Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Резистор R, конденсатор С ииндуктивность L соединены в последовательную цепь (рис. 12.2а) иподключеныкгенераторупеременногонапряжения403Гл. 12. Цепи переменного токаE(t) = E0 cos(ωt).1) Определить амплитудные значения тока в цепи I0 и напряжений на конденсаторе и индуктивности (UC и UL) и сдвиг фазы токаLϕI относительно фазы ЭДС.~ E(t) C2) При каких частотах ω эти амплитуды будут иметь максимальныеRзначения? Чему равны эти максимальные значения? При расчётахположить, что добротность Q >> 1.
Рис. 12.2а. ПоследовательнаяRLC-цепь (задача 12.3.2)3) Исследовать случаи ω → 0 иω → ∞.Решениеа) Решение методом комплексных амплитуд1. Ток в цепиКомплексное сопротивление цепи имеет вид1ωL −1iϕωC .Zˆ = R + i ωL − = Z 0e , tg ϕ =ωC RЗдесь φ – сдвиг фаз между напряжением генератора и током вцепи,21 Z 0 = R 2 + ωL −ωC – модуль полного сопротивления цепи (импеданса). Комплекснаяамплитуда Î тока в цепи равнаEEEIˆ = 0 = 0 e − iϕ = 0 eiϕ I ,Z0Zˆ Z 0где сдвиг фаз ϕI тока относительно напряжения генератораопределяется соотношением1− ωLtg ϕ I = tg( −ϕ) = ωC.RОтсюда сразу получаем, что амплитуда тока в цепи равна404ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧI0 =E0=Z0E01 R 2 + ωL −ωC 2.Максимальное значение амплитуды тока, а значит, инапряжения на сопротивлении R, достигается на резонанснойчастотеω pI = ω0 =1Eи равно I p 0 = 0 .RLCПри ω → 0 амплитуда тока также стремится к нулю, а сдвигфаз ϕI → +π/2 (ток опережает напряжение). Если ω → ∞, то токI → 0, а сдвиг фаз ϕI → – π/2 (ток отстает от напряжения).2. Напряжение на конденсатореКомплексная амплитуда Û C напряжения на конденсаторе равна:Iˆ1 E0E0 i ( −φ−π /2)E0 i ( φI −π/2).Uˆ C ===e=eˆωCZ 0i ωC iωC Z ωCZ 0Фаза напряжения на конденсаторе ϕС = ϕI − π 2 отстаёт от фазытока на 90º.Для удобства дальнейшего анализа преобразуем величину1 (iωC Ẑ ), подставив в нее Zˆ = R + i ωL −:ωC1iωCZˆ = (1 − ω2 LC ) + iωrC = 2 ( ω02 − ω2 ) + i 2βω .ω0[]Здесь ω0 = 1 LC , β = R 2 L . Теперь зависимость амплитудынапряжения на конденсаторе от частоты ω может бытьпредставлена в следующем видеω02E0UC =.( ω20 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2Максимальное значение UС достигается при резонансной час1 , где Q – добротность контура.тоте ω2pC = ω02 − 2β 2 = ω02 1 −2Q 2 При ω = ωрС резонансная амплитуда напряжения на конденсаторе405Гл.
12. Цепи переменного токаравнаUрС =ω20 E04β 2 ( ω02 − β 2 ).Если Q >> 1, то UрС ≈ QE0.В области низких частот напряжение на конденсаторе равнонапряжению генератора UС = E0 , и совпадает с ним по фазе(ϕС = 0). В области высоких частот (ω → ∞) UС → 0, а сдвиг фазϕС → (–π).3. Напряжение на катушке индуктивностиКомплексная амплитуда Û L напряжения на индуктивностиравнаπi (φ + )ωLI2 .Uˆ L = i ωLIˆ = E0eZ0Фаза напряжения на катушке ϕL = ϕI + π 2 опережает фазу токана 90º.Проводя расчёты, подобные расчётам в пункте 2 настоящейзадачи, и опуская промежуточные выкладки, получим:ω2E0UL =.( ω02 − ω2 ) 2 + 4β2 ω2Максимальное значение UL достигается при резонанснойчастотеω20ω pL =ω02 − 2β2и равноUpL = U L (ω pL ) =E0ω0QE0=.2 β 1− 12β 1 − 2 4Q 2 ω0 Если Q >> 1, то UрL ≈ QE0.В области высоких частот (ω >> ω0) индуктивное сопротивлениевелико по сравнению с сопротивлением конденсатора и активнымсопротивлением, поэтому напряжение на индуктивности фактическиравно напряжению генератора, т.е.
UL = E0 , и совпадает с ним по фа-406ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзе. В области низких частот напряжение на катушке индуктивностиблизко к нулю.При малом затухании все три резонансные частоты ϕрI, ϕрC иϕрL практически совпадают. Поскольку амплитуды напряжений навсех элементах при этом максимальны, это называется резонансомнапряжений [1, §50]б) Решение методом векторных диаграммВекторная диаграмма для последовательной RLC цепи представлена на рис. 12.2б (см.
также задачуUL = ωLI0,12.3.6).Здесь:UR = rI0,ULUC = I0/(ωC), где I0 – амплитуда тока в цепи.Векторы E0, UR, (UL+ UC) составляютE0прямоугольный треугольник. ПоэтомуUL+UCможно записать:φ222E0 = UR + (UL – UC) , tg φ = (UL – UC)/UR .IURУчитывая взаимосвязь между амплитудой тока в цепи и амплитудами напряUCжений на резисторе, конденсаторе и индуктивности (12.6)-(12.8), получим:Рис.12.2б.ВекторнаяI0 =E01 R 2 + ωL −ωC 2, UL = ωLI0,диаграммадляпоследовательной RLC-цепи12.3.2I0.ωCСдвиг фазы напряжения генератора E(t) относительно тока вцепи равен1ωL −ωC .tg ϕ =RВ примере, показанном на рис.12.2 ϕ > 0, а сдвиг фазы токаотносительно напряжения генератора φI = –ϕ отрицателен, т.е.
токI(t) запаздывает по фазе относительно напряжения генератора E(t).Дальнейший расчёт, в соответствии с вопросами 2 и 3 условия за-UC =407Гл. 12. Цепи переменного токадачи, можно провести так же, как это сделано выше.Ответ: 1) I 0 =E01 R 2 + ωL −ωC 2, UC =ω02 E0( ω20 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2,1− ωLUL =, tg ϕ I = ωC;R( ω02 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2ω2 E02) I p 0 =E0; UрС ≈ UрL ≈ QE0, ω рез ≈ ω0 =R1;LC3) При ω → 0: I → 0, ϕI → +π/2;UС ≈ E0, UR ≈ UL ≈ 0.E0, ϕI → 0, UR ≈ E0, UрС ≈ UрL ≈ QE0;Rω → ∞: I → 0, ϕI → – π/2; UL ≈ E0 , UR ≈ UС ≈ 0.ω → ωрез: I p 0 =Задача 12.3.3 (базовая задача). Конденсатор и резистор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока снапряжением Eэ = 50 В и частотой ν = 50 Гц.
Какую емкость должениметь конденсатор для того, чтобы через резистор протекал токI = 0,1 А и напряжение на резисторе было равно UR = 30 В? Напряжения и токи понимаются как эффективные.РешениеПри решении этой задачи можно использовать два способа.Первый способ основан на непосредственном использованиирезультатов задачи 12.3.1. Полученные там соотношения дляамплитуд тока и напряжения можно поделить на2 и сразузаписать их для эффективных значений:U11UR = Eэ, tgφ = −, где R = R , ω = 2πν.2ωRCI1 + tg ϕОтсюда следует C =IωU R tg ϕОкончательно получаем2, где tg φ = E0 − 1 .UR 408ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧС=12πνIEэ2 − U R2.Подстановка численных значений дает С = 7,96 мкФ.Во втором способе решения используется тот факт, что навекторной диаграмме векторы амплитуд E0, U0R и U0C образуютпрямоугольный треугольник (EE0 – гипотенуза, U0R и U0C – катеты,см. задачу 12.3.1). ТогдаU0С =E02 − U 02R ,или для эффективных значенийUC =Eэ2 − U R2 .Напряжение на конденсаторе UC и ток в цепи I связаныIIсоотношением UC =, откуда следует: UC = Eэ2 − U R2 =.ωCωCОтсюда получаем тот же ответС=Ответ:С=I1.2ω E −U 2эR1I= 7,96 мкФ.22πν E − U 2эRЗадача 12.3.4.
Вцепьпеременноготокавключеныпоследовательно генератор с эффективным напряжениемEэ = 220 В, конденсатор емкости С, катушка индуктивности L ирезистор R. Найти напряжение UR на резисторе, если известно, чтонапряжение на конденсаторе UC = 2UR и напряжение на катушкеиндуктивности UL = 3UR (напряжения рассматриваются какэффективные).РешениеВ последовательной цепи напряжение на индуктивности UL опережает по фазе ток в цепи (и напряжение на резисторе UR) на угол+900 (рис.
12.2б). Напряжение на конденсаторе отстает по фазе оттока (сдвиг фаз равен – 900). Таким образом, UL и UC находятся впротивофазе. Соотношения между эффективными величинами на-409Гл. 12. Цепи переменного токапряжений те же, что и для амплитудных величин, поэтому напряжение на участке LC(UL + UC) = 3UR – 2UR = URи опережает ток по фазе на 900. Отсюда получаем:EEэ2 = (UL + UC)2 + UR2 = 2UR2, UR = э .2Ответ: UR =Eэ2.Задача 12.3.5. В последовательном RLC контуре (см. задачу12.3.2) генератор напряжения формирует сигнал следующего вида:E(t) = 0при t < 0,E(t) = E0sinωtЗдесь ω = ω02 − β 2 , где ω0 =1при t > 0., β=R.2LLCОпределить, как изменяется со временем напряжение U(t) наконденсаторе С. Вначале (t < 0), ток в цепи и напряжение наконденсаторе были равны нулю.При расчёте положить, что добротность Q =1 L>> 1 .R CРешениеДифференциальное уравнение, описывающееколебания в данной цепи, имеет видLCвынужденныеd 2UdU+ RC+ U = E (t ) ,2dtdtd 2UdU+ 2β+ ω20U = ω02 E0 sin ωt ,2dtdtR1где U – напряжение на конденсаторе, β =, ω0 =(см.: глава2LLC11, задача 11.3.10).
Решение этого уравнения можно представить ввидеU(ω, t) = U1(t) + U2(ω, t),или, для t > 0,410ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде U1(t) – решение однородного уравнения (т.е. с нулевой правойчастью), а U2(ω, t) – частное решение неоднородного уравнения.Решение однородного уравнения дает затухающие собственныеколебания (см. задачу 11.3.10):U1 (t ) = e −βt ( a sin ωc t + b cos ωc t ) ,где ωc = ω02 − β 2 – частота собственных колебаний.Частное решение данного неоднородного уравнения – этоустановившиеся вынужденные колебания, комплексная амплитудакоторых на конденсаторе ÛC равна (см. задачу 12.3.2)Uˆ C =1 E0, где Zˆ = r + i ωL −.ωC i ω CZˆПоскольку добротность контура велика, ωc ≈ ω0 .
Учитывая,что по условию ω = ω ≈ ω , получаем Zˆ = r , откуда следуетc0EEUˆ C = 0 = 0 e −iπ / 2 .iωCR ωCRВвиду того, что по условию E(t) = E0 sinωt = Im(E0 e iωt ), то длясогласования начальных фаз решение также удобно взять в видемнимой части от комплексного напряжения на конденсаторе:E0EiωtU2(ω, t) = Im(ÛC e)=sin(ωt − π / 2) = − 0 cos ωt .ωCRωCRТаким образом, общее решение имеет видEU(ω, t) = e −βt (a sin ωt + b cos ωt ) − 0 cos ωt .ωCRКонстанты a и b найдем из начальных условий, учитывая, чтопри t = 0 напряжение и сила тока в цепи были равны нулюEU(0) = 0: b − 0 = 0 ,ωCRU′ (0) = 0:a = 0.Подставляя a и b, получаем:U(t) = −E0(1 − e −βt ) cos ωt = − QE0 (1 − e −βt ) cos ωt .ωCR411Гл.
12. Цепи переменного токаПриближение U(t) к стационарному резонансному значению,равному QE0, определяется временем релаксации контура τ = 1/β.График зависимости U(t) показан на рис. 12.3.U(t)U(t)QE0E(t)Рис.12.3.Установлениерезонансного напряжения наконденсаторе U(t) в последовательномколебательномконтуре (задача 12.3.5)0tОтвет: U (t ) = −QE0 (1 − e −βt ) cos ωt .Задачи типа 12.2Задачи с разветвлёнными цепямиМетод решения: При решении задач этого раздела в качественезависимыхпеременныхрекомендуетсявыбратьтоки,действующие на разных участках разветвлённой цепи. Обязательнонадо выбрать и указать на схеме направления токов, выбранные заположительные. Затем, используя правила Кирхгофа (12.4, 12.5),надо составить систему уравнений для токов.Число уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Послерешения этой системы уравнений рассчитывается напряжение на томучастке цепи, который указан в условии задачи. Окончательныйрезультат должен быть представлен в действительной форме.Задача 12.3.6 (базовая задача). Конденсатор емкостью 20 мкФи резистор, сопротивление которого равно 159 Ом, соединеныпараллельно (рис. 12.4 а) с генератором переменного напряжения(частота ν = 50 Гц, эффективное напряжение Uэ = 120 В).Определить зависимость от времени силы тока в цепи I(t) и то-412ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧков через конденсатор IC (t) и резистор IR (t).РешениеПоложим, что ЭДС зависит от времениIRIСE(t) Iкак E = E0 cos(ωt), где E0 = 2 Uэ ≈ 170 В –RCамплитуда источника ЭДС, ω = 2πν = 100π –круговая частота.1) Решение методом векторных диаграммРис.
12.4а. Параллельная(рис. 12.4б)Выберем в качестве исходного направ- RC-цепь (задача 12.3.6)ление вектора ЭДС E0, поскольку напряжение одинаково на обоихэлементах цепи.Вектор IR параллелен вектору E0 и имеет длину I R = E0 R . Поэтому I R (t ) = (E0 R ) cos(ωt ) .Ввиду того, что ток через конденсаICтор опережает на π 2 напряжение E0,Iприложенное к нему, вектор тока IС перпендикулярен к E0 и повернут против чаϕсовойстрелки,аегодлинаEI R E0I C = 0 = E0 ωC .
Отсюда следует| ZC |Рис. 12.4 б. ВекторнаяI C (t ) = E0 ωC cos(ωt + π / 2) = −E0 ωC sin ωt . диаграмма для параллельной~RС цепи (задача 12.3.6)Так как конденсатор и резистор соединены параллельно, то по первому правилу Кирхгофа полныйток равен сумме токов через конденсатор и резистор I = IR + IC (векторная сумма).Как видно из рис.12.4б, фаза φ полного тока I относительно E0положительна и определяется соотношениемItg φ = C = ωRC .IRАмплитуду полного тока можно записать в видеI 0 = I R2 + I C2 = E01+ ( ωC ) 2 или, что удобнее2RI0 =IRE= 0 1 + tg 2ϕ .cos ϕ R413Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
