Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Этот вектор равен дипольному моменту единицы объема иешества. Есть еше два полезных представления вектора Р. Пусть в объеме Л(г содержится ЛУ диполей. Умномгим и разделим правую часть выражения (3.2) на ЛЛ'. Тогда можно записать Р=п (р), (3.3) где п = ЛМ/Л(г — концентрация молекул (их число в единице объема); (р) = (~р,)/ЛМ вЂ” средний дипольный момент одной молекулы. Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем Л(г внутри диэлектрика. При возникновении поляризации входящий в этот объем положительный заряд р+Л'г' сместится относительно отрицательного заряда на величину !, и эти заряды приобретуг дипольный момент Лр=р+ЛУ Е Разделив обе части этого равенства на ЛГ, получим выражение для дипольного момента единицы объема, т.
е. вектор Р: (3.4) Единицей поляризованности Р является кулон н а к в а д р а т н ы й м е т р (Кл/м'). Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то Р=ее Е, (3.5) где х — безразмерная величина, называемая д и эл е ктрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда х) О. В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем иметь в виду только изотропные диэлектрики, для которых справедливо соотношение (3.5). Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (3.5) не применимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты (см.
сноску на с. б3), а также с е г н от оэ л е кт р и к и. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значений Е (это явление называют г и с т е р е з и с о м). 3 З.З. СВОЙСТВА ПОЛЯ ВЕКТОРА Р Теорема Гаусса для поля вектора Р. Как мы сейчас покажем, поле вектора Р обладает следующим замечательным и важным свойством, Оказывается, поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность 5 равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью 5, т.
е. 1РЕЗ= — е.„„, (3.6) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р. Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность 5 охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется — положительные заряды сместятся относительно отрицательных.
Найдем заряд, который проходит через элемент д5 замкнутой поверхности 5 наружу (рис. 3.2, б). Пусть )ч и 1 — векторы, характеризующие смешения положительного и отрица- я тельного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности г)5 наружу поверх- у) а) ности 5 выйдет положительный заряд р ! г)5 Х Рис. 3.2 Х соз а, заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис.
3.2, б). Кроме того, через элемент 35 войдет внутрь поверхности 5 отрицательный заряд р ! Ю соз а, заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности 5 через элемент г(5, как г)д'= р+ (+ д5 сов а+)р ! 45 сова.
Поскольку)р ~ = р де'=р'+ (( „+( ) 35соза= р' (д5еоза, (35', где (= (, + ! — расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации. Далее, согласно (3.4) р' ! = Р и дд' = Р б5 соз а, или дд' = Р„35 Р 33.
(3.8', Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности 5, мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого поверхностью 5, он равен ()) Р д$. В результате внутри поверхности 5 останется некоторый избыточный связанный заряд г)'. Ясно, что вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности 5 избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6). дифференциальная форма уравнения (3.6). В дифференциальной форме ураипение (З.б) — теорема Гаусса для поля вектора Р— имев~ следующий вид: (3.9) т.
е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке, Это уравнение можно получить из (З.б) точно таким же путем, как и аналогичное уравнение ддя вектора Е (см. с. х!). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на Р н р на р'. Когда в диэлектрике р' = О? Как мы сейчас покажем, объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (р = О).
Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на хеоЕ согласно (3.5), вынести х из-под знака интеграла и записать н$ еаЕ оз = — Ч'. Оставшийся интеграл есть нс что иное, как алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных— внутри рассматриваемой замкнутой поверхности 5, т.
е. д+ т)'. Поэтому х (д+ д') = — д', откуда (3.)0) Это соотношение между избыточным связанным зарядом д' и сторонним зарядом д справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда д'- с)д'=р' с)'г' и д- дд=р д)т. Тогда (3.10) после сокращения на д)т примет вид р' - — р. (зл !) !+к Отсюда следует, что в однородном диэлектрике р'=О, если р = О. Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный нзотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.
Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью о' связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для этого воспользуемся свойст- вом (3.6) поля вектора Р.
Возь- л чем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский ци- а дМ линдр, торцы которого расположим по разные стороны границы 1 раздела (рис. 3.3) . Высоту цилиндра будем предполагать ни- та' чтожно малой, а площадь Л5 каждого торца настолько малой, Рис. 3.3 что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности а' связанного заряда).
Пусть п — общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор и от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6): Ры Л5 + Р,„,ЬБ = — а' Ь5, где Р,„и Рьс — проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль и и в диэлектрике 1 на нормаль п' (рис. 3.3).
Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль п' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль и, т. е, Р;„,= — Рои перепишем предыдущее уравнение после сокращения на Л5 в следующем виде: Ры — Ры = — а'. (3.12) Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит от а'. В частности, если среда 2 вакуум, то Ры = О, и условие (3.12) приобретает более простой вид: а'= Р„ (3.13) где Є— проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика.
Знак проекции Р„определяет и знак поверхностного связанного заряда а' в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать: а' = иииЕ„ (3.14) где Е„ — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) иа внешнюю нормаль. Здесь также знак Е „определяет знак а'. и > $3еи ВЕКТОР 0 Теорема Гаусса для поля вектора О.
Поскольку источниками поля Е являются все электрические зарнды— сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так: Едз(4+4)рр (3.13) где д и д' — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью Я. Появление связанных зарядов р7' усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии.
Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды е)', которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е. Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд д' через поток вектора Р по формуле (3.6), Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду: С)Р ( е„Е + Р) д 3 = д,„„,. (3.13) Величину, стояшую под интегралом в скобках, обозна- чают буквой О. Итак, мы нашли вспомогательный вектор 0: (3.17) 0=е Е+Р, поток которого сквозь произвольную замкнутую поверх- ность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью: е и ф О33=4,„е„.
(здв) Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Г!оле вектора Р, как н поле Е, зависит от в с е х зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы Р и Е связаны друг с другом соотношением Р = хе,Е.
Связанные заряды определяют не поле вектора Р, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность 5. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность 5. Это утверждение называют т е о р е м о й Г а у с с а для поля вектора О. Заметим, что вектор 0 представляет собой сумму двух совершенно различных величин: е,Е и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла.
Однако свойство поля вектора 0, выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках*, Соотношения (3.17) и (3.!8) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. Как видно из выражения (3,17), размерность вектора 0 та же, что и вектора Р. Единицей величины 0 служит кулон на квадратный метр (Кл/м') . Дифференциальная форма уравнения (3,18): (3.19) т. е, дивергенция поля вектора 0 равна объемнон плотности стороннего заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) тем же спсобом, как это было проделано в случае поля Е (см. с. 21!. Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на 0 и учесть лишь сторонние заряды.
В тех точках, где дивергенция 0 положительна, мы имеем н с т о чн и к и поля 0 (р ) О), а в тех точках, где она отрицательна, — с т ок и поля 0(р ( О). Связь между векторами 0 и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р = и в,Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим 0 = е, (! + н) Е, или 0 = е,еЕ. (3.20) где е — диэлектрическая проницаемость вещества; в = 1 + х. (3.21) Диэлектрическая проницаемость и (как и х) является основной электрической характеристикой диэлектрика, Для всех веществ в) 1, для вакуума е = 1. Значения в зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик).
Большое значение и имеет вода (и = 81). Величину 0 часто называют электрическим смешением или электрической индукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектор а О. 71 Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор 0 коллцпеарен вектору Е, В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора 0 наглядно можно изобразить с помощью линий вектора О, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
