Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 80
Текст из файла (страница 80)
3. ПолагаЯ в (52,6) й, = (2п/У.) 5(п 3, ды, = (2Я/А) 51П б, р = 2л/д, получим с((5!п б,д — 51п 3) = тХ, (52.8) т. е. основную-формулу дифракционной решетки. Однако в полученном 'решении содержатся и новые результаты. Во-первых, весь спектр за решеткой состоит из одних только главных максимумов, никаких второстепенных максимумов нет. Это, конечно, объясняется тем, что полученные результаты относятся к неограниченной решетке. Во-вторых, в формулу (52.5), наряду с однородными, входят и неоднородные волны, а потому она определяет волновое поле на любых расстояниях от решетки, а не только в волновой зоне, как было в случае формулы (46.2).
При нормальном падении света наивысший порядок однородных волн т определяется условием т ~ д/).. При т ) с(/), составляющая д, мнимая. Соответствующая неоднородная волна экспопенциально затухает по закону ехр( — к г), где К„, = )/"/5 а „вЂ” ~" ),стг (С(/7„)х. (52.9) На расстоянии г =- 1/н амплитуда волны убывает в е раз, ее квадрат — в е' раз. Наибольшее из этих расстояний порядка д.
Поэтому при г ~ д поле за решеткой состоит только из однородных волн. В частности, если д ( Х, то при нормальном падении поле вдали от решетки состоит только из одной плоской волны нулевого порядка (т = О). Никаких боковых дифракционных максимумов не появляется, Исследование прошедшей или отраженной волны при г~ с, или практически на расстояниях г > 7, не АВ Ея рх' — ~Р даст никакой информации о структуре решетки. Рассматривая решетку в микроскоп, мы не обнаружим на ней штрихов. По той же причине свет, распространяющийся в прозрачной среде, например в кристалле, не отклоняется в стороны, хотя среда и построена из дискретных атомов или молекул — кристалл является периодической структурой и в этом смысле может рассматриваться как днфракционная решетка (фактически наблюдаемое рассеяние света вызывается неоднородностями среды и тепловыми флуктуациями).
.В оптическом отношении кристалл ведет себя как однородная ззв диФРхкция сВетА ~гл. !ч сплошная среда. Причина этого в том, что период молекулярной структуры кристалла меньше длины волны. Но как только нарушится зтп условие, появятся дифракционные максимумы. Возникнет интерференционное рассеяние волн. Такой случай реализуется в рентгеновской области спектра. 4.
В непосредственной близи от решетки волновое поле имеет очень сложный вид. На расстояниях г>) 1Ъ„поле становится более простым, поскольку из него выпадают неоднородные волны. Однако картина поля все еще довольно сложна, так как однороднь~е волны, из которых оно состоит, накладываются друг на друга. Г1ри удалении от решетки на некоторое минимальное расстояние плоские волны различных порядков пространственно разделяются.
На сравнительно малых расстояниях от решетки к пространственно разделенным волнам различных порядков ьюжно применять геометрическую оптику. Направления на главные максимумы излучения определяются требованием, чтобы все волны, исходящие из различных щелей решетки, при интерференции усиливали друг друга. При этом явно или неявно всегда имеется в виду, что интерференция происходит либо в фокусе собирающей лйнзы, либо на бесконечном расстоянии от решетки.
Однако, поскольку дифрагированное поле всюду представляется суперпозицией плоских волн, условие интерференционного усиления определяет также направление распространения таких плоских волн на любых расстояниях от решетки, 5. Если в разложении пропускаемости Р в ряд Фурье отсутствует какой-либо член, то будет отсутствовать и главный максимум соогветствующего порядка в волновом поле за решеткой. Рассмотрим в качестве примера синуцоидальную решетку, называемую также решеткой Радея.
Ее пропускаемость определяется выражением 0=а+рсоа рх=а+ й (еч"+е-'~'") 2 с постоянными и, р и р. В этом случае световое поле за решеткой состоит из трех плоских однородных волн: неотклоненной волны (макснмум нулевого порядка) с амплитудой а, = аА и двух боковых максимумов первого порядка с амплитудами а, = а, = Ч, рА. Других главных максимумов не будет. Если поверхности тела придать форму синусоиды, амплитуда которой мала по сравнению с длиной волны, то такая поверхность приближенно будет вести себя как решетка Рэлея. Эго удалось сделать Вуду путем травления (примерно в течение 1О с) поверхности стеклянной дифракционной решетки слабым раствором фтористоводородной кислоты. Обычные стеклянные решетки дают очень слабые спектры, так как штрихи, нанесенные алмазом, узки по сравнению со светлыми промежутками между ними, Если штрихи расширить, смочив поверхность решетки а вв1 диФРАкция нА Решетке кдк кРАевля зАЕАчА 339 +»» ))(х)= ) С())е-гухлй (52.
1О) Пале на выходе решетки представится выражением +ш Е„,а=А ) С())е (." ) 4. Решение, удовлетворяющее этому и всем прочим условиям задачи, имеет вид Е = А ) С (1) е ге" с(й (52.! 1) где Чх = ах т й да — — О, а д, определяется прежними формулами (52.6а). Зададим теперь пропускаемость решетки выражением если — оз < х < — Е, если — Е < х <-ьй, О, +» Х р — Гжьх »»е (52.12) О(х)= если -1- Е < х <л-о». Вычисляя коэффициент Фурье С ()), получим +»» -1- »» С())= — 1 0(х)ег)хля = — т~ 0„' 1 г .
1 жз ап ~.(1 — тр) 2п 1 ч ?„- ) — Р Результате поле эа решеткой предстанится в виде Е=х Е„„ (52.13) слабой фтористоводородной кислотой, то удается достигнуть увеличения интенсивности спектров в несколько раз (до десяти). ' Возможны и такие структуры, которые формально могут рассматриваться как дифракционные решетки, дающие только один максимум. Примером может служить призма. Если на одну из боковых граней призмы падает плоская монохроматическая волна, то фаза волнового поля на выходе (на второй грани призмы) будет меняться с координатой по линейному закону, Соответствующее граничное условие удовлетворяется только одной уходящей плоской волной.
Это и есть волна, прошедшая через призму и отклоненная ею. Проблема отражение и преломления света на плоской границе раздела двух сред может решаться как краевая задача по методу Радея. При таком подходе плоская граница раздела ведет себя как дифракционная решетка, даюшая только один максимум. б. Ограниченная решетка может быть рассмотрена также методом Рэлея. В пределах решетки ее пропускаемость периодична, а вве обращается в нуль. Разложение пропускаемости в интеграл Фурье имеет внд 340 (гл.
1ч ДИФРАКЕО!Я СВЕТА где -1- СО А [' з(п Е() — тр) Ыг р, т= — О! м лД 0 ! — тр з(и[1)(12)()д — тзЛ еяг 1, (32 !4) (г( — 2т и По-прежнему волновое поле за решеткой складывается нз волн разли шых поряд- ков т. Однако волна Ет уже не сводится к единственной плоской волне определен. ного направления, а состоит из суперпозиции непрсрыаиозо лгномгсгпвп плоских волн различных направлений.
Распределение интенсивности по направлениям в отдельной волне Е,„ определяется той же кривой, что и в волне, дифрагиро- ваиной на щели (см. рис. !73). Интенсивность достигает максимума, когда знаме- натель обращается в нуль, т. е. когда г) . = Ьл+ тр =- О. Это условие определяет направление на главный максимум т-го порядка. В рассматриваемом случае з(п ((Аг!2) ([г) — 2ягп)[ Л' )г( — 2тл 2 ' а потому интенсивность волны Ет в главном максимуме пропорциональна (тч, Когда Мп [(И!2) ()г( — 2тл)) = О, ио (г( — 2тл ть О, интенсивность волны обРа- щается в нуль. Этим определяются направления на дифракционные ьгинимумы, число которых между двумя соседнимн главными максимумами равно Й вЂ” !.
Таким образом, получаются все результаты, найденные выше методом суммирова- ния волн, $53. Примеры на применение метода Рэлея Ниже предполагается, что период решетки значительно больше длины световой волны, так что пропускаемость 0 (х) можно вычислить в приближении геометрической оптики. 1. Начнем с плоской амплитудной решетки, состоящей из прогрзчвых щелей ширивы Ь и непрозрачных промежутков между ними ширины и.
В приблигкении геометрической оптики пропускаемость 0 (х) равна единице иа щели и нулю в про. лгежутках между ними. Начало координат поместим в середине щели. Тогда коэффициент Фурье 0т представится выражением + И!2 -г- Ьгз 0„= — ~ 0 (х) егтз" г(х= — [ егг'наг(х= — . ' (53.!) ! Р . ! р . ' ь ип (лть(г() чг = д ! г( лтЬ)г( — йгз — Ьгз При вычислении интенсивности дифрагировзнного пучка в принципе следовало бы учесть изменение его поперечного се гения из.за наклона и плоскости решетки. Однако зто было бы превышением точности, так как наши вычисления применимы лишь при малых углах дифракции, когда соз О = !.
В этом приближении относительная интенсивность т-го дифраиционного пучка ! = О,'„. (Интенсивность падагощей волны принята за единицу,) 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
