Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если сила тока в проводнике равна 1, то за время б1 через каждое сечение проводника пройРг дет заряд бд 1б1. В частности, такой заряд дд войдет внутрь Рис. 5.9 участка через сечение 1 н такой же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда дд от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы гр, и Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля ьА = дд (|р, — т,) = /(т, — т,) ш. Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается.
Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами-атомами. Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная работа 6А = 1,1 б1, где ф — теплота, выделяемая в единицу времени (тепловая мощность).
Из сравнения последнего равенства с предыдущим получаем 0= 9(т, — 9,). Атак как по закону Ома гр, — га,= Н, то (зл 9) Эта формула выражает известный з а ко н Д ж о ул я — Л е н ц а. Получим выражение этого закона в локальной форме, характеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору ) — плотности тока в данном месте. Пусть поперечное сечение цилиндрика о5, а его длина о1.
Тогда на основании закона Джоуля— Ленца в этом объеме за время г(1 выделяется количество теплоты яр ш (1 вя)-' ш,р зк ш рш д5 где 4)г= д5 б1 — объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на д(г б1, получим формулу, которая определя- ет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды,-- у д е л ь н у ю тепловую мощность тока; Ф„= ер цьхо1 Эта формула выражает з а к о н Д ж о у л я — Л е нца в локальной форме: удельнаятепловаямощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.
Уравнение (5 20) представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля — Ленца, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании закона Ома (5.10) 1), = 1Е = еЕ~. Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер, нежели (5.20). Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит источник э. д.
с., то на носители тока будут действовать не только электрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Проще всего в этом можно убедиться, умножив выражение (5.15) на Л яр = (ч) — ч.,) ! + вт. (5.22) Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощность СЕ; при наличии сторонних сил величина ьг определяется той же формулой (5.19), что и для однородного участка цепи.
Последнее же слагаемое справа представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. Заметим еще, что последняя величина (И) является алгебраической: в отличие от И' она изменяет знак при изменении направления тока Е Таким образом, уравнение (5.22) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками ! и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, т.
е. правую часть (5.22), называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока, Применив (5,22) ко всей неразветвленной цепи (тогда <р, = (р,), получим (5.23) т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил.
Значит, теплота производится только стороннимн силами. Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи. Получим теперь уравнение (5.22) в локальной форме. Для этого умножим обе части уравнения (5.11) на 1, а также учтем, что о= 1/р и р)'= Ям [см.
(5.20)). Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде (5.24) 4 5.6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПН С КОНДЕНСАТОРОМ О переходных процессах. Так называют процессы при переходе от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.
До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют к в а з и с т а ц и о н а рн ы м и (более точный критерий квазистационарности дан в э 11.1) . Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин.
А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи в этих процессах квази- стационарными. 124 Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление )т, то через него потечет ток. Пусть /, д, (/ — мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения). Считая ток I положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис, 5.10), запишем ! — дд/й.
Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление )с: Л1= и. Учитывая, что /= — дд/б( и (/= д/С, преобразуем предыдущее уравнение к виду дч ч — + — =о. ш лс (5.25) где дс — начальный заряд конденсатора, а т — постоянная, имеющая размерность времени: т= яи. (5.27) Эту постоянную называют в р е м е н е м р е л а к с ац и и. Из (5.25) видно, что т есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз. 1 Ю Рнс. 5 12 Рнс. 5.11 Рнс.
5.10 Продифференцировав (5.26) по времени, найдем закон изменения тока: 1= — — д= 1сс-ч, оч ,11 с (5.28) где 1с= дс/т — сила тока в момент(= О. 125 В атом дифференциальном уравнении переменные разделяются, н после интегрирования мы получим а=нее "', (5.28) На рис. 5.11 показан графин зависимости !! (!)— заряда на конденсаторе от времени. График зависимости ! (!) имеет такой же вид.
Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление !е и источник э, д, с. Ж (рис. 5.12). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент ! = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его. Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: ! = с(д/с(!. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку ! И~2: кг= Ф1 — Фс+ я где под )т понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.
д. с. Учитывая, что ! = 1)ч/ц! и ср, — ср, = = (/ = д/С, перепишем предыдущее уравнение в виде Гс 59 и — д/С д! я Разделение переменных дает Над я — д/с Рис, 5.13 Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (!! = 0 прн ! = 0), получим Яс1 (! — ~ ) = — !. откуда д=д (1 — е ч'). (5.291 Здесь д = 5'С вЂ” предельное значение заряда на конденсаторе (при ! - о ), т = )сС. Закон изменения тока со временем г= — =!е н', 59 о (5.30) где !, = и/!с.
125 Графики зависимостей //(1) и 1(1) показаны на рис. 5.! 3. Задачи ° 5РЕ Сопротивление проводнщей среды. Металлический шар радиусом а окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиусом Ь. 1/ространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопропгвлением р. Найти сопротивление межэлектродного промежутка.
Р е ш е н и е, Выделим мысленно тонкий сферический слой между радиусами г и г + дг. Линии тока во всех точках этого слоя идут перпендикулярно ему, поэтому такой слой можно рассматривать как цилиндрический проводник длиной дг с площадью поперечного сечения 4пг . Воспользовавшись формулой (5.9), запишем йг й// = и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
