Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 108
Текст из файла (страница 108)
(1О1 1) В и едшествующем пзрагр аграфе мы для упрощения записи предполагали, б а ю тзк, чтобы она совпадала с направлением что направпение оси е вы рано тз , воины. Приступая к рассмотреник> совокупности нескольких волн разлиггногг> направления (падающей, отраженной н преломленной), мы, очевидно, должны ° ". г предварнтепьно обобщить формулы предыдущего параграфа на случай про- г« извольного направления осей коорди- й у '<у нат. Пусть направление волны совпадзет с направлением единичного вектора и, образующего с осями координат Рис.
84 к, <б г углы и, (), у (рнс. 84). В системе декартовых координат к', г>', г', ось г' по ание- которой совпадает с п, <рзз , 'р . з этой волны и точке Р должна, соглас» ур нию (!00 6), определяться выражением о>г' — йв', где г' есть координата точк т чки Р. Этз координата равна проекции радиуса- вектора точки Р нз направление и осн г'; стало бить, е = п9 = к соз а+ (у соз р + а сов 7 101.2) где к, у, г суть д,, координаты той же точки Р в исходной системе коо дннат. авненне (!00.5), получим искомые выражения векторов по. поля Внося это в уравнение ., По ап зеленин и: плоскои волны, зс , рзспространякицейся в произвольном напр. вл Е Е ег<и! Йню Н вЂ” Я е<(ьк — авк) (101 3) ое со тветств клцих где Ео н Но суть постоянные комплексные амплитуды соот . у векторов.
" и ист пим к ешенню на- 2. После этих подготовительных замечаний присту р меченной задачи. Пусть плоская волна (101.3), распространяк>щаяся в сре- 1 анлснии и, падает на плоскую поверхность раздела сред н '. олжна будет, очевидно, распро- П слс проникновения в среду 2 волна эта должна осле (о, = =о ) н, как мы увидим, вообще говоря, страняться с иной скоростью о, = -о> н, к в ином направлении, ие совпадаю>цем с и. ля оп еделения ампл и фазы этой, так называемой преломленной волны достаточно вий пот ебовать выполнения на поверхн<>сти раздела по ' потре ов и в хп 9!. П и этом оказываетсн, что условия эти могут перечнслснных нами т ° .
рп быть удовлетворены лишь в том случае, если допустить сущ с третьей, так называемой отраженной вол<, р р р <ы, асп ост аняющейся в той ж среде 1, как и воина падаю>из , ю зя, однако в направлении от поверхности разделаа.
аю ей волны через Е и Н, Обозначим комплексные векторы поля нада щ Е' Н' и, наконец, волны преломленной >срез волны отраженной <и рез ' и ' и, ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМЛГНИТНОЕ ПОЛЕ и !и!) ОТРЛЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 30! )гл чн Е н Н и положим, согласно уравнению (!О!.3), что Екн На аналогичных выражений для Н, Н' и Н" выпис б волны распространяютсн в среде 1, так ч о р ру писывать не удем. Пе вы р е две поля в этой среде будет равна к что езультирующая нап я ряженность Е, =Е+ Е', тогда как поле в среде 2 будет равно Ев Рассмотрим какое-либо из пограничных условий на нове хности дела, например условие (1Г) непрерыв вектора Е.
В рассматриваемом случае Оно примет вид ности тангенциальных слагаю щих Е<+ Ее =а, т. е Емв ' """'+ Ещв'(" "" ") =-ЕГв ("а а"а"). <в' а а . (101.4) Для того чтобы по лобного рода условие могло выполняться при любом значении времени 1, необходимо прежде всего, чтобы (101.6) о> = о>г = е>а.
Действительно, условие (101.4) имеет внд вгик + Ьв' г' = се<"а', де а, Ь н с от времени не зависят. Дифференцируя это равенство по 1, получим о>ае'"к+ о>,Ьв'"" = о> св'иа'; <сключая из двух последних уравнений сг™а', получим а (и> — «>а) в = Ь (а>а — и>,) е "'<, <то может иметь место лишь при <о=<о,. Ис ю< р = о,. сключая же из приведенных рав- <ений в "о, убедимся, что <о=ы,. Стало быт, д ":. а' ть, Действит<.'льнО <о = о>, = <иа, < р внии и преломлении. . е. частого волны не изменяется ври ег >триж Совершенно аналогичным образом можно убедиться, что <иться равенства о у едиться, что должны выпол- (101.6) йпй' =- й,п„й' = йап 1(', де К' — произвольный вектор, лежащий в плоскости а , р у - тор ч произвольной точки поверхности раз >редставлен в виде т р вдела может быть Й= йо+ й', 'де К' лежит в плоскости раздела сред, а Ко — ади с-ве >роизвольно фиксированной т и <ичное условие може б иной точки этой поверхности.
Сл р .. С ьдовательно, погражет ыть представлено н вндс ага <авя Ьг <а " я г -<2 и я' В гг =ВР аа' соз !1, = соз 6а =- 0 й соз = й, оза,=- йа сова . Первое из этих уравнений означает, что направления отраженной и врвлоялгнной волн п, и пс лежат в плоскости хг, т. е.
в Рис. ЗЗ плоскости пхидениу< волна<'). Примем теперь во внимание, что падающая и отраженная волны распространяк>тся в среде 1, а преломленная -- в среде 2 и что, стало быть, согласно уравнениям (!00.6) н (101.5), ' м <и <и = — й.= — =й, й =— в,' '< о< вв Следовательно, предшествующее уравнение может быть записано следующим образом: ! — сова= — — сова, = — сова . и< в> вв (101.7) Из этих равенств следует, во-первых, что 2) а,=а.
Вводя, как обычно, углы падения и отражения 0 и О, (как явствует из рнс. 85, О=я<<2 — а и О<=-л/2 — а,), можем сказать, что угол пи<)гния 0 равен углу отражения О,, Далее, так как сов а и сов а< имеют одинаковые знаки, то направления падаюшей и преломленной волн должны лежать в одном и том же квадранте плоскости хг (рис. 85). ) Плоскостью ила<ноя, как известно, на>инва<си илоскость, ирохонюаан через иа<п>а>.
лени<' иахакннсй волны и <срс> нормаль к иогранич>ю,"> иоверхиосги. » Так как, ио оирсдслеиию, значение наврав.>я<свито угла н< может ииевии>ап л. г> осмеинс и.:.Зл о ог><власе. где величины а', Ь' и с' от координат вектора Й' не зависит-. Дальнейшее доказательство равенства (101.6) протекает вполне аналогично доказательству равенства (101.5) . 3. Для дальнейших вычислений удобно перейти к координатным выражениям.
Пусть ось г перпендикулярна плоскости раздела сред 1 и 2. Тогда лежащий в этой плоскости вектор К' будет перпендикулярен оси г и уравнение (101.6) на основании уравнения (101.2) можно будет записать так. й (х соз а+ у соз р) =- й, (х соз а, + <у соз 6,) == йа (х соз аа+ у соз 6а), где х и у — компоненты вектора Й', а а, !>; а„(й; аа, 6л суть соответственно углы векторов п, и, и па с осями х и у. Для упрощения записи выберем оси к и у так, чтобы направление распространения падающей волны п лежало в плоскости хг (рис. 85). В этом случае иг сов 6=-0. Так как приведенное уравнение должно выполняться во всех точках плоскости раздела, т. е. прн любых значениях х и у, то из него непосредственно следует: еят й !.и! ОГРДЖЕНПГ Р! ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОлп ВЬВ ПЕРГМЕННОЕ ЭЛЕЬТ!'ОЛЗДГННТНОЕ ПОЛЕ 392 !ГЛ.
Уп Введя укол преломления Ои=п/2 — гхи и заметив, что соз а=з!п 0 и совал=э!ПОа, получим из уравнения (101.7): 1 . 1 — з!ПО= — з!ПО, оэ или ') м е (101.8) зй! Ое оз Таким образом, отношение синусов углов падения и преломления есть величина постоянная, зависящая лишь от свойств граничащих сред г' и 2. Отношение это, которое мы обозначим через пни как известно, называется показателем преломления среды 2 относительно среды Е На основании уравнения (! О!. ! ) Можем написать: о, в, )2 (101.9) 4, Итак, из одного лиш» факта существования на границе двух сред линейных условий типа (!01.4) непосредственно следуют все геометрические законы преломления и отражения электромагнитных волн, совпадающие с соответствующими законами для волн световых.
Более же детальное рассмотрение этих пограничных условий позволяет определить соотношение между квадратами амплитуд волны падающей и воли отраженной и преломленной. Эти соотношения оказываются тождественными с так называемыми формулами Френеля. определяющими сравнительную интенсивность Отраженного и преломленного света в зависимости от коэффициента преломления, угла падения и поляризации падающего света. Этот вывод подтвсрждаемых опытом формул Френеля из общих положений электродинамики является одним из важней)пих доказательств электромагнитной природы света, Ие имея возможности приводить его здесь полностью, мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, а именно случая нормального падения плоской волны на поверхность раздела диэлектриков «=О.
Всякая плоская монохроматическая волна может быть разложена на совокупность двух линейно поляризованных волн, которые можно рассматривать порознь. Пусть электрический вектор пада!ошей волны направлен по оси гп Е = Еое!!ыг-йв) х— Ер — — Е =-О. 1 Напомиизь что. каь известии из злемеитариого курса оптики, ири г~/г = и,г . ! ппрсдепясгшэй ураВИСИИСМ (!О!.З) ттгш ПрЕЛОМЛЕНИя Ое ИРИИИМаСГ ВЕШССЗВЕИИЫС ЗНаЧЕНИИ ЛИШЬ а том случке, если угол оадеаия!) ие крезы!илст так иазывасмого угла виутреииего отражсиия Ф, оирез)слисмого урависиием з)и Ф = ей!па= л~з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
