Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, задача предусматривает прежде всего вычисление магнитной индукции В внутри сплошного провода на расстоянии г от его оси. Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем 2лгВ= Рьягт/, откуда В = '/трьг!1 Последнее равенство можно представить с помощью рис. 6.20 в векторной форме: В = '/тР„()г).
Представив теперь по этой формуле Вь и В', из выражения (1) найдем их разность: Рь . Рь, Рь В = — (!г) — — (!г') = — (), г — г'). 2 2 2 Рнс. 6.2! Рис. 6.20 Из рис. 6.21 видно, что г = ! + г', откуда г — г' = 1 и / Рь1)1). Таким образом, в нашем случае магнитное поле В в полости является однородным, и если ток течет к нам (рис. 6.2!), то поле В направлено в плоскости этого рисунка вверх. ° 6.6. Принцип суперпозиции. Имеется длинньгй соленоид с током И Площадь поперечного сечения соленоида 5, чисйо витков на единицу длины и. Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида. Р е ш е н и е.
Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен Ф. Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет Ф + Ф = Фь, где Фь — поток сквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торца. Тогда ф = Фа/2 = ц,п75/2. Попутно следует обратить внимание на следующие особенности поля В у торца длинного соленоида.
1. Линии вектора В расположены так, как показано на рис. 6.22. Это нетрудно понять с помощью принципа суперпозиции: если приставить справа еще такой же соленоид, поле В вне образованного таким образом составного соленоида должно обратиться в нуль, а зто возможно только при указанной на рисунке конфигурации поля. 2. Из того же принципа суперпозицни следует, что нормальная составляющая В„будет одинакова по плошади торца, ибо при образовании составного соленоида В„ + В„ = Вь, где Вь — поле внутри соленоида вдали от его торцов.
В центре торца В = В„, и мы получаем, что В = Вь/2. ° 6.6. Поле соленоида. Иамоткой длинного соленоида с радиусом сечения а служит тонкая лента-проводник шириной Ь, намотанная в один слой практически вплотную. Вдоль ленты течет постоянный ток Е Иайти магнитное поле В внутри и вне соленоида как функцию расстояния г от его оси. в, Рис. 6.23 Рис, 6.22 167 Р е ш е н и е.
Вектор линейной плотности тока 1 можно представить в виде суммы двух составляющих; 1= 1з +!!О смысл векторов 1з и 1! ясен из рис. 6.23, б. В нашем случае модули этих векторов можно найти с помощью рис. 6.23, а по формулам: -О 1 — » = з/Ю» ~ — ~ /2, г, с! — — ! з!и и = !/2ла. Магнитная индукцня В внутри соленоида определяется согласно (6.20) величиной!„, а вне соленоида — величиной гб «-,.-у,ч«/ -ы ! В, = д,! а/г = р,!/2лт (г) а), где при вычислении В, вне соленоида была использована теорема о циркуляции: 2лгВ„= ре2лш~,. Таким образом, представив ток в соленоиде в виде супер- позиции «поперечной» и «продольной» составляющих, мы пришли к выводу, что внутри такого соленоида существует только продольная составляющая поля В, а вне соленоида— только поперечная (как от прямого тока).
Кроме того, если уменьшить ширину ленты, оставляя неизменной плотность тока, то при й -» О сила тока ! — О, но !/й = = сопз1. В этом случае остается только поле внутри соленоида — соленоид становится «идеальным». ° 6.7. Взаимодействие параллельных проводников. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одного конца на сопротивление В, а с другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Радиус сечения каждого провода в т! = 20 раз меньше расстояния между осями проводов. При каком значении сопротивления )7 результирующая сила взаимодействия проводов обратится в нуль? Р е ш е н и е. На каждом из проводов (протекает по ним ток или нет) имсютсл избыточные поверхностные заряды (рис.
6.24). Поэтому кроме магнитной силы Рч необходимо учесть и электрическую /н Пусть на единицу длины провода приходится избыточный заряд Х. Тогда электрическая сила, действующая на единицу длины провода со стороны другого провода, может быть найдена с помощью теоремы Гаусса: ! 2Х 27« Е, =хе4 и — — = 4лть ! 4ле !' где ! — расстояние между осями проводов.
Магнитную же силу, 158 действуюшую также на единицу длины провода, можно найти с помошью теоремы о циркуляции вектора В; Р„= (И,/4п) 2/'/1, где / — сила тока в проводе. Заметим, что обе силы— Рис. 6.24 электрическая и магнитная— направлены в противоположные стороны. Электрическая сила обусловливает притяжение проводов, магнитная — их отталкивание. Найдем отношение этих сил: Р /Р = таво/ /1' Между величинами ! и Л существует определенная связь (см, задачу 2.8): пе, Лл Си= — и, ! 1п и (2) где и = И. Поэтому из соотношения (2) следует, что 1/Л = 1и я/пе„н. (з) После подстановки (3) в (1) получим Ра 1и'71 Р,=; "у (4) Результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, когда последнее отношение равно единице.
Это будет при Й = до где Нэ 1пи — — = 3600м. Ч еэ Если )т ()те, то г"„) г, — провода отталкиваются, если же И) )4е, то Р„(гь — провода притягиваются, Это можно наблюдать на опыте. Таким образом, утверждение, что провода, по которым текут токи противоположного направления, отталкиваются, справедливо тогда, когда электрической частью взаимодействия можно пренебречь, т.
е. при достаточно малом сопротивлении Я в схеме (6,24). Кроме того, измерив силу взаимодействия между проводами с током (а сила всегда измеряется как результнруюшаи), мы не можем, вообще говоря, определить силу тока / Это необходимо иметь в виду во избежание недоразумений. ° 6.8. Момент сил Ампера. В поле длинного прямого провода с током /е находится контур с током ! (рис.
6 25). Ллоскость контура перпендикулярна прямому проводу. Найти момент сил Ампера, действующий на этот контур. Необходимые раэмерьг системы указаны на рисунке. Р е щ е н и е. Силы Ампера, действующие на криволинейные участки контура, равны нулю. Силы же, действующие на прямолинейные участки, создают пару сил. Момент этой пары сил нам и надо вычислить. Выделим два малых элемента контура (рис.
6.26). Из рисунка видно, что момент соответствующей нм пары сил дМ = 2к(и ~р дР, (() гзе элементарная сила Ампера дР =! д(В. (2) Зависимость магнитной индукции В от расстояния г до прямого провода находим с помощью теоремы о циркуляции; В = Рр//2пг. (3) Теперь подставим (3) в (2), затем (2) в (!) и, учитывая, что д( = дг и к = г сов у, проинтегрируем полученное выраже.
ние по г от а до Ь. В результате найдем М =(рр/я) 1/р(Ь вЂ” а) Мп р, причем вектор М направлен влево (рис. 6.26). /г Рис. б.25 Ркс. 6.26 ° 6,9. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент р, находится на оси кругового витка радиусом Н, по которому течет ток А Найти силу Г, действующую на катушку, если ее расстояние от центра витка равно А а вектор р ориентирован, как показано на рис. 6.27. Р е щ е н и е. Искомая сила согласно (6,33) определяется так: Г = р дВ/дп, где  — магнитная нндукция поля, создаваемого витком в месте нахождения качущки. Выберем ось У в направлении вектора р, тогда проекция () ) на зту ось будет иметь вид Р,= р дВ,/дг р дВ/дг, 160 где учтено, что при заданном направлении тока в витке В, = В.
Магнитная индукция В определяется формулой (6.12), откуда дВ 3 Ро)г 11 2(1'+ Р')"' Вследствие того что дВ/дг(О, проекция силы Е, -О, т. е. вектор Г направлен в сторону витка с током А В векторном виде полученный результат можно представить так: 8 Н,й '11 Г= —— мт р 2(1'+ й') Заметим, что если бы вектор рн (а значит, и ось Е) был направлен в противоположную сторону, то В, = — В и дВ,/дз ) О, а следовательно, р, ) О и вектор Г был бы направлен вправо, т. е, опять против вектора р . Таким образом, полученное выражение для Г справедливо для обеих ориентаций вектора р .
° 6.10. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиусом Я течет ток !. Какое давление испытывают стенки цилиндра? 8 81 Рн — — —;М. Рнс. 6.29 Рис. 6.28 Рис. 6.27 Р е ш е н и е. Рассмотрим поверхностный элемент тока 1 65, где ! — линейная плотность тока, 65 — элемент поверхности. Найдем связь между поверхностным и объемным элемеитамн тока: /6Р = )ба ° бб 61=165. Смысл входящих сюда величин пояснен на рис.
6.28. В векторном виде ! бр= 165. Сила Ампера, действующая иа поверхностный элемент 1 — 30 161 тока, в этом случае определяется формулой, полученной из (6.28) путем замены (1): бг = ()В'] бб, (2) где В' — магнитная индукция поля в месте нахождения данного элемента тока от всех других элементов тома, исключая данный. Чтобы найти В', поступим аналогично тому, как это было сделано для электрической силы ($2.3). Пусть В, — магнитная индукция поля, создаваемого самим поверхностным элементом тока в точках, очень близких к его поверхности (см.
рис. 6.29, где предполагается, что ток течет от нас) . Согласно (6.22) В, = '/эре!. Д,алее, воспользовавнзнсь теоремои о циркуляции вектора В и соображениями симметрии, легко установить, что магнитная индукция поля снаружи цилиндра у его поверхности В = П~!/2иР, (3) а внутри цилиндра поле отсутствует. Последнее означает, что поле В' от всех остальных элементов тока в двух очень близких к поверхности цилиндра точках ! и 2 (см. рис. 6.29) должно быть одинаково и удовлетворять следуюптим условиям внутри и вне поверхности цилиндра: В' = В; и В = В'+ В, = 2В'. Отсюда следует, что В' = В/2.
(4) Подставив этот результат в (2), получим следующее выражение для искомого давления: аг , 2В' , В' р = — =!В' = — В' = —. д5 и, 2и„' Учитывая (3), найдем окончательно Р = ро! /8ц (( Из формулы (2) видно, что цилиндр испытывает боковое сжатие. ГЛАВА 7 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ й 7.1. НАМАГНИЧЕНИЕ ВЕЩЕСТВА, НАМАГНИЧЕННОСТЬ ! Поле в магнетике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
