Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Действительно, если дл — угол падения центрального луча на решетку, а 6 — угол между соответствующим дифрагированным лучом н нормалью к ней (рис. 202), то юп 6, = Ьл)г„з]п 6 Ь,'г, и уравнение (51.7) принимаег вид >((з!п 6+ а!п 6,) = и тЛ, (61.9) такой >ке, что н при днфракции на плоской отражательной решетке.
Второе условие, (51.8), определяет расстояние г точки А от центра решетки О. Вместе с уравнением (51.9) оно, таким образом, однозначно определяет положение этой точки, если известно положение источника света Аэ. Используя соотношения ал = гл соз дл и а = г соз 6, уравнение (51.8) можно представить в виде соззде соз'6 спадь+осад р ПРн малых Углах дл и 6 полУчаетсЯ общеизвестное УРавпение вон>Утого зеРкала радиуса р. Таким образом, каково бы ни было положение исто шика света Ал, всегда существует такая точка А, в которой прнближеныо собираются дифрагиро.
ванные лучи. Однако можно достигнуть большей точности и простоты в установке решетки, а также лучшей резкости спектральных линий, если распорядиться выбором точки А„так, чтобы в выра>кении (51.4) исчезли члены второго порядка. а, а 1 Для этого должно быть — ', — — = О. Тогда, ввиду (51.8), будет — — — — О. Эти соотношения можно записать в ниде г> = аер, нли г, = р соз дэ! (51.11) >э=ар, илн Г =р сов 6. (51.12) Соотнопгеыие (б!.11) означает, что источник света должен лежать на окружности диаметра р, касающейся поверхности решетки в точке О.
Из (51.12) тогда следует, что днфрагированные лучи соберутся в точке А, лежа>цей на той же окружности. Эта окружность назыиае>ся «ругом Раулэнда. На рис. 202 опа изображена пунктиром. Угловая дисперсия решетки г!67>ГЛ = т!О] соз 6) не будет зависеть от угла 6, если спектры получаются при малых д вблизи д = О. Тогда соз 6 = 1, угол д будет линейной функцией длины волны, т.
е, получится нормальнь>й спектр. Поэтому ы обы шых условиях решетка устанавливается так, чтобы изучаемый спектр получался вблизи ее главной апти ес«ой оси. Большие ]ешеткн в первом порядке имеют разрешаю>пую способность около 200 000. Угловое расстояние между спектральными линиями, еше разрешаемыми реше~кой, составляет тбЛ((г! соз О) = п>Л)(Л>г) соз д), а линейное Ьл = — — — — —.
РЛ (51.!3) г( соз 6 ~) г] )7 Для аффективного использования разрепгающей способности решетки необходимо, чтобы величина Ьх была не меньше определенного предела. Положим Ах = 0,01 мм, >и = 1, Л> = 200 000, Л = 500 нм, >) = 1'600 мм, Тогда по предыдущей формуле найдем, что радиус кривизны решетки р должен быть не меньше =7 м, т. е. очень велик. 4. Вычисления, приведенные выше, применимы только к лучам, лежащим в плосности рисунка. Более подробное исследование показывает, что лучи, выходящие из этой плоскости, дают астигмагличггкиг изображению точечный источник, помещенный в А„изображается в виде отрезка, перпендикулярного к плоскости рисунка и проходящего через точку А. Астигматизм увеличивается ыо мере возрастания угла падения д„, т.е. с увеличением порядка спектра.
Когда источником света является щель, то наличие астигматизма недет к уменьшению резкости изображения и понижению разрешающей способности, если щель установлена ые совсем параллельно штрихам решетки, Поэтому ыеобходимо добивв>ься тща. 334 !гл, !ч диФРдкция сВетА ОА = — ь. ргл в (51.1 1! На стержне, связанном а рельсом ОАэ, можно нанести равномерную шкалу длин волн. Тогда длина волны, попадающей в центр поля зрения А, может быль отсчнтака непосредственво по этой шкале. 1!рн установке решетки по способу Роулэнда объем, занимаемый прнборамз, настолько велик, что в нем трудно поддерживать постоянство температуры, пеот.
водимое при длительных экспозициях. Кроме того, установка Роулэнда довольно дорога. По этим н по ряду других причин она примевяется редко. Пашепом, Мглом и др. были разработаны другие способы; с ними можно ознакомиться по спешшльным руководствам по технике спектроскопии. 5 52. Дифракция на решетке как краевая задача 1. В предыдущих параграфах волновое поле за решеткой вычислялосьь путем суммирования волн, исходящих от штрихов решетки.
Для некоторых целей более предпочтителен другой способ. Допустим сначала, что решетка бесконечна. Переднюю поверхность ее будем называть входом,,заднюю — выходом. Эта терминология применима и для отражательной решетки. Для нее входом и выходом служит одна и та же (передняя) поверхность, Без тютери общности можно рассуждать так, как если бы решетка была бесконечно тонкой. Примем плоскость решетки за координатную плоскость ХУ.
Ось Х направим перпендикулярно к штрихам, а ось Л вЂ” в сторону распространения дифрагированного света (рнс. 204). Как и раньше, тельной установки щели на параллельность штрихам решетки. По той же причине нельзя дела~ь штрихи решетки очень длинными. Обычно наносят короткие штрихи вдоль широких участков, в не стремятся покрьпь ими большую площадь, как и случае плоской решетки, не обладающей воти~магизмом. 5. Роулэнду принадлежит и теоретически наиболее совершенный способ установки днфракциоиной решетка, показанный на схематическом рис. 203.
Решетка ОэО и фотографическая камера устанавливаются на противоположных концах твердого стержня ОА, длина которого 6' равна радиусу кривизны решетки р. Они могут скользить вдоль взаимно перпендикулярных рельсов А,О и А,А на салазках, шарнирно соединенпых со стержнем ОА, Для достижения I лучшей отчетливости изображения фотопластннг ну Р,Р нзгнбают по округкности, совпадающей с кругом Роулэнда. 1Цель помещается в точке пересечения Аз направляющих рельсов, При фото. графироваиии спектров разных порядков, а так.
,и А сг '/ же различных участков одного н того же спек. — Аэ тра щель А, н источник света ь остаются нс. подвижными. Так как точки О, Аэ, А лежат на Рэ круге Роулэнда, то при надлежащем пологкения стерзкня ОА изображение щели А, получится в Р . 203. ис. точке А. Прн перемещении концов стерногя вдоль направляющих рельсов через точку А будут последовательно проходить фокусы различных данн волн в спектре рассматриваемого порядка. Так каи в установке Роу. лэнда б = О, то В ып бз = гпЛ. С дРУгой стоРоны, ОАз = Р з!п бэ КомбиниРУз вти две формулы, ггаьодим 5 521 ДИФРАКЦИЯ НА РЕШЕТКЕ КАК КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ззз отвлечемся от векторного характера волнового поля, считая его скалярным. Это всегда можно сделать, если электрический или магнитный вектор падающей волны параллелен штрихам решетки.
Надо только в первом случае световое поле характеризовать электрическим, а во втором — магнитным вектором. В общем случае падаюгцую волну можно разложить на две составляюшие, из которых одна поляризована в плоскости падения, а другая перпендикулярно к ней. Тогда задача о дифракцни волны сведется к двум — х Ж, Рис. Еось независимым задачам, отличающимся состоянием поляризации падающего света. Падающую волну представим в виде Е, = Аеы"'-А'>. (52 А) Полагая здесь г = О, найдем поле Е,„на входе решетки.
В силу линейности уравнений, определяющих распространение волн,суммарное поле прошедшей (отраженной) и дифрагированных воли на выходе можно представить в виде Е,„„ = 0Е,„. Коэффициент Р, вообще говоря, зависит от длины волны и называется пропускаемостью или амплитудной прозрачностью решетки. Это есть характеристика только самой решетки. Для двумерной решетки величина Р = 0 (х, у) есть функция двух координат, для одномерной— одной координаты: 0 = 0 (х). Задача о дифракции на всякой решетке сводится к нахождению амплитудной прозрачности последней. Действительно, знание этой величины позволяет определить поле на выходе решетки, а этого достаточно, чтобы по принципу Гюйгенса — Френеля вычислить поле дифрагированной волны.
Для нахождения самого решения, конечно, не обязательно пользоваться принципом Гюйгенса — Френеля, Достаточно найти решение волнового уравнения ЬЕ+и'Е = О, (52.2) 336 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА [Гл [ч которое в плоскости г = О переходило бы в функцию Е,„, (х, у) = = Р (х, у) Е„„(х, у) и удовлетворяло некоторым дополнительным требованиям, определяющимся физическими условиями задачи. Такай метод в литературе известен под названием метода Рэлел, хотя он и является только частным случаем общего метода краевых задач математической физики.
Здесь этот метод применяется к одномерной дифракцноиной решетке. 2. Поскольку для решетки Р есть периодическая функция х с периодом д, ее можно представить рядом Фурье Р— ~Х~ ~РŠ— [к1кк (р — ) (52. 3) Поэтому ы = -~-:ю Ек„, = РЕ,„= ~ АР,„Е"~ " Ч "Р"[.
(52 [) На это соотношение надо смотреть как на граничное условие, которому должно удовлетворять за решеткой решение уравнения (52,2). Частным решением этого уравнения является плоская волна Е =— = ае'< ' — ч', волновой вектор д которой удовлетворяет условию ~у' = й'.
Он может быть и вещественным (однородная волна), и комплексным (неоднородная волна). Суперпозицией таких решений можно получить общее решение: + сю Е= ~ а е'[ ' '""Р (52 5) Чтобы прн этом удовлетворить граничному условию (52.4), необходимо положить д„„=/г„+тр, с „=О: (52.6) к„, — — ~ [ т' — к„'„(52.6.) в которых квадратные корпи понимаются в арифметическом смысле. После этого волновые векторы д определяются однозначно, а для Тогда а,=)ккк — д,'„,.
Двузначность квадратного корня устраняется физическими соображениями. Вещественным значениям д„„ соответствуют однородные волны, которые могут только уходить о[п решетки, а не приходить к ней. Этому условию удовлетворяют только положительные значения а,. Мнимым соответствуют неоднородные волны. При удалении от решетки они могут только затухать. Поэтому коэффициент при мнимой части должен быть отрицательным. Таким образом, соотношение (52.6) надо г[ополнить условиями А 551 ДИФРЛКЦИЯ НА РЕШЕТКЕ КАК КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 337 поля на выходе можно написать +ьь Е,„„= ~ а е'("' ' .") Сравнение этого выражения с (52.4) дает а = А/у„„ (52. 7) чем и завершастся решение задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
