Учебник - Лагранжева и Гамильтонова механика - Амелькин (1238800), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Те кривые q(t ) в этом пространстве, которые соответствуют действительным траекториям движения системы с заданнымлагранжианом L(q , q, t ) , т.е. являются решениями уравнений (1),будем называть прямыми путями этой системы и обозначать черезq* (t ) , а все остальные кривые – окольными путями для этой системы.Действием по Гамильтону называется следующий функционал:t1W   L(q , q, t )dt .(2)t0Этот функционал ставит в соответствие каждой кривой q(t ) ,непрерывно дифференцируемой на отрезке [t0 , t1 ] , некоторое числоW . Значения этого интеграла зависят как от кривой q(t ) , которуюможно условно называть аргументом функционала, так и от структуры лагранжиана L(q , q, t ) .62Обозначим через ε(t )  q(t ) произвольную непрерывно дифференцируемую на отрезке [t0 , t1 ] вектор-функцию, которую будемназывать вариацией кривой q(t ) , и запишем приращение функционала (2), получаемое при переходе от кривой q(t ) к кривойq(t )  ε (t ) :t1t1t0t0W   L[(q  ε ), (q  ε), t ]dt   L(q , q, t )dt .(3)Первой вариацией функционала (2) на кривой q(t ) называетсялинейная по ε и ε часть выражения (3) , т.е.Wt1q (t )   ε T L  ε T L dt .qq t0 (4)Интегрируя первое слагаемое в выражении (4) по частям:tt1t11LLd  L TT ε q dt  ε q   εT dt  q dt , t0t0t0получаем следующую формулу для вариации действия по Гамильтону:tWq (t )t11  Lε  ε T  d  L   L dt .q t0 t0  dt  q  q T(5)При формулировке принципа Гамильтона в качестве допустимых вариаций кривой q(t ) используются всевозможные непрерывно дифференцируемые на отрезке [t0 , t1 ] функции ε (t ) , удовлетворяющие граничным условиямε (t0 )  0 ,ε (t1 )  0 .(6)Такие вариации представляют собой всевозможные «деформации»кривой, оставляющие на месте точки q 0  q(t0 ) и q1  q(t1 ) .63Теорема (принцип Гамильтона).

Если кривая q* (t ) , соединяющая две точки {t0 , q 0 } и {t1 , q1} расширенного координатногопространства, является прямым путем системы с лагранжианомL(q , q, t ) , то при любом допустимом варьировании этой кривойпервая вариация функционала (2) равна нулю:Wt1q* ( t )   L(q , q, t )dt  0 .(7)t0Иначе говоря, на прямом пути системы действие по Гамильтону принимает стационарное значение.Утверждение теоремы следует непосредственно из формулы (5)при учете условий (6) и того, что каждая точка прямого пути удовлетворяет уравнениям Лагранжа (1).qq1q* (t )  ε (t )q* (t )q0t0t1tОбратная теорема.

Если на некоторой дважды непрерывнодифференцируемой кривой q(t ) , соединяющей точки {t0 , q 0 } и{t1 , q1} расширенного координатного пространства, функционал(2) принимает стационарное значение, то эта кривая являетсяпрямым путем системы с лагранжианом L(q , q, t ) .Для доказательства этой теоремы используется основная леммавариационного исчисления, которая гласит [7]:Если f (x ) – непрерывная функция на отрезке [a, b] и для любойнепрерывно дифференцируемой на этом отрезке функции ε (x) выполняется равенство64b εT ( x)f ( x)dx  0 ,aто f ( x)  0 на [a, b] .По условиям обратной теоремы для произвольной функции ε(t ) ,удовлетворяющей условиям (6), выполняется равенствоWt1q (t )     ε T  d  L   L dt  0 . dt  q  q t0(8)При этом вследствие того, что q(t ) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, выражение в скобках под интегралом (8)будет непрерывной функцией времени.

Поэтому из равенства (8) всилу основной леммы следует, что кривая q(t ) должна удовлетворять уравнениям (1), т.е. является прямым путем системы с лагранжианом L(q , q, t ) .В вариационном исчислении уравнения (1) носят название уравнений Эйлера, а кривые, определяемые этими уравнениями, называются экстремалями функционала (2).

При этом задача нахождения экстремалей, соединяющих две заданные точки расширенногокоординатного пространства, называется задачей с закрепленнымиконцами. Именно в этой задаче в качестве допустимых вариацийкривых используются функции ε(t ) , удовлетворяющие граничнымусловиям (6).Заметим, что в классе непрерывно дифференцируемых функцийвариационная задача с закрепленными концами может не иметьрешения, а если решение существует, то оно может быть не единственным.Остановимся вкратце на вопросе о характере экстремума действия по Гамильтону на прямых путях системы. Ответ зависит от наличия или отсутствия на прямом пути сопряженных кинетическихфокусов.Две точки A и A* расширенного координатного пространстваназываются сопряженными друг к другу кинетическими фокусами,если краевая задача определения экстремали, соединяющей этиточки, имеет особенность.

В большинстве случаев такая особен-65ность выражается в том, что эти точки соединяются бесконечнымчислом прямых путей системы.Установлено, что если на отрезке прямого пути отсутствуют кинетические фокусы, сопряженные начальной точке, то действие поГамильтону на этом пути принимает строгий локальный минимум.В противном случае существует такое варьирование прямого путис закрепленными граничными точками, при котором приращениефункционала действия принимает нулевые или отрицательные значения (речь идет о приращениях функционала, получаемых за счетвариаций высших порядков; первая вариация функционала действия на любом прямом пути равна нулю).Заметим, что кинетические фокусы, если они есть в системе,располагаются на некотором конечном расстоянии друг от друга.Поэтому если начальная и конечная точки прямого пути выбраныдостаточно близко друг к другу, то действие по Гамильтону будетпринимать на этом пути локальный минимум.

В связи с этим принцип Гамильтона часто называют принципом наименьшего действия.4.2. Принцип Гамильтона для голономных систем общего видаРассмотрим голономную систему общего вида, описываемуюуравнениямиd  T   T  Q .dt  q  q(9)Пусть кривая q* (t ) , соединяющая две точки {t0 , q 0 } и {t1 , q1}расширенного координатного пространства, является прямым путем этой системы. Рассматривая непрерывно дифференцируемыевариации этой кривой ε (t )  q(t ) , получим для вариации кинетической энергии следующее выражение: T  ε TTT d  T T  T  d  T  T  εT ε.ε    qq dt  q qqdtУчитывая уравнения Лагранжа (9), будем иметь66(10)T  εT Q  d  εT T  .dt (11)q Отсюда, рассматривая допустимые вариации ε(t ) , т.е.

вариации,удовлетворяющие граничным условиям (6), получаемt1 (T  A)dt  0 .(12)A  εT Q  qT Q(13)t0Здесь– элементарная работа активных сил на виртуальном перемещениисистемы, обусловленном вариацией q(t )  ε(t ) вектора q в момент времени t .Таким образом, для голономных систем общего вида принципГамильтона заключается в том, что при любом допустимом варьировании прямого пути интеграл (12) равен нулю.Обратное утверждение формулируется следующим образом:Если при любом допустимом варьировании дважды непрерывнодифференцируемой кривой q(t ) , соединяющей точки {t0 , q 0 } и{t1 , q1} , интеграл (12) равен нулю, то эта кривая является прямымпутем системы.Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству обратной теоремы для лагранжевых систем.

Используяформулы (10) и (13), получим T  A  d  εT T   εT  d  T   T  Q  .dt  dt  q q qПри учете того, что допустимые вариации ε(t ) удовлетворяют граничным условиям (6), равенство (12) записывается в видеt1 d  T  T  εT  dt  q   q  Q dt  0 .t067Отсюда на основании основной леммы получаем, что рассматриваемая кривая удовлетворяет уравнениям (9).Отметим, что в общем случае равенство (12) не сводится к условию стационарности некоторого функционала, как это имеет местодля лагранжевых систем. Только в том случае, когда силы потенциальны или обобщенно потенциальны, элементарная работаA  qT Q выражается в виде изохронного дифференциала некоторой функции, а равенство (12) принимает вид (7).4.3. Формула преобразования лагранжианапри замене координат и времениИспользуя принцип Гамильтона, исследуем вопрос о преобразованиях уравнений Лагранжа (1) при замене координат и времени.Уравнения Лагранжа, как известно, ковариантны относительнопреобразований координат.

Выясним, обладают ли эти уравнениятаким же свойством по отношению к преобразованиям координат ивремени.Рассмотрим невырожденное преобразование~, ~~, ~q  q (qt ) , t  t (qt),(14)~ и ~где qt – новые координаты и новое время. При таком преобразовании кривая q(t ) , соединяющая точки {t0 , q 0 } и {t1 , q1} , перехо~ ~~~~ (~дит в кривую qt ) , соединяющую точки {t , q} и {t , q} , а инте0011грал (2) действия по Гамильтону записывается в новых переменных в виде~t1t1~t1~ ~~W   L(q , q, t ) dt   L dt~ d t   L d t ,~~t0t0 d tt0где подынтегральная функция~ ~~ dq~, t )  L(q , q, t ) dtL( ~ ,q~dtdt~ , t.выражена через новые переменные dq dt, q(15)(16)Прямым путям системы q* (t ) в исходных переменных будутсоответствовать в пространстве новых переменных прямые пути68~* (~qt ) .

При этом, поскольку в исходных переменных прямые путиq* (t ) соответствуют экстремалям функционала (15), то в новыхпеременных экстремалями этого же функционала будут прямые~* ( ~t ) . В силу обратной теоремы принципа Гамильтона экспути qтремали функционала (15) в новых переменных описываются уравнениями~~~d L  L  0 ; q~  d q .(17)~ ~~~dtqd t qОтсюда следует, что уравнения Лагранжа (1) ковариантны по отношению к преобразованиям (14), а лагранжиан системы в новыхпеременных определяется формулой (16).~Чтобы выражение (16) для нового лагранжиана L записать в~, q~, ~t , нужно выразить q и tновых лагранжевых переменных q~соотношениями (14), а для вычисления q и dt d t использоватьследующие формулы:q~Tdq  qq tdt~Tqdt  t q~  t ,~~~Td t qt~  qq~t.t~q  ~t(18)4.4.

Теорема Эмми НетерНижеследующая теорема устанавливает связь между первымиинтегралами (законами сохранения) механических систем и свойством инвариантности их уравнений движения по отношению кпреобразованиям координат и времени.Отметим, что инвариантность уравнений по отношению к преобразованию переменных означает, что уравнения преобразуютсятак же, как при тождественном преобразовании. В свою очередьинвариантность уравнений движения лагранжевой системы будетиметь место в том случае, когда инвариантен относительно преоб~разования лагранжиан системы, т.е.

Характеристики

Список файлов книги