Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки с индуктивностью L = 1 Гн, которые соединены последовательно. Чему равно омическое сопротивление контура r, если известно, что амплитуда собственных колебаний в нём за время0,1 секунды уменьшается в e = 2,718 раз?Ответ: r = 20 Ом.Задача 11.4.14. Для схемы, представленной на рис.
11.24, определить заряд q на конденсаторе С как функцию времени послезамыкания ключа К. При расчёте считать, что добротность Q >> 1.Ответ:2βq(t ) = CE0 (1 − e−βt )cos ωt + sin ωt ,3ω2r1где β =, ω0 =, ω = ω02 − β2 .3LLCКrE02rСLРис. 11.24. Схема к задаче11.4.14Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.391Задача 11.4.15. Пространство между пластинами плоского конденсатора (см. рис. 11.25) заполнено двумя слоями диэлектрика.Диэлектрические проницаемости слоёв равны ε1 и ε2. Удельныепроводимости равны λ1 и λ2. Генератор тока I(t) формирует ступенчатый сигнал:I(t) = 0 при t < 0;ε1,λ1I(t) = I0 при t > 0.I(t)ε2,λ2Определить, как изменяется современем свободный заряд q(t) награнице раздела этих диэлектриРис.
11.25. Конденсатор с утечкойков.в задаче 11.4.15Ответ: ε λ t ε λ t q(t ) = ε0 I 0 2 1 − exp − 2 − 1 1 − exp − 1 . λ 2 ε 0 ε 2 λ1 ε0 ε1 Указание. Конденсатор с утечкой можно рассматривать как параллельно соединённые конденсатор и резистор (см. задачу 11.3.7).При решении целесообразно использовать соотношение RλС = εε0(глава 6, (6.7)).Литература к главе 111.2.3.4.Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм, – М.: Оникс 21век, 2005, § 48.Сивухин Д.В. Общий курс физики.
т.III Электричество, – М.:Физматлит, 2006, §§ 122-124, 126, 129-131, 134.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003,§§ 207-216.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит,2003, §§ 78-80, 89.392ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 12ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА§ 12.1. Теоретический материалВынужденные электрические колебания. Если электрическая цепь в своем составе имеет одну (или несколько) ЭДС, величина которых изменяется по периодическому закону, то в цепи после окончания переходных процессов установятся вынужденныеэлектрические колебания, характер которых определяется закономизменения включенных в цепь ЭДС. Мы будем рассматривать только такие ЭДС, величина которых изменяется по гармоническому закону, то естьE(t) = E0 cos (ωt + ϕ0).(12.1)Уравнение цепи в случае вынужденных колебанийd2XdX+ 2β+ ω02 X = F0 cos( ωt + ϕ 0 )(12.2)2dtdtгде X – искомая величина (заряд, напряжение или сила тока), а F0 –амплитуда, пропорциональная E0 и, в общем случае, зависящаятакже от частоты и параметров цепи.
Решением этого неоднородного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения (11.16), которое было рассмотрено в Главе 11,X (t ) = A1e −βt cos (ωc t + ϕ0 ) ,(12.3)где ωс – частота собственных колебаний контура, и частного решения неоднородного уравнения, которое имеет видX (t ) = A( ω) cos (ωt + ϕ( ω) ) ,(12.4)где А(ω) – амплитуда вынужденных колебаний, ϕ(ω) – сдвиг фазмежду колебаниями исследуемой величины и колебаниями сигналаисточника.С течением времени свободные затухающие колебания (12.3)затухнут, и в установившемся режиме, который мы в дальнейшем ибудем рассматривать, будут происходить гармонические колебания(12.4).Цепи переменного тока – электрические цепи, в составе которых имеются один (или более) источник ЭДС, величина которойГл.
12. Цепи переменного тока393изменяется по гармоническому закону (далее частоту внешней ЭДСбудем обозначать символом ω)E(t) = E0 cos (ωt + ϕ0).Считается, что все элементы цепи (резисторы, конденсаторы,индуктивности) не изменяют своих параметров со временем. Предполагается, что к рассматриваемому моменту все переходные процессы закончились, после чего Xi (t), т.е. все токи, напряжения и заряды, как в самой цепи, так и на отдельных её участках, также будут изменяться по гармоническому закону:Xi (t) = Ai cos (ωt + ϕi),где Аi – амплитуда, ϕi – сдвиг фаз между колебаниями исследуемойвеличины и колебаниями сигнала источника.
Ввиду того, что режим стационарен, амплитуды и фазы не зависят от времени, но онимогут быть разными на разных элементах цепи. Частота колебанийω имеет одно и то же значение для всех участков цепи и совпадаетс частотой ω источника ЭДС.Строго говоря, переменные токи могут быть и негармоническими токами. Однако, как это общепринято, под термином «переменный ток» мы будем подразумевать только гармонические (синусоидальные) токи.Квазистационарное приближение. При анализе цепей переменного тока принимается, что можно пренебречь запаздываниемраспространения электромагнитной волны вдоль контура. Для этого требуется, чтобы размер контура был много меньше длины электромагнитной волны.
Квазистационарное приближение позволяетприменять к цепям переменного тока те же уравнения, что и дляцепей постоянного тока.При расчётах и анализе линейных цепей переменного токаобычно используются два метода: метод комплексных амплитуд иметод векторных диаграмм.Метод комплексных амплитуд. Это основной метод расчеталюбых линейных цепей переменного тока, основанный на формулеЭйлераeiωt = cos ωt + i sin ωt .В этом методе все гармонически изменяющиеся величины видаA cos( ωt + ϕ) (т.е. токи, напряжения и ЭДС) заменяются на соответ-394ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧствующие комплексные переменные Ae iϕ e iωt , а комплексная величина Â = Aeiϕ называется комплексной амплитудой (далее комплексные амплитуды будут обозначаться значком "^" над символом). Модуль комплексной амплитуды Â равен амплитуде А соответствующей реальной переменной физической величины, а аргумент ϕ комплексной экспоненты e iϕ определяет фазу.Так как частота стационарных вынужденных колебаний на всехучастках линейной цепи одинакова, то при подстановке решения ввиде Aˆ i e iωt множитель e iωt во всех уравнениях сокращается и егоможно сразу отбросить, и остаются линейные алгебраическиеуравнения для комплексных амплитуд Aˆ i .Удобство метода комплексных амплитуд при расчете линейныхцепей связано с тем, что линейные операции намного проще проводить с экспонентой, чем с синусом и косинусом.
Например, n-кратноедифференцирование по времени приводит просто к умножению комплексной амплитуды на множитель (iω)n, благодаря чему линейныедифференциальные уравнения переходят в алгебраические уравнения.После проведения расчета в комплексной форме нужно вернуться к реальным физическим переменным, взяв действительнуючасть от полученного комплексного решения Â eiωt .Отметим, что и мнимая часть от Â e iωt даст то же самое решение, но записанное в виде Asin (ωt + ϕ′), где, разумеется, фаза ϕ′ будет уже другой. Выбор формы записи решения определяется удобством согласования с начальными условиями задачи и не являетсяпринципиальным (например, см.
далее задачу 12.3.7).При нелинейных операциях (например, возведение в степень идр.) появляются слагаемые с разными частотами, кратными ω, иметод комплексных амплитуд теряет свои преимущества. В такихслучаях, например при расчете мощности, нужно пользоваться реальными переменными.Закон Ома для участка цепи для комплексных переменныхˆˆ ,Û = ZI(12.5)где Û – комплексное напряжение на участке цепи, Ẑ – комплексноесопротивление участка цепи, Î – комплексная амплитуда тока.395Гл. 12.
Цепи переменного токаКомплексные сопротивления элементов цепиРезистор: активное сопротивлениеẐ = R(12.6)– действительная величина, не зависящая от частоты. Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазеÛR = RÎR.Катушка индуктивности: индуктивное сопротивлениеẐ (ω) = iωL,(12.7)где L – величина индуктивности катушки. Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток (ϕ = +π/2):ÛL = iωLÎL = ωLÎL e +iπ / 2 .Конденсатор: емкостное сопротивление1Ẑ (ω) =.(12.8)iωCНапряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от тока (ϕ = –π/2):IˆIˆ −i π / 2ÛC =e.=iωC ωCПравила Кирхгофа в комплексном представлении имеют вид,полностью аналогичный правилам Кирхгофа для постоянного тока(глава 6):1) В любой точке разветвления токов, вследствие закона сохранениязаряда, выполняется(12.9)∑ Iˆ = 0 ,kk2) для любого замкнутого контура, выбранного в цепи,∑ Zˆ Iˆ = ∑ Ê ,k kkm(12.10)mгде Îk – комплексная амплитуда тока, Ẑ k – комплексное сопротивление k-ого участка цепи (импеданс), Eˆm = Em 0eiϕm – комплекснаяамплитуда m-ой ЭДС, входящей в выбранный контур, ϕm – ее фаза.Соотношение (12.10) является следствием подразумеваемоговезде в данном разделе квазистационарного приближения, которое396ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
