Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 62
Текст из файла (страница 62)
12. Цепи переменного токаЗависимостьполногоI (t ) = I 0 cos(ωt + ϕ) .токаотвременибудетПри заданных в условии задачи значениях R, C и ν имеемtg φ ≈ 1, т.е. φ = π/4 или 450. Подставляя эти значения и величины E0и ν в предыдущие соотношения, получаемEI R (t ) = 0 cos(2πνt ) ≈ 1,07 cos(100πt ) (А),RI C (t ) = −E0 2 πνC sin(2 πνt ) ≈ −1,07 sin(100πt ) (А),I (t ) = I 0 cos(2πνt + π / 4) ≈ 1,51cos(100πt + π / 4) (А).2) Решение методом комплексных амплитудКак и в методе векторных диаграмм, для комплексныхамплитуд токов Î0, ÎC и ÎR можно записать следующие соотношения:Î0 = ÎC + ÎR , где IˆR = E0 R , IˆC = E0 iωC = E0 ωCe i π 2 .Амплитуда ЭДС взята в действительном виде, поскольку онаодна, фаза ее не имеет значения и может быть положена нулевой.1Отсюда получим:Î0 = E0 + i ωC = E0 Ŷ, где Ŷ = Y0 e iϕ –Rкомплексная проводимость цепи.
Здесь11+ ( ωC ) 2 =1 + tg 2 ϕ ,2RRОкончательный результат для полного тока в комплекснойзаписи будет иметь следующий вид:tg φ = ωRC , Y0 =Î0 = E0 Y0 e iϕ .Умножая полученные комплексные амплитуды на e iωt и берядействительную часть от этих комплексных решений, получим тотже результат, что и при использовании метода векторныхдиаграмм.Ответ:E0cos(2πνt ) ≈ 1,07 cos(100πt ) (А);RI C (t ) = −E0 2 πνC sin(2 πνt ) ≈ −1,07 sin(100πt ) (А);I R (t ) =I (t ) = I 0 cos(2πνt + π / 4) ≈ 1,51cos(100πt + π / 4) (А).414ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача12.3.7.
На участке цепи, изображенном на рис. 12.5а, заданы величины L, R, C и сила тока через участок RCI2 = I0 cos ωt. Найти напряжение U(t), токчерез катушку I1(t) и сдвиг фазы φ междуU(t) и напряжением UC на конденсаторе.РешениеНапряжение U(t) можно сразу найти,зная ток I2(t) и импеданс правой частицепи. В комплексных амплитудах:U(t)RLI1I2СРис. 12.5а.Схемаэлектрической LCR цепи кзадаче 12.3.721 ˆ1iϕ0 Iˆ = ( ωRC ) + 1 e − i|ϕ0| Iˆ , I 2 = R 2 +Û = R +e22i ωC ωC( ωC )2где Iˆ2 = I 0 , ϕ0 – угол фазового сдвига напряжения U(t) относительно1< 0. Берятока I2(t), определяемый из соотношения tg ϕ0 = −ωRCдействительную часть от Û eiωt , находим напряжение U(t):( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ 0 ) .ωCТеперь можно найти силу тока в левой части цепиU(t) =UˆIˆ1 ==iωL( ωRC ) 2 + 1 i ( −|ϕ0 |− π / 2 ) ˆeI2 .ω2 LCДействительная часть от Î1 eiωt дает ток I1(t):( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ 0 − π / 2) .ω2 LCЧтобы найти сдвиг фазы φ между U(t) и напряжением UC(t),запишем выражение для комплексной амплитуды ÛC:I1 =1 ˆ1 −i π / 2 ˆUˆ C =I2 =eI2 .iωCωCРазность фаз между найденной выше комплексной амплитудой π πÛ и ÛС составляет ϕ = − ϕ 0 − − = − ϕ 0 . 2 2415Гл.
12. Цепи переменного токаЭту задачу можно легко решить и с использованием методавекторных диаграмм.Векторная диаграмма, соответствующая поставленной задаче,представлена на рис. 12.5б.URI2В качестве исходного вектора для отϕ0счета углов фазового сдвига, как и выше,Uберем вектор силы тока I2. Вектор напряϕ1ϕжения на резисторе UR параллелен вектоI1ру I2 и имеет модуль UR = I0R.
Вектор наUCпряжения на конденсаторе UC перпендиπРис. 12.5б. Векторная диакулярен к I2 (повернут на − ) и его дли- грамма напряжений и токов2(задача 12.3.7)Iна U C = 0 .ωCВекторы UR, UC образуют прямоугольный треугольник.Поэтому амплитуда напряжения U(t) равнаU0 =U R2 + U C2 = I0 R 2 +1.( ωC ) 2Модуль угла сдвига фаз между U(t) и I2(t) определяетсяравенствомU1.tg ϕ 0 = C =U R ωRCСам угол ϕ0 отрицателен, поскольку напряжение U(t)1запаздывает по фазе относительно тока I2(t): tg ϕ 0 = −< 0.ωRCМодуль угла сдвига фаз ϕ между U(t) и напряжением наопределяетсясоотношениемконденсатореUC(t)tg ϕ = U R U C = ωRC = ctg ϕ0 . Напряжение UC(t) запаздывает пофазе относительно E(t), поэтому ϕ < 0 и tgϕ = − ωRC .U L U0=.
Ток I1(t) в катушкеωL ωLиндуктивности отстает от напряжения на ней на π/2, поэтому вектор I1 перпендикулярен к вектору E и повернут относительно негона –π/2. Как видно из рис. 12.4, угол между векторами I1 и I2 по модулю равен |ϕ1| = (π/2 + |ϕ0|). Сдвиг фаз между токами I1(t) и I2(t) сАмплитуда тока I1(t) равна I10 =416ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧучетом отставания тока I1(t) отрицателен и равен ϕ1 = –(π/2 + |ϕ0|).Окончательный ответ, с учётом знака сдвига фаз, будет иметьследующий вид:Ответ: U(t) =I1 =( ωRC ) 2 + 11I 0 cos(ωt − ϕ 0 ) , tgϕ0 = −;ωCωRC( ωRC ) 2 + 1I 0 cos(ωt − ϕ0 − π / 2) .ω2 LCЗадача 12.3.8.
Определить амплитуду и фазу напряжения U(t)на конденсаторе С2 (рис. 12.6). Напряжение генератора изменяетсяпо закону E = E0 cos ωt. При расчёте положить С1 = С2 = С3 = С.Общая схема решения. Вначале определим ток Î1, протекающий через цепь RС2.IˆЗатем, используя соотношение Û = 1 ,i ωC2E(t)определим напряжение на конденсаторе С2.При расчёте будем использовать методкомплексных амплитуд.Рис. 12.6. Разветвленная RCРешениецепь к задаче 12.3.8Зададим произвольным образом положительные направления токов в ветвях цепи (стрелки на рис.
12.6).Используя правила Кирхгофа, запишем следующие соотношения:(узел С1, С2, С3);Î = Î1 + Î2 ,ˆIˆIÊ=(контур E, С1, С3);+ 2 ,i ωC1 i ωC3Iˆ1(R +) Î1 – 2 = 0 (контур С2, R, С3).iωC2i ωC3Исключив ток Î и учитывая, что С1-3 = С, эти уравнения можнопредставить в следующем виде:Iˆ + 2 Iˆ2IˆÊ0 = 1; Î2 = (1 + iωRC) Î1; U = 1 .iωCi ωCРешая эту систему уравнений, получим:417Гл. 12. Цепи переменного токаÛ=E02Eˆe −i|ϕ| , tg ϕ = − ωRC=233 + 2i ωRC9 + 4( ωRC )или, в действительных переменных:U(t) =Ответ: U(t) =E09 + 4(ωRC ) 2cos(ωt – |φ|).E02cos(ωt – |φ|), tg ϕ = − ωRC.39 + 4( ωRC ) 2Задача 12.3.9. Найти напряжение U(t) на конденсаторе (рис. 12.7),если параметры схемы таковы, что это напряжение сдвинуто по фазена угол 450 относительно напряжения генератора E(t) = E0 cosωt.РешениеПри решении этой задачи можно действовать по стандартнойметодике, используя правила Кирхгофа (см.
задачу 12.3.8). Однакобудет проще свести данную цепь к последовательной RC-цепи.Обозначим через Ẑ комплексноесопротивление параллельно соединённых элементов R и C. Тогда падениеE(t)напряжения на этой цепи (его и нужноопределить по условию задачи ) будетравноРис. 12.7. ЭлектрическаяE0E0схема цепи к задаче 12.3.9ˆˆˆÛ =Z I =Z=,R + Zˆ 1 + R Zˆ1 1где= + iωC (т.к. R и C соединены параллельно). НачальноеZˆ Rзначение фазы сигнала генератора можно положить равным нулю,поэтому Ê равно E0 – амплитуде сигнала генератора. Учитывая это,получимE0E0Û=eiϕ ,=22 + iωRC4 + ( ωRC )1ωRC.
По условию задачи tg ϕ= ±1. Хотя знак фазы не2был указан, теперь видно, что он должен быть отрицательным. Тогда ωRC = 2, ϕ = –π/4 игде tg ϕ = –418ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧÛ=E0 −iπ / 4e.2 2Амплитуда напряжения на конденсаторе равна U0 = |Û| =Запишем полную зависимость этого напряжения от времениEiωtU(t) = Re(Û e ) = 0 cos(ωt–π/4).2 2E0Ответ: U(t) =cos(ωt–π/4).2 2E0.2 2Задача 12.3.10. В схеме, показанной на рис. 12.8, С1 = С2 = С,R1 = R2 = R. Сдвиг фаз между напряжением E генератора переменногонапряжения (круговая частота равна ω) и напряжением UAB равен 90°.1) При каких значениях R, C, ω это возможно?2) Чему при этом будет равно отC1C2 AIношение амплитуд E и UAB?РешениеЗададим (произвольно) направE(t) RI2 R1 I1ления токов во всех участках схемы ~ E(t) 2(см.
рис. 12.8). Далее запишем уравнения Кирхгофа, выбрав в качествеBпеременных токи Î, Î1 и Î2.Рис. 12.8. Схема электрическойцепи к задаче 12.3.10Î = Î1 + Î2; (для узла C1, C2, R2);Iˆ+ R2Î2 = Ê (для контура E, C1, R2);iωC11(R1 +) Î1 – R2Î2 = 0 (для контура C2, R1, R2).iωC2Решая эту систему уравнений, найдем ток Î1, а затем напряжение ÛAB = Î1R:21 R + i ωC 1+Ê0 = Î1,R i ωC419Гл.
12. Цепи переменного токаÛAB = RÎ1,илиÊ0 = {1 –31–i} ÛAB = ÂÛAB2ωRC( ωRC )Разность фаз Ê и ÛAB определяется фазой комплексного множителя Â:3ImAˆtg ϕ ==−.1ReAˆωRC 1 −2 ( ωRC ) По условиям задачи tg ϕ = ∞, откуда следует, что ωRC = 1. Приэтом условии Ê = – 3iÛAB = 3ÛABe −iπ / 2 .Отношение амплитудπE/UAB = 3, а напряжение E отстает по фазе от напряжения UAB на .2EОтвет: 1) ωRC = 1; 2)= 3;U ABЗадача 12.3.11. На рис.
12.9 представлена схема цепи. Через I(t)обозначен генератор тока I(t) = I0 cos ωt, I0 – амплитуда тока.A1) Рассчитать комплексное Ẑ иполное Z0 сопротивление цепи (между точками А и В).L2) Найти резонансную частоту ωр,СCI(t)т.е. то значение частоты, при которомполное сопротивление Z0 имеет эксrтремальное значение и рассчитать Z0при этой частоте.B3) Определить амплитуду напряжения на конденсаторе и амплитуду Рис. 12.9.
Схема электрическойцепи к задаче 12.3.11силы тока в Lr цепи при резонансе.4) Найти сдвиг фаз между токами, протекающими через конденсатор и катушку индуктивностипри резонансе.При расчётах в пунктах 2-4 считать, что добротность1 Lколебательного контура Q =>> 1 .r C420ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешение1) Так как элементы цепи соединены параллельно, удобновначале найти комплексную проводимость цепи1Yˆ = iωC +.r + iωLТогда комплексное сопротивление цепи равно1r + iωL,Zˆ = =ˆY (1 − ω2 LC ) + iωrCа полное сопротивление цепиr 2 + ω2 L2.(1 − ω2 LC ) 2 + (ωrC ) 22) При Q >> 1 сопротивление цепи Z0 имеет максимальное1значение при ωр ≈ ω0 =, а реактивное сопротивление катушкиLCна частоте ω0 много больше активного сопротивления r, поэтомуr + iωL ≈ iωL.
При таких упрощениях полное сопротивление прирезонансе может быть представлено в следующем видеLZ 0рез == rQ 2 .rC3) При резонансной частоте ωр ≈ ω0 импеданс и амплитуданапряжения между точками А и В достигает максимума. Амплитудытоков, текущих через конденсатор и катушку, при этом могут бытьочень велики по сравнению с I0. Но эти токи почти противофазны, и ихвекторная сумма равна I0. Такой резонанс называется резонансомтоков [1, §50].Комплексная амплитуда силы тока в Lr цепи равнаZ 0 =| Zˆ |=I0Z.r + iωLОтсюда, учитывая результаты пункта 2 данной задачи,получаем, что при резонансе токов эта величина становится равнойI0,IˆL =iω p rCа амплитуда тока равнаII Lрез = 0 = QI 0 .ω0 rCАмплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе равнаIˆL =421Гл.
12. Цепи переменного токаU Cрез = I 0 Z 0рез = rQ 2 I 0 ,а амплитуда тока через конденсаторI Cрез = ω0CU Cрез = QI 0 .4) Поскольку напряжение на конденсаторе равно напряжению наLr-цепи, то1IˆC= IˆL ( r + iωL) .iωCОтсюда находим IˆC = IˆL (iωCr − ω2 LC ) . Разность фаз ϕ междутоками IC и IL равна аргументу комплексного множителя в скобкахи при резонансе составляетtgϕ = −rC1= −r=− .ωLLQТаким образом, при большой добротности сдвиг фаз ϕ ≈ π, т.е. токичерез С и Lr-цепи почти противофазны.r 2 + ω2 L21r + iωLОтвет: 1) Zˆ = =,.Z=0(1 − ω2 LC ) 2 + ( ωrC )2Yˆ (1 − ω2 LC ) + iωrC2) ωр ≈ ω0 =1L; Z 0рез == rQ 2 .rCLC3) I Lрез = QI 0 , U Cрез = rQ 2 I 0 .4) tgϕ = −1.QЗадача 12.3.12. Схема цепи изображена на рис. 12.10.
ЗдесьE(t) = E0 cos ωt. Определить:1) При какой частоте генератора ω сила тока I в цепиминимальна? Чему равна амплитуда силы тока при этой частоте?2) При какой частоте сила тока I максимальна? Чему равна приэтом амплитуда силы тока?Из решения исключить очевидные случаи (ω → 0) и (ω → ∞).При расчёте положить С1 = С2 = С; R >> L C , R >> r422ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешение1) Сила тока в цепи C2L минимальна при ω p1 = ω0 = 1 LC2rC1RLC2~ E(t)(резонанс токов, см. предыдущую задачу 12.3.11). Сопротивление конденсатора C1 на этой Рис.
12.10. Схема электрическойчастоте равно 1 ( ω0C ) = L C и цепи к задаче 12.3.12существенно меньше R (см. условие задачи). Амплитуда силы токачерез источник ЭДС будет равна I 0 = E0 R , т.к. r << R, а сопротивление цепи LC2 (параллельное соединение) на частоте ω0 равнобесконечности. Очевидно, что при этом ток совпадает с E(t) по фазе.2) Для определения второй резонансной частоты вычислимкомплексное сопротивление всей цепи. Для упрощения расчетовпренебрежем влиянием резистора R, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
