Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 23
Текст из файла (страница 23)
полк в Сила Лоренца. Опыт показывает, что сила Г, действующая на точечный заряд д, зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости т. Соответственно этому силу Г разделяют на две составляющие — электрическую Г, (она не зависит от движения заряда) и магнитную Г„ (она зависит от скорости заряда). В любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости т заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору т; кроме того, в любом месте магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению. Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие м а г н и т н о г о и о л я, Характеризуя это поле вектором В, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде (в.Н Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд д: Ее называют с и л о й Л о р е н ц а.
Последнее выражение является универсальным: оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических магнитных полей, причем при любых значениях скорости ч заряда. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и направления векторов Е и В. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и ~зз поступили)*, Следует подчеркнуть, что на покоящийся элекгричес. кий заряд магнитное поле не действует. В этом сущест. венное отличие магнитного поля от электрического. Маг.
нитное поле действует только на движущийся заряд. Вектор В характеризует силовое действие магнитногс поля на движущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом вектора Е, характеризующего силовое действие электрического поля. Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом яе совершает. Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движу.
щейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась. В нерелятивистском приближсннн сила Лоренца (6.2), как и любая другая сила, не зависит от выбора системы отсчета (ннерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной систелзы отсчета к другой (из-за у). Поэтому должна меняться и электрическая составляющая г)Е.
Отсюда следует, что разделение полной силы à — силы Лоренца — на электрическую н магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла. Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле В точечного заряда г), движущегося с постоянной нерелятнвистской скоростью н. Этот закон записывается в видев* рп 4 (тг) в=— 4п гз (бга) где )ьо магнитная постоянная; коэффициент и,/4л = )О ' Гн!м; " Разработан ряд способов нзмерення поля В, но все онн, в ко.
вечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежат уравнение (6.2). ьв Формула (6.3) справедлнва н в случае, когда заряд движется с ускореннем, однако только на достаточно малых расстояниях г от заряда (малых настолько, что за время г/с скорость ч заряда заметно не меняется). г — радиус-вектор, проведенный от заряда д к точке наблюдения. Конец радиуса-вектора г неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью ч (рис.
6.1), поэтому вектор В в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени. В соответствии с формулой (6.3) вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы ч и г, причем вращение вокруг вектора ч в направлении вектора В образует с направлением и правовинтовую систему (рнс. 6.!). Отметим, что вектор В является аксиальным (пссвдовектором) . Величину В называю~ магнитной индукцией.
Единицей магнитной индукции служит т е сл а (Тл). Электрическое поле точечного заряда а, движущегося с нерелятнвистской скоростью, описывается тем же законом (!.2). Поэтому выражение (6.3) можно представить как В = ь сил ) чЕ) = ) чЕ)/ст, (ал) где с — электродинамическая постоянн а я (с = 1/ь~ ль)сь), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное). Пример. Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивньях точечных эиряда с) движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью ч, как показано на рис. 6.2.
Пойти отношенье магнитной Еч и электрической Р, сил, действуюи)их, например, со стороны заряда ! на заряд 2. Ркс. ц! Ркс. 6.2 Согласно (6.2) Е„= дсВ и Г., =- у!.', гле о — скорость заряда 2, а В и Š— индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом ! в месте нахождения заряда 2. Отношение Г„/Г, = иВ/Е. В нашем случае согласно (6.4) В = »Е/с~, поэтому Р„/Р, = (и/с) . (6.6) Даже для достаточно больших скоростей, например с = = 300 км/с, это отношение равно 1О ~, т, е, магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе. Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины. Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, н там эта «поправка» к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (6.5) справедливо н при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметров э в секунду, и отношение (о/с) ж 1О ". Ничтожная поправка к электрической силе! Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически в с я действующая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 1О ", и «ничтожная» магнитная сила оказывается, по существу, единственной.
А участие громадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена. Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
$6«Ь ЗАКОН БИΠ— САВАРА Принцип суперпозиция. Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности: (6.6) Закон Био — Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами.
Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо д заряд р бУ, где дУ вЂ” элементарный объем, р— объемная плотность заряда, являюшегося носителем тока, и учтем, что ру =) согласно (5.2). Тогда формула (6.3) приобретет следующий вид: 1'о [)г) дк 4л го (вд) Если же ток 7 течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения Л5, то 1 дУ = )лз д! = ! ш, где 61 — элемент длины провода. Введя вектор д! в направлении тока 1, перепишем предыдущее равенство так: 1 4 У = 1 о(1. (6.8) Векторы ) бУ и ! 61 называют соответственно о б ъ е мным и линейным элементами тока. Произведя в формуле (6.7) замену объемного элемента тока на линейный, получим дв=— 1'о 1) 41, г) 44п го (6.9) Формулы (6.7) н (6.9) выражают з а ко н Б и о — С а- вара.
Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (6.7) или (6.9) по всем элементам тока: (влв) Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию, Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока. Пример 1. Магнитное поле прямого тока, т е.
тока, теку- Ню 14!сова 4В=— 4л Из рисунка видно, что о! соз а= г ю)а и г = Ь/соь а. Поэтому. Н ю ! соз а да дВ =— 4я Ь Интегрируя последнее выражение по вссм элементам тока, что эквивалентно интегрированию по а от — и/2 до п/2, находим Ню 2! В = — —.
4л Ь' (6.11) Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока. 1.1а рис 6.4 показан вектор йВ от элемента тока ! 61, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов дВ, и легко сообразить, что результирующий вектор В в точке А будет направлен вверх по оси 2. Это значит, что для нахождения модуля вектора В достаточно сложить проекции векторов дВ на ось У.
)хаждая такая проекция имсст вид », !6! 4В, = ЬВ соз й = — — соз 6, 4л г' где учтено, что угол между элементом 61 и радиусом-вектором г равен и/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выражение по всем о! (это даст 2лю2) н учитывая, что аВ,В Рнс. 6.3 Рнс. 6.4 138 щего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 6.3). Согласно (6.9) в произвольной точке А векторы йВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение вскторов оВ можно заменить сложснием их модулей 6В, причем 2! 1/2 соз р = й)г и г = ~г + й ), получаем Ьь 2лй'! (г+ Я2) ! !6.! 2) Отсюда следует, что в центре витка с током (г = 0) и иа рас- стоянии г >) й модуль вектора В равен Ьа 2л! Ро 2лЯЧ В, = — —, В, ж — —.
4л Я ' *ил 4л лз (6.13) 4 6.3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами, Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магнитного поля. Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте. Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций. А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса н теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: ф Вез=о. 139 Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой и постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью 5, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именнек поток вектора В сквозь поверхность 5, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы по- веркности Я. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность 5, ограниченную данным контуром (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
