Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Выберем положительное направление оси Х, как показано на рис. 6.13. Так как в направлении вектора р,„ приращение проекции В„ будет отрицательным, та Р„ ( О. Значит, вектор Г направлен влево — в сторону, где В больше. Если же контур с током (и вектор р ) повернуть на 90' так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля В, то в этом положении Е„ = О, а вектор Р будет направлен перпендикулярно осн Х, причем в ту же сторону, что и р . 6 6,7. МОМЕНТ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА КОНТУР С ТОКОМ Рассмотрим плоский контур с током Т в о д н о р о ди о м магнитном поле В.
Выше (см. с. 148) мы выяснили, что результирующая сила (6.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так, можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае.
По определению, результирующий момент амперовых сил М=ф [г,бр), (6.36) где г(Г дается формулой (6.29). Если провести расчет по формуле (6.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как (6.36) где р — магнитный момент контура с током (для плоского контура р = 15п) и, Из (6.36) видно, что момент М амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как вектору р, так и вектору В.
Модуль вектора М равен М = рмВ 3!и а, где а — угол между векторами р и В. В тех случаях, когда рмТТ В, " Если виток не плоский, то его магнитный момент р =!)66, гпе интеграл берется по поверхности 3, натянутой на контур с током. Этот ннтеграл не зависят от выбора поверхности 3, а зависит только от контура, на который она натянута. 1бо момент сил М = О, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если р,„(1.
В, то тоже М = О, но такое положение контура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от начального положения. Пример. Убедимся в справедливости формулы (6.36) иа простейшем случае примоуголыюго контура с током (рис. 6.! 4). Как видно из данного рисунка, силы, действующие иа сто.
роны а, перпендикулярны им и вектору В, поэтому эти силы направлены горизонтально (па рисунке оии ие показаны) и стремится только растянуть (или сжать) контур. Стороны Ь перпендикулярны В, поэтому иа каждую из иих действует сила Р = 1ЬВ. Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор р,„ оказался сопаправлеипым с вектором В. Стало быть, иа контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары а з)п гг на Ь', т. е. М = !ЬВа Мп и. Учитывая, что аЬ вЂ” это площадь, ограиичеииаи копгуроа, и!Ьа = р,„, получим М=Р„,В51пя, что в векторной форме записывается Г как (6.36). Рис. б 14 В заключение необходимо отметить, что выражение (6.36) справедливо н для неоднородных магнитных полей.
Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент М можно пренебречь. Именно это относится к элементарному контуру с током. Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как н электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором р ТТ В) и, кроме того, под действием результирующей силы Г втягиваться туда, где индукции В больше. 4 6.8. РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ КОНТУРА С ТОКОМ Когда контур с током находится во внешнем магнит- 151 ном и поле — мы будем предполагать, что оно постоянное, — — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы прн элементарном перемещении контура с током !, определяется как (6.37) ЬА = 16Ф, где ЙФ вЂ” приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в трн этапа. ! . Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.15) с подвижной перемычкой длины 1 находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.29) действует амперова сила Е= ПВ. При перемещении перемычки вправо на дх эта сила совершает положительную работу ВА = Г 6х = / В! 6х = ГВ 65, (взв) где с)5 — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнитного потока Ф условцмся всегда брать нормаль и к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рнс. 6.15), При этом ток У будет всегда величиной положительной. l Поток же Ф может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Ф, В,п так и дФ = В с)5 являются величинами положительными (еслн бы поле В было направлено на Рис, б.гв нас илн перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях дФ = 0). Как бы то нн было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: В = В „+ В,+ + В „. Составляющая В, — вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая „— вдоль перемещения — дает силу, перпендикулярную перемещению, рабо- ты она не совершает. Остается лишь составляющая „— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка.
Поэтому в формуле (6.38) вместо В надо брать только В„. Но В„65= дФ, и мы опять приходим к формуле (6.37). 3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобьем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение 6А = ! д'Ф для элементарной работы, где под б'Ф надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (6.37), где дФ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения ! до конечного 2, достаточно проинтегрировать выраженяе (6.37): А=5 )ЕФ 1 (в.зэ) Если при этом перемещении поддерживать ток ! постоянным, то А =!(Ф, — Ф), (вло) 153 где Ф, и Ф, — магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.40) дает не только величину, но и знак совершаемой работы. Пример. Плоский контур с током ! поворачивают в магнитном поле В из положения, при котором нормаль к контуру и )т В, в положение, при котором и т) В (напоминаем, что направление нормали п связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна 5. Иайти работу амперовык сил при указанном перемещении, считая, что ток ! поддерживается постоянным. Согласно (6.40) А = /! В5 — (- В5)) = 2/В5. В данном случае работа А)0, при обратном же повороте Л(0 Следует отметить, что работа (6.40) совершается не за с !с! энергии внешнего магнитного поля (оно не меняется), а за счс! источника э. д, с., поддерживающего ток в контуре. (Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.) Задачи ° 6.1.
Непосредственный расчет индукции В. Ток / тече~ по тонкому проводнику, изогнутому, как показано ни рис. 6.16. Найти магнитную индукцию В в тоске О. /!еобходимые диннь!е указань! на рисунке. Р е ш е н и е. Искомая величина В = В + В„, где В магнитное поле от прямолинейного участка контура; В., — от его криволинейной части. Согласно закону Био †.Савара (см пример ! па с.
!37) и,/ соз а йа и,/ В =-2~ — = — !до, 4ли соз о„2ла о д, /(2. — 2,) о П„/ — = — (л — ь,) . 4л ас 2ла В результате В =(л — о, + !П а) Пь/!2ла. Полезно убедиться, что прн ао — ь0 мы приходим к известному вы раже нию (6. ! 3) . ° 6.2. Тонкий провод с идол!и!ией образует плоскую спираль ссз большого числа Лl плотно располозкеннь!к витков, по Рис. б.!7 Рис б,!б которым течет постоннный ток!. Радиугь! внутреннего и внешнего витков равны а и Ь (рис.
6.17). Найти: 1) магнитную индукцию В в центре спирали — точке О; 2) магнитный момент 164 а от всех витков В=~ В, ЬМ, (2) где дй! — число витков в интервале(г, г+ дг), дЛ' = — аг. Ы Ь вЂ” а (3) После подстановки (1) и (3) в (2) и последующего интегрирования по г от а до Ь получим ивВУ Ь В= 1и —. 2(Ь вЂ” а) а' 2. Магнитный момент одного витка радиуса г есть р, = = тяге, а всех ни~кое р,„= ~ р, дйГ, где й)У определяется формулой (3). Интегрирование дает втаб Ьь — а1 и/Ь! р.= ' ' = (й+аь+ й). ь — а 3 3 ° 6.3.
Ток г' течет по длинному прямому проводнику, имеющему форму желоба с поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом !2 (рис. 6.!8). Найти магии~кую индукцию В на оси О. Р е ш е н и е. Прегкде всего выясним, куда направлен вектор В в точке О. Для этого мысленно разобьем весь проводник на элементарные нити с током аг'. Тогда, ясно, что любые две симметричные нити дадут н сумме вектор ЙВ, направленный вправо (рис.
6.19). Значит, туда же будет направлен н вектор В. 0 В Рве, б !9 Рвс. 6 !8 в точке О достатгюпо векторов дВ от каждой Поэтому для нахождения поля В найти сумму проекций элементарных нити тока на направление вектора В: В = ~ йВ Мп у, 1Ьб спирали при данном токе. Р е ш е н и е 1. Вклад в магнитную индукцию от одного витка радиуса г равен согласно (6.13) В, = и!/2г, (1) Согласно (6.11) ВВ = Р, в//2нй, где б/=(//и) <Ьр (см. рис. 6.19). После подстановки (2) в (!) получим Рьт г Рь! В= — ~ з!пейг= —. 2птй клу ь ° 6.4. Теорема о циркуляции В и принцип суперпозицни.
Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние 1. Но проводу течет постоянный ток плотности ). Найти магнитную индукцию В внутри полости. Р е ш е н и е. Искомую величину можяо представить согласно принципу суперпозиция как В= — В', (!) где Вь — магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а В' — магнитная иидукция поля в той же точке от тока, текущего по части провода, которую мы удалили, образовав полость круглого сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
