Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Проницаемость диэлектрика е. Найти: !) поверкностную плотность связаннык зарядов как функцию расстояния г от точечного заряда д, исследовать полученный результат; 2) суммарный связанный заряд на поверкности диэлектрика. Р е ш е н и е. 1. Воспользуемся непрерывностью нормальной составляющей вектора 0 на границе диэлектрика (рис. 3.17): Ры = Ры, Ео„= еЕы или 1 д а' ! 1 а а' х — — — соь О+ — = е — — — саь Š—— 4к ее то йео ( 4кео то 2ео/ где слагаемое а'/2ео — зто составляющая напряженности поля, создаваемая вблизи рассматриваемого участка плоскости, на котором поверхностная плотность заряда равна а'.
Из последнего уравнения следует, что е — 1 а! о' = — — —. с+ 1 2яг' Здесь учтено, что соь 6= !/г. При 1-ь0 величина а'-ь0, т. е. если заряд е) находится на самой границе раздела, то поверх- 85 постный заряд на плоскости отсутствует. 2. Рассмотрим тонкое кольцо иа границе раздела с центром в точке О (рис. 3.17). Пусть внутренний и внешний радиусы этого кольца г' и г'+ йг'. Поверхностный связанный заряд в пределах данного кольца до' = о' ° 2яг' дг'. Из рисунка видно, что г = 1 + г', откуда г дг = г' дг', и выражение для до' с учетом (1) приобретет вид е — ! йг йд' = — — д! —.
е+! д Проинтегрировав это уравнение по г от ! до оь, получим г — 1 в' = — — ч. е+ ! Отсюда сразу видно, что о'=О. Итак, в данном слуг!еле Р чае поверхностный связанный заряд отсутствует Рвс. 3.!8 (кроме точек, непосредственно прилегающих к точечному стороннему заряду о).
Значит, электрическое поле в окружающем пространстве — это поле точечного заряда г) + о', и Е зависит только от расстояния г до этого заряда. Но заряд д' нам не известен, поэтому воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Р. Взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г с центром в точке нахождения заряда о, запишем 2п!гггь + 2я~ 1! ймеЕ где Рь и 0 — модули вектора Р соответственно в вакууме и диэлектрике на расстоянии г от заряда о. Кроме того, из условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е следует, что 1Э = г!Эо. е 3.10. Точечный заряд д находится на плоскости, отделяющей вакуум ог безграничного однородного диэлектрика с пронииаемостью а. Найти модуль векторов Р и Е во всем пространстве. Р е ш е н и е.
В данном случае из условия непрерывности нормальной составляющей вектора Р следует, что Е „ = гЕ,„. Вклад в нормальную составляющую вектора Е будет давать только поверхностный заряд о' вблизи интересующей нас точки, поэтому предыдущее равенство можно переписать так: о'/2г = е( — о'/2е) . Из последних двух условий находим, что 2п 1! + 4) И ' 2л (1 + е) И н напряженность электрического поля во всем пространстве оо Е= — = ер 2л(1+ 4) е,~' Видно.
что при е =! этн. формулы переходят в известные нам выражения для 1) н Е точечного заряда в вакууме, Полученные результаты графически представлены на рнс. З.18. Следует обратить внимание на то, что поле Р в данном случае определяется не только сторонними зарядами 1нначе оно имело бы внд поля точечного заряда). Глава 4 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 1 4.!. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ Энергетический подход к взаимодействию. Энергетический подход к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность.
Прежде всего мы выясним, как можно прийти к понятию о энергии взаимодействия системы зарядов. 1. Сначала рассмотрим систему из д в у х точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил Г, и Г„с которыми эти заряды взаимодействуют.
Пусть в некоторой К-системе отсчета за время б1 заряды совершили перемещения д1, и б)е Тогда соответствующая работа этих сил бА, =Г,41,+Г,й!е Учитывая, что Г,= — Г, 1'по третьему закону Ньютона), перепишем предыдущее выражение: бл,л — — Г,(д!, — 41,), В7 Величина в скобках — это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда ) в К'-системе отсчета„жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ннм поступательно по отношению к исходной К-системе. Действительно, перемещение 61! заряда 1 в К-системе может быть представлено как перемещение 612 К'-системы плюс перемещение г(1, заряда 2 относительно этой К'-снстемы: 61! = 612+01,. Отсюда 2)1! — 2112 = 61, и 22 ! !' Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной К-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится.
Иначе говоря, работа 6А22 не зависит от выбора исходной К-системы отсчета. Сила г2, действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении д1, может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда ) в поле заряда 2 нли как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов: бл22 = — 48222, где 9722 — величина, зависящая только от расстояния между этими зарядами.
2. Теперь перейдем к системе нз т р е х точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т.
е, 6А = 6А,,+ 6А,, + 6А„. Но для каждой пары взаимодействий, как только что было показано, 6А „= — 21)17„, поэтому б( 82и + 8223+ 8223) где Ч7 — энергия взаимодействия данной системы зарядов, 22 + 23 + 23' Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия )1г 88 данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.
Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии )е' и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфигурации равна убыли энергии Ф'. 6А = — ся'. (4А) Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии Ф'. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что Ю'= Ф ш + Ф м + В г3 Преобразуем эту сумму следующим образом.
Представим каждое слагаемое )Р'„в симметричном виде: )Р'е = /г ()Р'„+ Те'„), поскольку )т'„= Й'гт Тогда Н(ко+ Км+ ати+ вы+ Вта+ ))т32)' Сгруппируем члены с одинаковыми первыми нндексамн: /2 [( Вти + ага) + ( ))та + ям) + ( В ы + ям)1 Каждая сумма в кругль|х скобках — это энергия Ф', взаимодействия йго заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так: з Ж' = '!2( ат, + ат, + Ф'ь) = '/2 ~' )рг Обобщение полученного выражения на систему из произвольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно 9 не зависят от числа зарядов, составляющих систему.
Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов Вт='у,~ атг (4.2) Имея в виду, что )Р', = дхсь где и, — дй заряд системы; гр, — потенциал, создаваемый в месте нахождения Риа 4А ( го заряда всеми о с т а л ь н ы м и зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов: (4.3) Пример. Четыре одинаковых точечных заряда д находятся в вершинах тетраздра с ребром а (рис. 4А). Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна йг, = Ч /4леэа. Всего таких взаимодействующих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы йг = 6ВГ, = 64'/4ае а.
Иной подход к решению этого вопроса основан иа использовании формулы (4.3). Потенциал ф в месте нахождения одного нэ зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов, равен ~р = ЗЧ/4леаа. Поэтому 4 ! ! 64г Н'= — чрй = — 4чт = — —. 2 '' 2 4ла„а ' ! 1 Полная энергия взаимодействия.
Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов дЧ = р !ПАВ и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем [4.4) где ф — потенциал, создаваемын всеми зарядами системы в элементе объемом с('р'. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить р на о и йр на цЯ. Можно ошибочно подумать (н это часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) — зто только видоизмененное выражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенном заряде. В действительности это ие так — оба выражения отличаются по своему с о д е р ж а н и ю.
Происхождение этого различия— в разном смысле потенциала ф, входящего в оба выражения„что лучше всего пояснить на следующем примере. Пусть система состоит из двух шариков, имеющих заряды Ч, и Ч,. Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды Ч, и Ч, можно считать точечными.
Найдем энергию ))т данной системы с помощью обеих формул. Согласно формуле (4.3) /э(Ч~Ч! + Чэчр) = ЧЛ~ = Чэтэ где, !р, — потенциал, создаваемый зарядом Ч, в месте 90 нахождения заряда д,; аналогичный смысл имеет и потенциал грь Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы р о'г' и каждый из них умножить на потенциал ~Р, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда э т о г о шарика. Ясно, что результат будет совершенно другим, а именно: (4.5) ~~ + (Р2 + зги где ((у, — энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; ()7, — то же, но для второго шарика; Чг„— энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
