Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Так как теперь х и х' отрицательны, то сигнал достигнет точек О и О' в Р,р„а — „а ба а а' р' — *'р. и, „„.„,,р,. ' аа деления коэффициента 4 напишем /' — х'/с =- й (1 — х/с), а это есть первое соотношение рррр.)рр. В р . ба вой сигнал, распространяющий/рх/с С эх/с ся справа налево (рис. 330, б), Рис. 330. Пусть он достигает точки А в моменты ( и /' по часам в системах О и 5' соответственно. Через точки О и О' сигнал пройдет в моменты времени 1 + х/с и г' + х'/с, а потому 1' + х'/с = /с (/' — х'/с), т. е. получается и второе соотношение (105.10). Очень полезно рассмотреть все случаи взаимного расположения точек А, О, О' и убедиться, что во всех случаях справедливы соотношения (105.10). Из соотношений (105.10) находим 633 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 3 кв1 или иа основании (105.8) х — Рс У1 йа' 1 — ~'х/са (105.12) где введено обозначение Р = 'Р'!с. (105.13) Рис.
331 Мы добавили формулы у' = у, г' = г, которые показывают, что поперечные координаты события у и г не преобразуются. Дли доказательства последнего утверждения изготовим в системах отсчета 5 и 5' одним и тем же способом два одинаковых твердых стержня, каждый из которых неподвижен в своей системе Отсчета.
Установим их своими концами на оси Х параллельно осям У и г" (рис. 331). Длины стержней у и у', измеренные соответственно в системах 5 и 5', конечно, будут одинаковы. Но этО еще не означает, - А У х что справедливо второе уравнение Р ° (105.12). Надо еще показать, что у и у' можно рассматривать как координаты одного и того жг события, Для доказательства этого к свободным концам стержней прикрепим маленькие шарики А и А'. Пусть сначала шарик А' расположен левее шарика А.
Мы утверждаем, что при движении шарик А' обязательно столкнется с шариком А. Действительно, если бы движущийся шарик прошел выше или ниже неподвижного, то системы отсчета 5 и 5' не были бы эквивалентны. Но если шарики столкнутся, то у и у' становятся координатами одного и того же события — столкновения шариков, и второе уравнение (105,12) может считаться доказанным. Так же доказывается и третье уравнение (105.12). Формулы (105.12) и решают задачу о преобразовании координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Они называются преобразованием Лорентца (этот термин был введен Пуанкаре). Лореитц получил их в 1904 г.
К тем же формулам несколько раньше (в 1900 г.) пришел Лармор. И Лармор, и Лорентц, однако, принципиально стояли на точке зрения неподвижного эфира. У них истинным было только время 1 в системе отсчета, в которой эфир покоится. Величина же Г' лишь формально играла роль времени — это была математическая переменная, вводимая таким образом, чтобы соблюдалась инвариантность уравнений электродинамики при переходе от переменных х, у, г, 1 к переменным х', у', г', 1'.
Настоящий вывод формул преобразования Лорентца и установление их истинного смысла дал Эйнштейн в 1905 г. В его теории все инерциальные системы отсчета совершенно экви- 640 твогня относительности [гл. ~х валентны, а !' является таким же «истинным временем», как.и й Это проявляется, в частности, если уравнения (105.12) разрешить относительно х, у, г, 1. Таким путем получатся формулы «обратного преобразования» имеющие тот же вид, что и формулы <прямого преобразования» (105.12). Как и следовало ожидать, они получаются из формул (105.12) простой заменой 1' на — 1'. Формулы (105.12) и (!05.14) при !) ) 1 дали бы мнимые значения для координат и времени.
Поэтому нет смысла говорить о движении одной системы отсчета со скоростью г", превышающей скорость света с. Отсюда следует, что скорость любого тела не может превышать с, так как с каждым телом можно связать систему отсчета. При медленных движениях, когда ($'/с)» «' 1 и $Ъ/с» ~' 1 (о— скорость движения тела); преобразование Лорентца, как и следовало ожидать, в пределе переходит в преобразование Галилея. 4.
В дорелятивистской физике пространство и время считались независимыми друг от друга. Расстояния между двумя пространственными точками (точнее, расстояния между двумя материальными точками в один и тот же момент времени), а также промежутки времени между двумя событиями считались одинаковыми во всех системах отсчета.
Иными словами, обе эти величины считались инвариантными при переходе от одной системы отсчета к другой. В теории относительности такая инвариаитность была утрачена. Вместо двух инвариантов — пространственного и временного — в ней сохранился только один, пространственно-временной, инвариант. Его легко найти, перемножая почленно уравнения (105.11). Это дает с»!» — х» = с'!" — х" = 1пч.
(105.15) Для удобства запишем этот инвариант через новые временные переменные т = с(, т' = с(', (105.16) имеющие размерность длины. Введение таких переменных означает, что промежутки времени теперь измеряются теми же единицами, что и пространственные расстояния: за единицу времени принимается время„в течение которого свет проходит единицу расстояния. В новых переменных (105.17) ПРБОБРАЗОБАйие лоРентцА Учтем теперь, что при выбранной нами ориентации координатных осей у' = у, г' = г.
Поэтому т — (х + у'+гг) = т" — (х" + у'+ г") =1пч. (105.18) В этом виде пространственно-временной инвариант (105.18) уже не зависит от ориентации систем отсчета о и 5' относительно друг друга, а также от направления скорости )г. Однако в формуле (105.18) предполагается, что одно из событий фиксировано. Таким событием является совмещение начал координат О и О'.
Чтобы освободиться от этого ограничения, запишем (105.18) в виде Лт' — (Лх'+Лу'+Лг ) =Л с' — (Лх'+Лу" +Лг") =1пч, (105.19) где Лт, Лх, ..., Лт', Лх', ж. означают разности между временами и пространственными координатами двух событий 1 и 2 в системах отсчета 5 и 5': Лт= с,— т„Лх=хг — х„Лу=у,— у„Лг=г,— г„ Л т' = т,' — с'„Л х' = х', — х,', Л у' = у,' — у'„Л г' = г,' — г,'. Квадратный корень из инварианта (105.19) называется интервалом между расс триваемыми событиями и в дальнейшем обозначается через з„или Лв. Очевидно, квадрат интервала междусобытиями 1 и 2 можно представить в виде Бгг = (тг тг) (гг = (тг тг) (гг (105.20) где 1„и 1,', — расстояния между точками, в которых произошли события, в системах 8 и 3' соответственно. Можно также в формулы преобразования Лорентца ввести параметры т и т' вместо 1 и й. Ограничиваясь частным случаем, представленным на рис.
328, перепишем формулы (105.12) в виде (105.21) У~ †' )г1 — В' Величина () имеет смысл скорости движущейся системы координат, если за единицу принять скорость света. Минковский (1864 †19) для описания пространственно-временных событий ввел геометрическую терминологию. Совокупность значений т, х, у, г, характеризующую время и место события, ои назвал мировой точкой. Многообразие мировых точек есть четырехмерное пространство, называемое миром или пространством Минковского.
Линия в пространстве Минковского называется мировой линией. Интервал между двумя событиями принимается за инвариантное расстояние между соответствующими мировыми точками. На основе таких представлений было создано тензорное исчисление в пространстве Минковского, аналогичное тензорному 642 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. ~х исчислению обычной эвклидовой геометрии.
Оно является адекватным математическим аппаратом специальной теории относительности. 5. Интервалы между событиями можно разделить на веи(ественные и чисто мнимые. Ввиду инвариантности интервала, это деление не зависит от выбора системы отсчета.
Поставим вопрос, можно ли выбрать такую систему отсчета, в которой события 1 и 2 были бы одноместны, т. е. происходили бы в одной и той же точке пространства? Если 5' — такая система, то в ней 1;, = О, и на основании (105.20) квадрат интервала может быть представлен в виде з(, =- (т~в — т,')'. Отсюда видно, что з';.', - О, т. е. необходимо, чтобы интервал з„был вещественным. Для доказательства достаточности этого условия можно без нарушения общности ограничиться частным преобрдзованием Лорентца(105.21).
Чтобы рассматриваемые события в системе 5' пространственно совпадали, достаточно, чтобы выполнялось условие Лх' = О, т. е. Ох = () Лт. Отсюда видно, что система 5' должна двигаться со скоростью р =: бх/Лт. Но для.вещественных интервалов ! Лх ! = Лт, так что ) 5 ~ = 1. Значит, система 5' должна двигаться со скоростью, меньшей скорости света, а потому ее можно реализовать. Промежуток времени между одноместными событиями в системе отсчета 5' будет равен Лт' = 1 з„1, или в обычных единицах О!' = ~ з„, !1с. Вещественные интервалы называются времениподобными. Поставим теперь вопрос о существовании системы отсчета, в которой события 1 и 2 бьгли бы одновременны.
Если 5' — такая система, то т,' — т,' = 0 и, следовательно, на основании (105.20) должно быть з), = — 1;,'. Значит, необходимо, чтобы интервал з„ был 'чисто мнимым. Достаточность этого условия доказывается совершенно так же, как в предыдущем случае. Расстояние между точками, в которых произошли одновременные события 1 и 2, в системе 5' равно 1,', = ! зы |. Чисто мнимые интервалы называются прост ранственноподобными. Рассмотрим, наконец, особый случай, когда интервал между событиями равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
