Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Это эквивалентно знанию поля Е н его про- странственных производных всех порядков в какой-то одной точке внутри молекулы (которую условно можно назвать централ«моле- кулы), так как тогда функция Е (и) представится рядом Тэйлора по координатам х„ х„ х» вектора и, Легко оценить порядок последовательных членов этого ряда в монохроматическом поле световой волны, Производная дЕ,/дх,„ будет порядка Е/)., а координата х — порядка размеров моле- кулы а, так что член х дЕ,/дх будет порядка (ай) Е. Так же оцениваются и порядки членов, содержащих высшие производные.
Если нулевой член ряда принять за единицу, то члены, содержащие первые, вторые и последующие производные, будут порядка а/)„ (а/Х)», (а/) )» н т. д. Как видно, в неоднородном поле связь между индуцнрованным днпольным моментом молекулы н электрическим полем Е просп«- ранственно нелокальна. Это ведет к пространсгпвенной нелокальностпи связи между Р и Е, а также между Р и Е. При этом в слабых элект- рических полях, с которыми имеют дело линейная электродннамнка и оптика, можно пренебречь влиянием квадратов и высших степеней поля Е н его пространственных производных.
В этом «линейном прнближеннн» в монохроматическом поле световой волны можно написать 5 561 ВРЕМЕННАЯ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ 887 на — й . Поэтому соотношение (96.7) можно записать в виде Рт (к, Г) = ен (св, Ф) Е, (е, 1), (96.8) где введено обозначение е,,(55, Уг) =вн(55) — й 7п~+( — й ) ( — й„) аптх+ ° ° (96.9) Таким образом, в поле плоской монохроматической волнь5 связь между Р и Е опять принил5ает формально локальный характер.
Однако тензор диэлектрической проницаемости вм (св, й) теперь зависит не только от 55, но и от )2. Зависимость этого тензора от волнового вектора й называется пространственной дисперсией. 4. Ввиду малости параметра ай эффекты пространственной дисперсии в оптике »5алы и трудно наблюдаемы. Долгое время единственно известным из таких эффектов было естественное враи(ение плоскости поляризации. Оно наблюдается в таких средах, у ко- У торых тензор 7,, отличен от нуля. Найдем вид тензора 72, для дисимметрично изотропных сред — жидкостей и кристаллов кубической системы, у которых тензор е„(55) вырождается в Рис.
820. скаляр. Отбросив в выражении (96.7) все члены, содержащие тензоры четвертого и высших порядков, напишем Рт (к г) = ВЕ~ (к, 1) + 7уьхд ' . (96. 10) В развернутом виде для х-составляющей вектора Р это соотношение гласит дЕх дЕх дЕх дЕР х+7"х» дх +7»»" ду +7""" дг +7»Р» д» + Повернем теперь координатную систему вокруг оси Х на угол 90' (рис. 320). Ввиду изотропии среды, все коэффициенты в предыдущем соотношении останутся неизменными.
Однако у и Ев перейдут в — г и — Е„а г и Е, — в у и Ев. Остальные координатт 5 и компоненты векторов Е и Р останутся неизменными. Произведя в (96.11) соответствующую замену, получим дЕх дЕх дЕ» Р»=ЕЕ»+7»хх д„— 7»ху д +7»»» д 7хэх д„+ +7 Рв дг — У.' дв +7-х д. — 7 ° д +7" дв * МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА 1гл, уш Но в силу определения тензора уи в повернутой системе координат соотношение между О„ и компонентами вектора Е можно записать в прежней форме (96.11). Сравнение обоих соотношений дает у„„= у,.„„у„„, = — у„„„, откуда у „„у„„, = 0 и т.
д. Кроме того, у,.„= — у„,„и т. д. Что касается коэффициента у„, то он равен нулю. Действи. тельно, в силу симметрии у„„. = у„,„=- у„,. Повернем исходную систему координат вокруг оси Я на угол 90', чтобы ось 1' приняла отрицательное направление прежней оси Х. Тогда в (96.1!), оставляя коэффициенты неизменными, следует сделать замену х — — у, (ду — — О„Е, — — Е„, что дает дЕУ вЂ” и„= — Е,+у„„,, +... е С другой стороны, на основании определения тензора у,, в повернутой системе можно сразу написать И„= ЕЕР + 󄄄— +... дЕУ Отсюда, ввиду равенства у „, = у,„„ получаем у, = О. Таким образом, все компоненты тензора ур обращаются в нуль, если какие-либо два из индексов у, 1, и одинаковы, независимо от значения третьего индекса. Отличны от нуля только компоненты, у которых все три индекса различны.
При этом при перестановке любых соседних индексов составляющая тензора ум„меняет знак. Следовательно, можно написать у„„, = у„„, = у„,„= — у,„, = у„„= — у,„= — д. (96.12) В результате (96.11) перейдет в или в векторной форме 19 = ЕЕ+ д го! Е. (96.13) Если каждая точка среды является центром симметрии, то при отражении в этом центре среда переходит сама в себя, а потому тензор ур„при таком отражении должен оставаться неизменным. Но при этом правая система координат переходит в левую, а знаки координат х, у, г и компонент полярных векторов Е и Х> меняются на противоположные, так что (96.!0) переходит в дЕр — 0~ — еЕ~ + УР „дх Следовательно, ур — О, т.
е. вращение плоскости поляризации невозможно. Для возможности вращения необходимо, чтобы молекулы жидкости или кристаллов кубической системы не имели центров симметрии. 889. ВРеменнАЕ и пРОстРАнстве!!нАя диспеРсия Эти уравнения можно упростить. Для этого подставим второе выражение в первое, а первое во второе и отбросим лри этом про- изведение лп', »а» величину более высокого порядка малости. Тогда получим Р= Š— — —,, В=Н+ — —,—. е дВ ея' дВ с д! ' с д! ' (96.15) Теперь воспользуемся результатом электродинамики, согласно которому величина ЕР+ НВ равна производной по времени от (умноженной на 8л) плотности электромагнитной энергии (см. т.
П1, 9 84). Используя (96.15), преобразуем это выражение к виду ЕР+ НВ = (ЕЕЕ+ НН) + — (ед ЕŠ— йНН) . ! Первый член справа есть производная от '/, (еЕ' -1- Н'). Следовательно, и второй член должен быть производной по времени от некоторой функции, Эте будет действительно так, если выполняется соотношение еи' = д, так как тогда ей'ЕŠ— йНЙ = а — (ЕŠ— НН). д! Тем самым доказана необходимость введения второго члена в формуле (96.14), а формулы (96.15) приводятся к окончательному виду Р= Š— — д!, В=Н+ ~ д!. (96.
16) 6. Теперь мы располагаем полной системой уравнений для монохроматических волн в однородной естественно-активной среде. Эаметим еше, что в случае изотропной естественно-активной среды величина а есть псевдоскаляр, а не истинный скаляр (см. т. 1, 9 7). При переходе от правой системы координат к левой или наоборот знак этой величины меняется на противоположны!1. Это непосредственно видно из соотношения (96.12), которое показывает, что ут есть полностью антисимметричный псевдотензор.
5. По аналогии с формулой (96.13) можно написать В= Н+д' го1 Н, (96.14) где и' — новый !!севдоскаляр. Магнитную проницаемость р мы при этом приняли равной единице. Введение добавочного члена д' го1 Н необходимо для выполнения закона сохранения энергии. Действительно, используя уравнения Максвелла, приведем соотношения (96,13) и (96.14) к виду Р= ЕŠ— — —; В= Н+ — —. едВ и'дР с д! ' с д! МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА [Гл.
Уп! Из уравнений [1!у Р = О и 6[У В = О следует, что плоские волны в такой среде поперечны относительно вектороо Р и В. Они поперечны также относительно векторов Е и Н, так как из уравнений (96.13) и (96.14) следует, что с[!ч Е =- д[у Н = О. Подставив далее выражения (96.16) в уравнения Максвелла го!а= — — го! Е= — —— ! д!» ! дВ с д[! с д[! получим д д»Н с! др! дН г д»Е д! сс д[! ' го! Н= —-- 2 дЕ с др (96. 17) го! Е= —— ! С Допустим, что волна плоская и распространяется в положительном направлении оси г.
Тогда отличными от нуля будут только компоненты Е„и Е„, Н, и Н„, причем этн величины зависят только от одной координаты г. С учетом этого запишем уравнения (96.17) в координатной форме дЕ» ! дНС г д'Ес дг с д! С» дм ' (96.18) дЕС ! дН» г д'Е» дг с д! + Сс дп н аналогично для производных дН„!дг и дНС7дг. Здесь все вели- чины вещественные. Для упрощения рассуждений удобно ввести комплексные комбинации Ес = Е„+ [Е„, Нс = Н„+ [Н„, Е =ń— [Е„, Н = ̈́— [Н„. (96.19) Вещественная часть комплексного числа Е, дает компоненту Е„, а коэффициент при мнимой части — компоненту Е„, и т.
д. Однако при исследовании явлений круговой поляризации удобнее оперировать непосредственно с самими комплексными комбинациями, не переходя к вещественной форме. Например, если совершаются гармонические колебания Е„= А соз [сг, Е„= А з[п ыг, то Е, = Ае'"". Точка, изображающая комплексное число Е„движется в комплексной плоскости по кругу в направлении от оси Х к оси )», т. е.
Представляет волну, поляризованную по левому кругу. Аналогично, комплексная комбинация Е описывает волну, поляризованную по правому кругу. Умножив второе уравнение (96.18) на 1, почленным сложением н вычитанием этих уравнений найдем выражения для производ- $ ее] ВРвмвннхя и псостРАнставннхя диспвгсия 59! ных дЕ,/дг и дЕ ]дг. Аналогично поступаем с магнитным полем. В результате получим дЕ, ] дНе йт д'Е дг с дг ' с' дм дН, ]е дЕе ]г РН~ дг с д] +се дн' дЕ ] дн ]с деЕ дг с д] се дп дИ ]е дЕ ]с дгы дг с дг сг ды (96.2!) Уравнения разделилнсь на две группы независиг]их уравнений. В одну группу входят комбинации Е, и Н„описывающие волны с левой круговой поляризацией, в другую — комбинации Е и Н, которым соответствует правая круговая поляризация. Ввиду однотипности обеих групп достаточно исследовать одну из них, например группу (96.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
