Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определим добротность Q этой параллельной RLCцепи. Согласно (11.24) при ω0 >> βωRCCQ= 0 ==R.2βLLCЭто выражение не совпадает с формулой для добротности по1 Lследовательного контура Qпосл =(см. дополнение к задачеR C11.3.11).Если Q >> 1, то ω ≈ ω0. В этом случае начальная амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе (при t = 0 и при t = Tи) будетE0Eравна U C max ≈= 0 .ω0 RC Q382ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11.3.14.
Конденсатор, заряженный до разности потенциалов U0,Сразряжается на цепь, состоящую из соRLпротивления R и индуктивности L, соU0единенных параллельно (рис. 11.14).Найти заряды, прошедшие через нихпри разряде конденсатора. Омическим Рис. 11.14. Схема соединенияцепи в задачесопротивлением катушки индуктивно- элементов11.3.14сти пренебречь.РешениеВсе элементы схемы (L, R, C) соединены параллельно. Поэтомуправила Кирхгофа (11.7) и (11.8) можно записать в видеdIRI R = L L ,dtU C = RI R ,IC = I R + I L .Структура этих уравнений такова, что для решения поставленной задачи (определить QL и QR) нет необходимости находить явную зависимость токов IR(t) и IL(t) от времени.Действительно, проинтегрировав по времени от 0 до ∞ правуюи левую части первого уравнения, получимRQR = L[I L ( ∞ ) − I L (0)] .Учитывая, что I L ( ∞ ) = I L (0) = 0 , получимQR = 0 .Интегрируя в тех же пределах последнее уравнение и учитывая, что UC(0) = U0, UC(∞) = 0, получимQL = QC (0) = CU 0 .Ответ: QR = 0 , QL = CU 0 .Задача 11.3.15.
На сколько процентов отличается частота свободных колебаний в контуре с добротностью Q = 5 от частоты собственных незатухающих свободных колебаний в таком же контуре,но без потерь энергии?Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.383РешениеИспользуя формулу (11.25) теоретического материала приQ = 5, получим:ω1= 1−= 1 − 0,01 ≈ 0,995 .ω04Q 2Ответ: отличие составит 0,5% .Замечание. Даже при такой сравнительно небольшой добротности различием величин ω и ω0 практически можно пренебречь.Это довольно типичная ситуация. Даже при Q = 3 отличие составляет менее 1,5%. Поэтому при выполнении расчетов полезно сделать оценку добротности контура, что часто может упростить дальнейшие численные расчеты.Задача 11.3.16. Колебательный контур содержит последовательно соединённые емкость C = 0,25 мкФ, индуктивность L = 1 Гни активное сопротивление R = 20 Ом.
Через какое количество колебаний N амплитуда тока в этом контуре уменьшается в е раз?РешениеИспользуем формулы (11.21) – (11.23) теоретического материала, а также значение коэффициента затухания β в последовательнойRLC-цепи (задача 11.3.11):4Lω02 − β 2 1ω−1==2θ 2πβ2 πβ ⇒ N = CR.2πRβ=2LДля выполнения численного расчета оценим сначала величиныω0 и β:ω0 = 2000 с-1, β = 10 с-1.Поскольку ω0 >> β, для численного расчета можно использоωвать приближенную формулу (11.24), из которой N = 0 . Под2πβставляя в нее найденные численные значения, находим N = 32.Ответ: N = 32.N=384ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадачи типа 11.3Расчет энергетических характеристик процессов (мощность,энергия, количество выделенного тепла и др.)Метод решения. Для решения задач этого типа требуется сначала найти напряжения и токи, т.е. решить задачу типа 11.1 или11.2.Кроме стандартных расчётов, требуется также использоватьвыражение (11.26) для мощности, которая выделяется на участкецепи.В некоторых задачах вопрос сформулирован так, что для ответанет необходимости решать динамическую задачу. Достаточно произвести простое интегрирование полученного уравнения.Задача 11.3.17. Конденсатор ёмкости Cзаряжается от источника постоянного напряжения E0 через сопротивление R.
Определить зависимость от времени мощностиP(t), подводимой к конденсатору.Рис. 11.15. ЭлектричеРешениеская схема цепи к задаМощность P(t), подводимая к конденса- че 11.3.17тору, равна (11.26)P ( t ) = U ( t ) I (t ) .Здесь U и I – падение напряжения и ток через конденсатор.В базовой задаче 11.3.1 получено, что при зарядке конденсатораот постоянной ЭДС, напряжение на нём меняется по законуU (t ) = E0 (1 − e −t RC ) ,а в замечании 1 к этой же задаче получено, что при зарядке конденсатора в последовательной RC-цепи сила тока в ней изменяется позаконуEI (t ) = 0 e − t RC .R2EОтсюда получаем P (t ) = 0 1 − e − t RC e − t RC .RE02Ответ: P (t ) =1 − e − t RC e − t RC .R(())385Гл.
11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Замечание. Возможно решение этой задачи и другим, энергетическим, способом, что позволяет не находить зависимость силы тока от времени.При зарядке конденсатора его энергия изменяется со временемCU 2 (t ) CE02 (1 − e −t RC ) 2по закону W (t ) ==. А значит, для этого не22обходимо подводить к нему мощностьdW (t ) E02P (t ) ==1 − e − t RC e − t RC .dtR()Задача 11.3.18. В последовательном RLC контуре, добротностькоторого Q >> 1 и собственная частота колебаний равна ω, возбуждены затухающие колебания (см.
базовую задачу 11.3.12). Через какое время энергия, запасённая в контуре, уменьшится в n раз?РешениеЭнергия, запасённая в последовательном контуре, равнаLI 2 CU С2+,22где I – сила тока в цепи, а UС – напряжение на конденсаторе. Используя результат базовой задачи 11.3.12 и условие малости затухания (Q >> 1, ω0 >> β), для напряжения и силы тока можно записатьследующие приближенные соотношения:W (t ) =dU C= ω0CE0 e −βt sin ω0t .dtТогда для энергии, запасённой в контуре, получимU С (t ) = E0 e −βt cos ω0t ;I (t ) = CCE02 − 2βte= W0 e − 2βt .2Если за время t энергия уменьшится в n раз, тоWW (t ) = 0 = W0 e − 2βt .nОткуда для времени t получимln n = 2βt .Так как затухание мало (ω0 >> β), то, используя соотношениеω Q(11.24) теоретического материала Q = 0 , получим t =ln n .2β ω0W (t ) =386ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: t =Qln n .ω0§ 11.4 Задачи для самостоятельного решенияЗадача 11.4.1. Определитьзависимость от времени зарядаQ(t) на обкладках конденсатора Cвсхеме,приведеннойнарис. 11.16 после замыкания ключа K.Ответ:Q (t ) = E0CРис. 11.16. Соединение элементовцепи в задаче 11.4.1R2(1 − exp( −t / τ) ) , где τ = CR1 R2 .R1 + R2R1 + R2Задача 11.4.2. Определить закон изменения силы тока I(t) черезисточник постоянного напряжения E0 после замыкания ключа K всхеме, приведенной на рис. 11.17.Ответ:11 t I (t ) = E0 +exp − , τ R1 R21где τ =.R2 CРис. 11.17. Соединение элементов цепив задаче 11.4.2Задача 11.4.3.
Определить зависимость от времени силы тока IL(t) через катушку индуктивности L в схеме,приведенной на рис. 11.18 после замыкания ключа K.Рис. 11.18. Соединение элементов цепи в задаче 11.4.3Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Ответ: I L (t ) =387E0 t 1 − exp − ,R1 τ 11 .где τ = L + R1 R2 Задача 11.4.4. Определить зависимость от времени напряженияна катушке индуктивности UL(t) после замыкания ключа K в схеме,приведенной на рис.
11.19. 11 ER t .Ответ: U L (t ) = 0 2 exp − , где τ = L +R1 + R2 τ R1 R2 Рис. 11.19. Соединение элементовцепи в задаче 11.4.4Рис. 11.20. Соединение элементовцепи в задаче 11.4.5Задача 11.4.5. Определить, как изменяется со временем напряжение на катушке индуктивности в схеме, представленной нарис. 11.20 для двух случаев. Генератор тока формирует:1) Ступенчатый сигналI(t) = 0 при t < 0;I(t) = I0 при t > 0.Ответ: UL(t) = 0, при t < 0.L tU L (t ) = I 0 R exp − , при t > 0, где τ = .τR2) Прямоугольный импульсI(t) = 0 при t < 0, t > T;I(t) = I0 при 0 < t < T.Ответ: UL(t) = 0, при t < 0,388ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ tU L (t ) = I 0 R exp − при 0 < t < T , τ T t − T U L (t ) = I 0 R exp − − exp − при t > T.ττ Задача 11.4.6. Предварительно заряженный до разности потенциалов U0 конденсатор емкости C, разряжается через сопротивление R. Найти зависимость энергии конденсатора от времени.CU 02 2 exp −Ответ: WC (t ) =t.2 RC Задача 11.4.7. Конденсатор емкости C заряжается от источникаЭДС величины U0 и внутренним сопротивлением r. Определить зависимость от времени количества теплоты, выделившейся в цепипри зарядке конденсатора.Ответ: Q (t ) =CU 02 2 t .1 − exp −2 rC Задача 11.4.8. Две катушки, имеющиеактивные сопротивления r1 и r2, индуктивности L1 и L2, соединены параллельно иподключены к конденсатору, ёмкости С,заряженному до напряжения U0 (см.рис.
11.21). Какие заряды протекут черезкаждую из катушек при разрядке конденсатора?Ответ: Q1 =CU 0 r2CU 0 r1, Q2 =.r1 + r2r1 + r2Рис. 11.21. Соединениеэлементов цепи в задаче11.4.8Задача 11.4.9. В условиях задачи 11.3.8 определить, чему равенполный заряд q, который протечёт через поперечное сечение проводника, из которого сделана рамка, после завершения релаксационного процесса.Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.Ответ: q =389Ba 2.RЗадача 11.4.10.
В схеме, представленной на рис. 11.22, определить зависимость от времени напряжения U2(t) на конденсаторе С2.Генератор напряжения E(t) формирует ступенчатый сигнал:E(t) = 0 при t < 0;E(t) = E0 при t > 0.Первоначально (t < 0) токии напряжения в цепи былиравны нулю. При расчёте положить С1 = С2 = С; R1 = R2 = R.Ответ:Рис. 11.22. Соединение элементов цепи в2Eзадаче 11.4.10U 2 (t ) = 0 e −βt sh (γt ) ,5351где β =, γ=, sh( γt ) = (e γt − e −γt ) – гиперболиче2 RC2 RC2ский синус.Задача 11.4.11. Конденсатор C заряжается от источника с постоянной ЭДС E0 через катушку с индуктивностью L и сопротивление R, причем R 2 = 4 L C .
Определить:1) Как изменяется сила тока со временем?2) Через какое время сила тока достигнет максимума?3) Чему равно напряжение на конденсаторе в этот момент?4) Чему равно максимальное значение силы тока?E 0 −t τ2Le−2t e ; 2) t =; 3) U = E 0;RLe2E4) I max = 0 .eRОтвет: 1) I =390ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11.4.12. Найти силу тока IL(t) в катушке индуктивности Lпосле замыкания ключа K в схеме, приведенной на рис. 11.23. Параметры L, C, R удовлетворяют условиюL > 4CR2.КRОтвет:E0СLI L (t ) =E0R β 2 e −β1t − β1e −β2t 1 −,β 2 − β1где β1 = β + β 2 − ω20 , β 2 = β − β 2 − ω02 ,β=Рис.11.23. Электрическаясхема к задаче 11.4.1211, ω02 =.2 RCLCЗадача 11.4.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
