Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 25
Текст из файла (страница 25)
6 6.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (6.23) Хг.в = О, т. е. дивергенция полл В всюду риони нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе иет), а электрические токи. Закон (6.23) является фундаментальным: ои справедлив не только для постоянных, на и для переменных магнитных полей. Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяюшей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к плошади 5, ограниченной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу орн 5 О, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором п нормали к плоскости ионтура, причем направление п связано с направлением обхода па контуру правилом правого винта. Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали п к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом го1 В. Таким образом, $вб! !'ип = (го1 В)„ з о (6.24] !46 Дивергенция поля В. Теорема Гаусса (6.!4) для поля В в дифференциальной форме имеет вид е, е„ е, 47 Х В = д/дх д/ду д/дг, В„ В„ В, (6.26) где е,, ею е, — орты осей декартовых коордиаат.
Данное выражение справедливо для ротора не толька поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е. Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора В. Согласна (6.24) уравнение (6.17) можно представить в виде (~) вен рпп, = рр)„ 5 р или(т7 Х В)„= Ррг„.Отсюда тгХ В=и) (6.26) Зто и есть дифференциальная форма теоремы о цирнуляцни вектора В.
Видко, что ротор поля В совпадает по нацравлению с вектором )— плотностью тока в данной точке, а модуль з7 Х В равен Нр/. В электростатическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтому (6.27) Векторное пале, ротор ° которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является с о л е н о и. да л ь н ы м. Значит, электростатическое лале есть понг логенпиальнае, магнитное же лоле — саленаидальное. $6.6. СИЛА АМПЕРА Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являюшегося носителем тока (электроны в металле, например) равна р. 146 где справа стоит проекция вектора го1 В на нормаль и. Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор го1 В, направление и модуль которога связаны со свойствами самого поля в данной точне. Направление вектора го1 В определяется тем направлением нормали п площадки 5, при катарам дастнгаетсн наксимальног значение величины (6,24), явлгпошеесн одновременно модулем вектора го1 В. В математике получают выражение для го( В в координатном представлении, Для наших целей важао другое: оказывается, формально го1 В можно рассматривать как векторное праизнеленне оператора т7 на вектор В, т.
е. как т7 Х В. Мы будем пользоваться последним, более удобным обозначением: оно сразу жс позволяет записать векторное произведение тг Х В с помощью определителя: Выделим мысленно элемент объема д(т проводника. В ием находится заряд — носитель тока, равный р д)т. Тогда сила, действующая на элемент д)/ проводника, может быть записана по формуле (6.!) в виде вт = р(ив) ~'. Так как ! = рп, то (6.26) Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8) ! д)т= 1 д! н (6.29) где д! — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника. Формулы (6.28) и (6.29) выражают з а к о н А м п ер а.
Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным илн линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называютамперовыми или силами Ампера, Пример.
Сила взаимодействия параллельных токов. Найти амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме дви параллельнык бесконечно длиннык провода с токами 1, и /ь если расстояние между проводами равно Ь. Расчет сила произведем на единицу длины втой системы. Каждый элемент тока /з находится в магнитном поле тока /и а именно в поле В, = ()св/4п) 21,/Ь согласно (6.)9).
Угол между элементом тока /з н вектором В, прямой, поэтому, как следует из формулы (6.29), на единицу длины проводника с током /з действует сила Р,„ = /зВ,, нлн и, 2// (6.30) 4п Ь Для силы, действующей нз единицу длины проводника с током 1,, получается, разумеется, то же выражение. И последнее.
Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому, если говорить о пол- !4т ной силе взаимодействия между проводами, то оиа может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, деиствующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (6.29) как Г = 1 ф [61, В1, (в.зц р =15п, (в.зэ) где ! — ток; 5 — плошадь, ограниченная контуром; п — нормаль к контуру, наРхс 8.11 ПраВЛЕНИЕ КОтпрОй СВяЗаНО С НаПраВЛЕНИ- ем тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.!1).
В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом р . Довольно кропотливый расчет по формуле (6.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле: дВ и=р '" дл' (8.33) 148 где интегрирование проводится по данному контуру с током й Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести нз-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла 1)1 61.
Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов и1, поэтому он равен нулю. Значит, и Г = О, т. е. срезультирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (6.31), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы.
Такой контур с током называют элементарным. Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента р. Пооп- ределению где р„— модуль магнитного момента контура; дВ/див производная вектора В по направлению нормали и или по направлению вектора р . Последнее выражение аналогично (1.39) для силы, действующий на электрический диполь в электрическом поле.
Из формулы (6.33) видно, что, как и в случае электрического диполя: !) в однородном магнитном поле Г=О, ибо дВ/дл=О; 2) направление вектора Г, вообще говоря, не совпадает ни с вектором В, ни с вектором р ; вектор Г совпадает лишь с направлением элементарного лриращения вектора В, взятого в направлении вектора р в месте расположения контура. Сказанное иллюстрирует рис. б,12, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока /,.
Здесь же показан и вектор результирующей силы Г, которая действует на контур в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так). 4~ р И вЂ” — О~ Г=д Рис, б.!3 Рис. бд2 Если нас интересует проекция силы Г на некоторое направление Х, то достаточно записать выражение (б,33) в проекциях на это направление, и мы получим дВ, Р =р дл ' где дВ„/дл — производная соответствующей проекции вектора В опять же по направлению нормали и к контуру (нли по р ). Пример. Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент р, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор р г49 в направлении вектора В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
