Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть площадь сечения провода равна 5, причем 5 может быть и не одинаковой по длине провода, Разделим уравнение (5.11) на а, полученное выражение умножим скалярно на элемент оси провода д), взятый по направлению от сечения ! к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2: 2 2 2 ~ 1 = ~ ц 51 + ~ в 51. ! ! (5.12) (влз) Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: заменим о на 1/р и )б) на !об!, где !',— проекция вектора 1 на направление вектора б). Далее учтем, что 1, — величина алгебраическая; она зависит от того, как направлен вектор ! па отношению к д1: если 1)( г(1, то ),) О, если же 1(( с$1, то )л(0.
И последнее, заменим ), на !/3, где ! — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и ),). Поскольку для постоянного тока ! одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим Выражение р д!/5 определяет не что иное, как сопротивление участка цепи длиной д1, а интеграл от этого выражения — полное сопротивление !! участка цепи между сечениями 1 и 2. ~ Теперь обратимся к правой части (5.12). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов р, — фг, а второй интеграл представляет собой э л е к т р о д в и ж ущ у ю с и л у (э. д. с.) ат, действующую на данном участке цепи: Ва=$ Е вп (5.! 4) Эта величина, как и сила тока 1, является алгебраической: если э.
д. с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то У,т) О, если же препятствует, то Уш ( О. После всех указанных преобразований уравнение (5.12) будет иметь следующий вид: (5л 5) Это уравнение выражает и н т е г р а л ь н у ю ф о рму закона Ома — для неоднородного участка цепи в отличие от уравнения (5.1!), представляющего тот же закон в локальной форме.
Пример. рассмотрим участок цепи, показанный на рис. 5.2. Сопротивление отлична от нуля только ни отрезке й. На нижней части рисунка представлен ход потенциала ф вдоль данного участка. Выясним, что здесь происходит. Из того факта, что потенциал на отрезке !! уменьшается слева направо, следует, что 1) О, т. е. ток течет в положительном направлении (от 1 к 2). В данном случае чь ( ут, но ток течет от точки 1 к точке 2 — в сторону большего значения потенциала. Это возможно лишь потому, что на данном участке имеется э, д.
с. У, действующая в положительном направлении (от 1 к 2). Вернемся к (5.15). Из этого уравнения следует, что для замкнутой цепи точки ! и 2 совпадают, ф, = фе и оно приобретает более простой вид: Я1= У, (5лв) где !с представляет собой уже полное сопротивление замкнутой цепи, а У вЂ” алгебраическую сумму отдельных э. д. с.
в данной цепи. Далее представим себе участок цепи, содержащий 116 сам источник э. д. с.,— между его клеммами ! и г. Тогда в уравнении (5.15) для выбранного нами участка В— это внутреннее сопротивление источника, а разность потенциалов на его клеммах. Если источник разомкнут, то Т = О и У= !р, — ~р и т.
е. э. д. с. источника можно определить как разность потенциалов на его клеммах в разомкнутом состоянии. Разность потенциалов на клеммах данного источника э. д. с., замкнутого на внешнее сопротивление, всегда меньше его э. д. с. Она зависит от внешней нагрузки. Пример. Внешнее сопротивление цепи в Ч раз больше внутреннего сопротивления источника. Найти отношение разности потенциалов на клеммах источника к его э. д. с. Пусть В; — внутреннее сопротивление источника, а Н,— внешнее сопротивление цепи. Согласно (5.15) ц~е — ц~, = У вЂ” Н/, согласно же (5.16) (Н, + Я,) 1 = !Г.
Из этих двух уравнений получим % Ч! нт и и. Ч я я,+я. я,+я. !+ч' †! †! Отсюда видно, что чем больше тн тем больше приближается разность потенциалов иа клеммах источника к его э. д. с., и наоборот. В заключение полезно привести наглядную картину, позволяюшую лучше уяснить, что происходит в замкнутой цепи постоянного тока.
На рис. 5.3 показано 2 А 8 Рис. 5.2 Рис 5.3 распределение потенциала р вдоль замкнутой цепи, содержащей источник э. д. с. на участке АВ. Потенциал цз для наглядности отложен вдоль образующих цилиндрической поверхности, которая опирается на контур с током. Точки А и В соответствуют положительной и отрицательной клеммам источника Из рисунка видно, что процесс протекания тока можно представить себе так: положительные заряды-носители «соскальзывают» по наклонному «желобу» от точки !Эд к точке сьи — по внешнему участку цепи, внутри же источника «подняться» от точки ссэ к точке с(!л им помогают сторонние силы, обозначенные стрелкой.
5 54. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа — оно относится к узлам цепи, т. е. к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ~ А=о. При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков, например: первые — положительными, вторые — отрицательными (или наоборот — зто не существенно).
Применительно к рис. 5.4 уравнение (5.17) запишется так: 7,-7,+7»=О. (5.17) т л' 7 Рис. 5.4 Рис. 5.5 Уравнение (5.!7) является следствием условия стационарности (5.7); если бы зто было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными. Второе правило Кирхгофа — оио относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивленип равна алгебраической сумме э.
д. с., действующих в этом контуре: Для доказательства этого правила достаточно рас. смотреть случай, когда выделенный контур состоит из трех участков (рис. 5.5). Зададим направление обхода, например, по часовой стрелке, как показано на рисунке. Затем применим к каждому из трех участков закон Ома (5.15): 7я,=т,— ч,+и. 2~~2 Ч'3 % + вс 7зяи = % % + ®и Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциалов к формуле (5.18), т. е. ко второму правилу Кирхгофа. Таким образом, уравнение (5.18) является следствием закона Ома для неоднородных участков цепи. Составление системы уравнений.
Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные токи. Уравнений (5.17) и (5.18) надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других: 1) если в разветвленной цепи имеется Л/ узлов, то независимые уравнения типа (5.17) можно составить лишь для И вЂ” 1 узлов; уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих; Рис. 5.7 Рис. 5.6 2) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (5.18) можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных.
Например, для цепи (рис. 5.6) такие уравнения для контуров !24 и 234 будут независимыми. Уравнение же для контура 7234 является следствием двух 119 предыдущих. Можно составить независимые уравнения для двух других контуров, например для контуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух первых. Число независимых уравнений типа (5.!8) оказывается равным наименьшему числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры.
Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных проводниками, если схему удастся, изобразить на плоскости без пересечений. Например, для цепи (рис. 5.7), содержащей четыре узла, надо составить три уравнения типа (5.17) и три уравнения типа (5.18), ибо минимальное число разрывов (они помечены крестиками), нарушающее все контуры, равно трем (трем равно и число областей). Если неизвестными являются токи, то их число равно шести — по числу отдельных участков между узлами, что соответствует числу независимых уравнений.
При составлении уравнений типа (5.17) и (5.18) необходимо поступать так. 1. Обозначить стрелками предположительные направления токов, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если в результате вычисления окажется, что такой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицательным, то его истинное направление противоположно направлению стрелки. 2.
Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении, например по ча- 7 совой стрелке. Если предположитель- Я( ное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением об- е хода, то соответствующее слагаемое И в уравнении (5.18) надо брать со знаком плюс, если же эти направления противоположны, то со знаком минус. Аналогично следует поступать и с У; если какая-то э. д. с, У повышает потенциал в направлении обхода, ее надо брать со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
Пример. Найти силу тока и его направление через сопротивление й в схеме (рнс. 5.8). Все сопротивленин и э. д. с. предполагаются известными, Здесь три участка, следовательно, три неизвестных тока 1, 1, и 1, Обозначим стрелками (не задумываясь) нх предположительные направления (у правого узла). Цепь содержит М = 2 узла. Значит, независимых уравнений типа (5.17) только одно; !+1 +/,=0. Теперь составим уравнения типа (5.!8) — их должно быть два (по числу областей). Возьмем контур, содержащий 11 и 11о и контур с )1 и )(э.
Выбрав направление обхода каждого контура по часовой стрелке, запишем — и+1,я,= — я,, — и+1,й,=у2. Полезно убедиться, что соответствующее уравнение для контура, содержащего )(, и )ам является следствием этих двух. Решив систему написанных трех уравнений, получим — л, У, + к.„.с, кк,+ли, +Щ' Если после подстановки числовых значений окажется, что I)0, то это значит, что в действительности ток течет так, как мы предположили на рис. 5.8, если же 1(О, то в противоположном направлении.
$ З.З. ЗАКОН ДЖОУЛЯ вЂ” ЛЕНЦА С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача — найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая, которые мы и рассмотрим последовательно,— однородный н неоднородный участки цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохранения энергии и закон Ома. Однородный участок цепи. Пусть интересующий иас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5,9). Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время 51.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
