Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 55
Текст из файла (страница 55)
11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.355Логарифмический декремент затухания θ определяется соотношениемX(11.20)θ = ln n ,X n +1где Xn и Xn+1 – два последовательных максимальных отклонения(амплитуды) колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Учи1ω1тывая, что X n = e − γ ( t1 + nT ), где t1 = arctg , Т – периодωγ1 + ( γ / ω) 2затухающих колебаний, получаемθ = βT .Логарифмический декремент затухания – это величина, обратная числу колебаний Ne , за которые амплитуда колебаний убывает вe ≈ 2,7 раза:1.(11.21)NeНапример, если θ = 0,01, то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний.θ=Коэффициент затухания β, частота колебаний ω и логарифмический декремент затухания связаны следующим соотношением2πβ.(11.22)ωДобротность колебательной системы Q определяется соотношениемπQ = = πN e ,(11.23)θПри малом затухании (β << ω0) добротность можно такжепредставить какθ = βT =Q≈Wω0= 2π,2β∆W(11.24)где 〈W〉 – средняя за период энергия, запасённая в цепи, 〈∆W〉 –уменьшение энергии за один период колебаний.
При очень большой величине добротности амплитуда уменьшается медленно, иформа колебания мало отличается от гармонической.356ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕсли при описании затухающих колебаний использовать в качестве основных параметров частоту ω0 и добротность Q, то частоту собственных затухающих колебаний можно представить в виде1 .ω2 = ω02 1 −(11.25)2 4Q Мощность, подводимая к элементу цепи, равнаP (t ) = U ( t ) I (t ) ,(11.26)где U(t) и I(t) –напряжение на данном элементе (сопротивлении,конденсаторе, катушке) и ток через этот элемент.
Эта мощностьможет выделяться на резисторе в виде тепла или расходоваться назарядку конденсатора и создание магнитного поля в катушке индуктивности.§ 11.2 Основные типы задач (классификация)11.1. Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессахв RC и RL-цепях.11.2. Задачи на определение временных зависимостей зарядов,напряжений и токов в RLC-цепях.11.3. Расчет энергетических характеристик процессов (мощность, энергия, количество выделенного тепла и т. д.).§ 11.3 Методы решения и примеры решения задачМетоды решения задач типа 11.1 и 11.2 практически совпадаюти сводятся к процедурам, описанным ниже.Из условия задачи нужно определить переменную Х, поведениекоторой следует исследовать (ток, напряжение, заряд).Далее для указанной в условиях задачи схемы записать правилаКирхгофа (11.7), (11.8) и, пользуясь соотношениями (11.1) – (11.6),получить дифференциальное уравнение для искомой величины Х.Используя математические преобразования, привести полученное дифференциальное уравнение цепи к стандартному виду (11.9),(11.11), (11.13) и определить порядок уравнения.Записать начальные условия для Х(0) и Х ′(0).
Для определенияустановившегося стационарного значения Х∞ нужно в полученномГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.357уравнении цепи приравнять нулю все производные по времени ирешить это уравнение.Исходя из типа полученного уравнения цепи, выбрать решениев виде (11.10), (11.12), (11.15), (11.16) - (11.19).Из начальных условий найти все неизвестные коэффициенты ввыбранном решении.Проанализировать решение и написать ответ.Задачи типа 11.1Задачи на определение временных зависимостей напряжения наэлементах цепи или силы тока при переходных процессахв RC- и RL-цепяхБазовыми задачами этого раздела являются задачи 11.3.1,11.3.2, 11.3.3.Задача 11.3.1 (базовая задача).
Резистор R, незаряженныйконденсатор C и генератор постоянного напряжения E соединеныпоследовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.1 а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени послезамыкания ключа К.РешениеПо второму правилу Кирхгофа(11.8) сумма напряжений на резисторе UR и конденсаторе UC после замы+ –кания ключа в любой момент времени должна быть равна E:Uc +UR = E .Согласно выражениям (11.1) иРис.11.1а. Зарядка конденсатора(11.2)в последовательной RC -цепиdU C(задача 11.3.1)UR = R IR , I C = C.dtТак как все элементы цепи соединены последовательно, силатока на всех участках цепи одинаковаI (t ) = I R = I C .Выберем в качестве исследуемой величины напряжение наконденсаторе UC. Совершив обход контура по выбранному направ-358ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧлению тока и используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи:dU cU c + RC=E.dtПриведём это уравнение к стандартному виду (11.9)dU c1+(U c − E) = 0 .dtRCДо замыкания ключа К напряжение на конденсаторе было равно нулю. Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, следовательно, и сразу после замыкания ключа это напряжениебудет равно нулю.
Таким образом, начальное условие можно записать в виде: U c (0) = 0 .В соответствии с (11.10) решением этого уравнения будетфункцияU c (t ) = E (1 − e −t τ ) ,где время релаксации τ = RC. График этой зависимости представленна рис. 11.1 б.Приt=τнапряжениенаконденсатореравно−1U C (t ) = E (1 − e ) ≈ 0,63 E .Ответ: U C (t ) = E (1 − e −t τ ) .Замечание 1. Используя полученный результат, можно определить зависимость от времени и всех остальных параметров цепи: напряжения нарезисторе, силы тока в цепи и зарядаконденсатора:Рис.
11.1б. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке в последовательнойRC-цепи(задача11.3.1)U R (t ) = E − U c (t ) = E e −t τ ;I (t ) =U R (t ) E − t τ= e ;RR()Q (t ) = CU c (t ) = CE 1 − e −t τ .Замечание 2. Если до замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения U0, то начальное условие будет иметь видU C (0) = U 0 , и напряжение на конденсаторе будет меняться со временем по следующему закону:359Гл.
11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.U c (t ) = E + (U 0 − E )e −t τ .Задача 11.3.2 (базовая задача). Заряженный до напряжения U0конденсатор C и резистор R соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.2а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.РешениеПо второму правилу Кирхгофа(11.8) сумма напряжений на резистореUR и конденсаторе UC после замыканияключа в любой момент времени должРис.11.2 а.
Разрядка конденсана быть равна 0:тора в последовательной RCцепи (задача 11.3.2)UC + U R = 0 .Аналогично решению задачи 11.3.1 можно записатьdU CUR = R IR , I C = C,dtI (t ) = I R = I c .Выберем в качестве исследуемой величины напряжение наконденсаторе UC. Выполнив обход контура по выбранному направлению тока и используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи и приведём его к виду (11.9):1dU C+UC = 0 .dtRCСразу после замыкания ключанапряжение на конденсаторе равноU0, то есть U C (0) = U 0 .
В соответствии с (11.10) решением этого уравРис.11.2 б Зависимость напряже- нения будет функцияния на конденсаторе от времениU C (t ) = U 0 e − t τ ,при разрядке в последовательнойRC-цепи (задача 11.3.2)где время релаксации τ = RC.График этой зависимости представлен на рисунке 11.2 б.Ответ: U c (t ) = U 0 e −t RC .Замечание. Режим зарядки и разрядки конденсатора можно получить, если вместо источника постоянного напряжения и ключа ис-360ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпользовать генератор прямоугольного импульса(рис.11.3 б):E(t) = 0 при t < 0, t > Tи;напряженияE(t) = E0 при 0 < t < Tи.Здесь длительность импульса должна быть намного большевремени релаксации (Tи >> τ ), чтобы за время действия импульсанапряжение на конденсаторе практически сравнялось с его стационарным значением E0.Задача 11.3.3 (базовая задача).
Резистор R, катушка индуктивности L и генератор напряжения E соединены последовательно(последовательная RL-цепь, рис.11.3 а). Определить зависимостьнапряжения на резисторе от времени, если напряжение генератораменяется со временем по закону, показанному на рис. 11.3б:E(t) = 0 при t < 0, t > Tи;E(t) = E0 при 0 < t < Tи.Рис.11.3а. Схема к расчёту переходных процессов в последовательной RL-цепи (задача11.3.3)Рис.11.3б. Сигнал, формируемыйгенератором прямоугольных импульсов напряженияРис.
11.3в Зависимость напряженияна резисторе от времени в последовательной RL-цепи (задача 11.3.3)При решении считать, что при t < 0 сила тока в цепи равна нулю, а время релаксации существенно меньше длительности импульса (τ << Tи).Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.361РешениеИнтервал 0 < t < TиИспользуя второе правило Кирхгофа (11.8) запишемU R + U L = E0 .Так как все элементы цепи соединены последовательно, силатока на всех участках цепи одинаковаI (t ) = I R = I L .Согласно выражениям (11.1) и (11.4)dI L dU RUR = R IR , U L = L =.dt R dtВыберем в качестве исследуемой величины напряжение на резисторе UR.
Используя записанные выше соотношения, получимуравнение цепи:L dU RUR += E0 .R dtПриведём это уравнение к стандартному виду (11.9)dU R R+ (U R − E0 ) = 0 .dtLСила тока в цепи не может измениться скачком, следовательно,начальное условие можно записать в виде U R (0) = 0 .В соответствии с (11.10) решением полученного уравнения будет функцияU R (t ) = E0 (1 − e −t τ ) ,где время релаксации τ = R L . График этой зависимости представлен на рис. 11.3 в.Интервал t ≥ TиРассуждая аналогично первой части данной задачи, запишемуравнение цепи для этого промежутка времениdU R R+ UR = 0 .dtLТак как согласно условию Tи >> τ, то при t = Tи напряжение нарезисторе можно считать равным U R (Tи ) = E0 (1 − e −Tи τ ) ≈ E0 .362ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
