Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Внутреннее сопротивление такого генератора принимается равным нулю, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, много меньшим сопротивления внешней цепи.Генератор тока – устройство, которое обеспечивает силу токав цепи I(t), не зависящую от напряжений на элементах этой цепи.Такой генератор имеет бесконечное внутреннее сопротивление, а вреальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением,значительно превышающим сопротивление внешней цепи.Правила Кирхгофа (более подробно см. §6.1 главы 6)I L = I L (0) +350ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПравило I. Для каждого узла цепи алгебраическая сумма силтоков равна нулю:∑ Ii = 0 .(11.7)iПри суммировании знак входящего тока (обычно "+") принимается противоположным знаку выходящего ("–").Правило II. При обходе любого замкнутого контура, выбранного в разветвленной цепи, алгебраическая сумма напряжений наэлементах цепи (резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности)равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:∑U i = ∑ E j .i(11.8)jДля использования данных формул сначала нужно выбрать направления токов в каждой ветви цепи, что можно сделать произвольным образом (истинные направления токов определяются познакам полученных решений).
Как и для резисторов, напряженияна конденсаторах и катушках индуктивности понимаются как разность потенциалов на их концах в выбранном направлении протекания тока.Записывая правила Кирхгофа (11.7) и (11.8) с учётом выраженийдля напряжений на элементах цепи – резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности (11.1) – (11.6), приходим к системе дифференциальных уравнений. Из этой системы можно получить одноуравнение цепи – дифференциальное уравнение, которое (в неявном виде) описывает изменение во времени одной изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда). Решение этого уравнения даётзависимость от времени Х(t) в явном виде. В механике аналогамиуравнения цепи и его решения являются уравнение движения и закон движения соответственно.Установившееся значение исследуемой величины X∞ – значение изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда: X = I, U, Q)при t → ∞, т.е.
после окончания всех переходных процессов.Начальные условия X(0), X ′(0) – такие значения исследуемойвеличины X(t) и её производной по времени X ′(t), которые они имеют сразу после “скачка” (изменения параметров цепи), которыйпроизошёл при t = 0.X(0) = X(t = 0),X ′(0) = X ′(t = 0).Гл.
11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.351RC- и RL-цепиЕсли цепь состоит из резисторов и конденсаторов (RC-цепь)или из резисторов и катушек индуктивности (RL-цепь), то в неймогут происходить только релаксационные непериодические процессы. В зависимости от сложности цепи, уравнение цепи можетбыть любого порядка, начиная с первого.В курсе общей физики рассматриваются только такие цепи, вкоторых уравнение цепи является дифференциальным уравнениемлибо первого, либо второго порядка.Уравнение цепи первого порядкаВ этом случае уравнение цепи можно записать в виде:dX 1+ [X − X ∞ ] = 0 .dt τРешение такого уравнения имеет следующий видX (t ) = X ∞ + Ae −t τ ,(11.9)где А –- константа, определяемая из начального условия Х(0).
Таккак X (0) = X ∞ + A , решение уравнения (11.9) окончательно можнозаписать следующим образом:X ( t ) = X ∞ − [ X ∞ − X ( 0) ] e − t τ .(11.10)Например, если в качестве исследуемой величины выбрана сила тока в цепи, то уравнение цепи имеет видdI 1+ [I − I ∞ ] = 0 ,dt τа его решениеI (t ) = I ∞ − [I ∞ − I (0)] e −t τ .Величина τ, входящая в уравнение (11.9) и в его решение(11.10) определяет время, за которое величина X (t ) − X ∞ уменьшается в e раз. Эта величина называется временем релаксации.Она является одной из основных характеристик цепи, определяетсятолько параметрами цепи и не зависит от начальных условий.Уравнение цепи второго порядкаЕго можно представить в виде:d2XdX+ 2β+ Ω2 (X − X ∞ ) = 0 .2dtdtРешением этого уравнения является функция(11.11)352ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧX (t ) = X ∞ + A1e −β1t + B1e −β2t , β1,2 = β ± β 2 − Ω 2 , (11.12)в которой константы Ω и β определяются параметрами самойцепи, а константы А1 и В1 находятся из начальных условий.При t → ∞ значение исследуемой величины, как следует из(11.10) и (11.12), стремится к установившемуся значению Х∞. Такимобразом, решение уравнения цепи в обоих случаях описывает переходный процесс установления силы тока в цепи (или напряженияна элементах цепи) после скачкообразного изменения параметров(например, замыкания или размыкания ключа).RLC-цепиЕсли электрическая цепь содержит конденсатор, катушку индуктивности и резистор, то в ней при определенном соотношении параметров элементов могут происходить колебательные процессы.Такую цепь называют колебательным контуром.Если в цепи присутствуют и резисторы, и катушки индуктивности, и конденсаторы, то уравнение цепи имеет вид дифференциального уравнения порядка не ниже второго.
В простых случаях,рассматриваемых обычно в курсе общей физики, это – уравнениевторого порядка, которое имеет вид:d 2XdX+ 2β+ ω02 ( X − X ∞ ) = 0 .(11.13)2dtdtВ зависимости от соотношения параметров цепи решение этогоуравнения может описывать как свободные колебания, так и релаксационные (непериодические) процессы.Величина β, входящая в уравнение (11.13) определяет диссипацию энергии в цепи и называется коэффициентом затухания. Онаопределяется параметрами цепи (R, L, C). Как и в механических колебательных системах, потери энергии в электрической цепи приводят к затухающим колебаниям.
В электрическом колебательномконтуре энергия уменьшается за счет выделения тепла на активномсопротивлении (резисторе). В рассматриваемом квазистационарномприближении потери на излучение малы и не учитываются. Величина1τ=βГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.353является временем релаксации контура, т.е. временем, за котороеамплитуда собственных затухающих колебаний уменьшается в ераз.Величина ω0 зависит только от индуктивности катушки и емкости конденсатора и определяет частоту незатухающих (гармонических) свободных колебаний в контуре, если бы в нем не было потерь (см.
(11.14), (11.15)).В зависимости от соотношения коэффициента затухания β ичастоты ω0 уравнение (11.13) описывает следующие различные процессы, происходящие в цепи.1) β = 0.Если в цепи имеются только L и С элементы, то β = 0. В этомслучае реализуются свободные незатухающие гармоническиеколебания. При этом уравнение цепи имеет вид:d2X+ ω20 X = 0 ,(11.14)dt 2где ω0 = 1 LC – частота собственных гармонических колебаний.Решением уравнения (11.14) являетсяX (t ) = X 0 cos(ω0 t + ϕ 0 ) ,(11.15)где Х0 – амплитудное значение исследуемой величины, ϕ0 – начальная фаза колебаний.
Константы Х0 и ϕ0 находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производной при t = 0.В реальной цепи потери энергии всегда существуют, т.е. β > 0всегда, но потери за один период могут быть малыми по сравнениюс запасом энергии в контуре, и тогда приближенно можно считатьколебания гармоническими.2) β < ω0.Этот случай возможен, только если в цепи присутствуют все L,С и R элементы. При этом реализуются свободные затухающие колебания.Если константа X∞, входящая в уравнение (11.13), отлична отнуля (X∞ ≠ 0), то после затухания колебаний (при t → ∞ ) соответствующая переменная (ток в цепи, напряжения на элементах цепиили установившиеся заряды на конденсаторах) не равна нулю (аналог в механике – колебания со смещённым от нуля положением354ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧравновесия из-за приложения к колебательной системе постояннойсилы).Решение уравнения (11.13) в этом случае имеет видX (t ) = X ∞ + X 0 e −βt cos(ωt + ϕ0 ) ,(11.16)где константы Х0 и ϕ0, как и в предыдущем случае, находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производ-ной при t = 0, а ω = ω20 − β 2 – частота собственных затухающихколебаний.При очень слабом затухании (β << ω0) обычно говорят о величине X 0 e−βt как о зависящей от времени амплитуде затухающихколебаний.Выражение (11.16) удобно преобразовать к виду:X (t ) = X ∞ + e −βt ( a cos ωt + b sin ωt ) ,(11.17)где а и b – константы, для определения которых используются начальные условия:X(0) = X∞ + а;X′(0) = –βа + ωb.3) β ≥ ω0В этом случае колебания в цепи отсутствуют, и реализуется переходной процесс установления напряжения на элементах цепи(силы тока в цепи).Аналогично (11.11) решение уравнения цепи в этом случаеимеет вид:X (t ) = X ∞ + Ae −β1t + Be −β2t ,где β1,2 = β ± β 2 − ω20 , (11.18)а константы А и В определяются из начальных условий.В частном случае β 2 = ω02 решение уравнения (11.13) имеетвидX (t ) = X ∞ + ( A + Bt ) e −βt .(11.19)Основными характеристиками, которыми определяются потери энергии в любой колебательной системе, в том числе и приописании затухающих колебаний, являются: коэффициент затухания β (определен выше), логарифмический декремент затухания θ идобротность Q.Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
