имеет структуру вида (53), гдеL2  T2 , L1  T1  V1 , L0  T0  V0  T0  Π .(56)Система называется склерономной (стационарной), если параметризация (14) стационарна, т.е. R t  0 . Для склерономныхсистем положения материальных точек будут зависеть только отзначений обобщенных координат r j  r j (q) , а кинетическая энергия не зависит явно от времени и выражается квадратичной формойобобщенных скоростей:T  T2  1 q T Aq ;2T  0 .t(57)Заметим, что если все наложенные на систему связи (3) стационарны, то имеется возможность выбрать обобщенные координатыq так, что и параметризация (14) будет стационарной: R  R (q) .~, t ) делает паНо зависящая от времени замена координат q  q(qраметризацию нестационарной.

Поэтому между стационарностьюсвязей и стационарностью параметризации прямой зависимости,вообще говоря, нет.4. Разрешимость относительно старших производных. Подставляя выражение для кинетической энергии (51) в уравнения Лагранжа (38), получимd ( Aq  b)  T  Q(q , q, t ) .dtqПосле выполнения операций дифференцирования уравнения примут вид  F(q , q, t ) .Aq(58)Таким образом, уравнения Лагранжа линейны по обобщеннымускорениям, а матрица коэффициентов при обобщенных ускорениях совпадает с матрицей квадратичной части кинетической энергиисистемы.33Покажем, что уравнения Лагранжа разрешимы относительнообобщенных ускорений, т.е. det A  0 .

Предположим противное,т.е. det A  0 . Тогда найдется вектор обобщенных скоростейq *  0 , такой, что2 rTT2 (q * )  1 q * Aq *  1  m j  Tj q *   0 .22 j qОтсюда следует существование вектора dq*  q *  0 , такого, что r j (dq* ) r jqTdq*  0  j ,т.е. отличная от нуля вариация обобщенных координат не приводитк изменению положения системы, что противоречит оговореннымвыше условиям (15) локальной параметризации.Таким образом, уравнения Лагранжа разрешимы относительностарших производных, т.е. представимы в нормальной форме Коши:  f (q , q, t ) .q(59)Этот факт и составляет содержание основной теоремы лагранжева формализма. Из него следует, что при необременительныхограничениях на правые части, которые в задачах механики выполняются, система уравнений (59) имеет единственное решениедля любых начальных условий t0 , q 0 , q 0 , т.е.

движение системыполностью детерминировано ее состоянием (положением и скоростями) в начальный момент времени.Учет структуры кинетической энергии (51) и функции Лагранжа(53) позволяет записать условие det A  0 в следующем виде:  2T2  2L   2T det 0.  det  det Tqq q q T  q q T (60)Отметим, что в силу неравенства T2  0 условие det A  0 означает строгую положительную определенность матрицы A .34Лагранжевы системы, в которых функция L имеет структуру(53), где L2 – строго положительно определенная квадратичнаяформа обобщенных скоростей, называются натуральными.2.5. Первые интегралы уравнений Лагранжа.Теоремы об изменении обобщенной и полной энергииПервым интегралом системы дифференциальных уравнений называется функция фазовых переменных и времени, сохраняющаясвои значения на любом решении этой системы.Уравнения Лагранжа представляют собой уравнения второгопорядка.

Фазовыми переменными в них являются обобщенные координаты q и обобщенные скорости q . Поэтому первыми интегралами уравнений Лагранжа могут быть функции вида f (q , q, t ) .Распространенным типом первых интегралов в лагранжевыхсистемах являются циклические интегралы. Переменная называетсяциклической, если она не входит в выражение для функции Лагранжа L .

Из уравнений Лагранжа (44) следует, что если qk – циклическая координата, то функция L qk является циклическимпервым интегралом системы.Рассмотрим голономную систему, в которой обобщенные силыQ имеют непотенциальные составляющие Q* . Полагая, что потенциальные и обобщенно потенциальные составляющие обобщенных сил учтены в лагранжиане L , получим уравнения Лагранжа в следующем виде:d L  L  Q* .dt q q(61)Введем в рассмотрение функциюnH  q T L  L   qk L  L ,qkqk 1(62)называемую обобщенной энергией системы. Определяя структуруэтой функции на основе структуры функции Лагранжа (53), получим35q T Aqq T AqTH  q ( Aq  d)  q d  L0  L0  T2  T0  Π.22T(63)Таким образом, обобщенная энергия не содержит членов, линейно зависящих от обобщенных скоростей.Если система склерономна, то T0  T1  0 и обобщенная энергиясовпадает с полной энергией:H  E T  Π .(64)Выясним, как меняется обобщенная энергия на движениях системы (61).

Вычислим полную производную по времени от функции(62):T L  q T d L  qT L  q T L  L .H  qqqq tdt qСокращая подобные члены и учитывая уравнения Лагранжа (61),получимH  q T  d L  L   L  q T Q*  L .t dt q q  t(65)Формула (65) описывает искомый закон изменения обобщеннойэнергии на движениях системы (61). Первое слагаемое в этой формуле есть мощность непотенциальных сил Q*.Если непотенциальные силы отсутствуют, а лагранжиан не зависит явно от времени, т.е.

L t  0 , то обобщенная энергия сохраняется:H  q T L  L  h  const .q(66)Этот первый интеграл называется обобщенным интеграломэнергии, или интегралом Пенлеве–Якоби.Заметим, что условие существования обобщенного интегралаэнергии (66) тоже можно сформулировать в терминах циклическихпеременных. Этот первый интеграл существует, когда циклическойпеременной является время t .Для склерономной системы из формулы (65) получим в силу соотношений (57) и (64) закон изменения полной энергии:36E  q T Q*  V .t(67)Здесь V – обобщенный потенциал, определяемый формулой (55). Вслучаях, когда учтенные в лагражиане силы имеют обычный потенциал или линейная по скоростям часть V1 обобщенного потенциала (55) не зависит явно от времени, т.е.

c t  0 , формула (67)принимает видE  q T Q*  Π .t(68)Склерономная система называется консервативной, если всеобобщенные силы потенциальны, а потенциальная энергия не зависит явно от времени, т.е. Π t  0 . Для консервативной системыобобщенный интеграл энергии принимает вид закона сохраненияполной энергии:E  T  Π  const .(69)Полная энергия склерономной системы будет сохраняться и вслучаях, когда силы обобщенно потенциальны, но V t  0 . Дляэтого необходимо и достаточно, чтобы оба слагаемых обобщенногопотенциала (55) не зависели явно от времени.Обобщенные силы называются гироскопическими, если для любого значения вектора обобщенных скоростей q их мощность равна нулю, т.е.nq Q   q k Qk*  0  q .T*(70)k 1В силу этого свойства гироскопические силы Q* никак не влияютна законы изменения обобщенной и полной энергии и, следовательно, не нарушают законов сохранения (66), (69).Примерами гироскопических сил являются сила Лоренца, действующая на точечный электрический заряд в магнитном поле, икориолисова сила инерции.

Эти силы ортогональны скоростям точек и не совершают работы на любых движениях системы.37Обобщенные силы называются диссипативными, если их мощность не положительна и при этом существуют движения, на которых мощность этих сил отрицательна.Диссипативные силы называются строго диссипативными (определенно диссипативными, силами с полной диссипацией), еслиих мощность отрицательна на любом движении системы, т.е.q T Q*  0  q  0 .(71)Если в системе действуют только диссипативные непотенциальные силы, то из формулы (65) при L t  0 получим H  0 , а длясклерономной системы из формулы (67) при V t  0 будемиметь E  0 .

Для случая строго диссипативных сил неравенствапринимают видH  0  q  0 и E  0  q  0 .38(72)§ 3. Уравнения Гамильтона3.1. Гамильтоновы системыРассмотрим систему из 2n обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка для 2n фазовых переменных q , p , гдеqT  (q1 , q2 ,..., qn ) , pT  ( p1 , p2 ,..., pn ) .Переменные q и p будем называть обобщенными координатами и обобщенными импульсами соответственно. Предполагается,что система разрешима относительно производных, т.е. представима в нормальной форме Коши:q  Q(q, p, t ),p  P (q, p, t ).(1)Если через x обозначить 2n-мерный вектор-столбец фазовыхпеременных xT  (qT , pT ) , а через X – 2n-мерный вектор-столбецправых частей системы (1) XT  (QT , P T ) , то эта система запишется в видеx  X( x, t ) .(2)Определение.

Характеристики

Список файлов книги