Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Исключим из нее стандартным способом величину Н,. Отбрасывая члены, содержащие йе, получим дгЕ„е дгЕ+ 2]а деЕ~ дге сг д]е ' сг д]е дг и такое же уравнение для Н,. В монохроматической плоской волне Е„= С ехр ! (е]! — йг) дифференцирование по г эквивалентно умножению на — (я.
Поэтому дгЕ+ е'деЕ+ 2яа дгЕ+ дгг се дм + с' дм Здесь в последнем члене вместо й можно подставить волновое число в нулевом приближении, т. е. й= е] р"е(с. Тогда получится волновое уравнение (96.22) в котором 1 с се] Гсе ~1-]-2аее(с !' е)г]г 'г' е е или. с ге] ос = — —— и ее' (96.23) где и — показатель преломления среды. Аналогично, для волны с левой круговой поляризацией о = — '+ — ".
(96.24) Скорости о, и о различны. Поэтому должно существовать круговое двойное лучепреломлсние, а следовательно, и арап(енпа плоскости поляризации. молекуляендя оптикА (гл чссс Убедимся еще, что в каждой поляризованной по кругу плоской волне электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны. Для этого в уравнениях (96.20) достаточно произвести замену д/д( - (со, д/с)г -» — И. Тогда первое уравнение перейдет в — Н„. = ( (/с — А — ) Е„, Отсюда видно, что отношение Е,/Н, чисто лснилюе, а это эквивалентно утверждению, что векторы Е и И в рассматриваемой волне взаимно перпендикулярны.
7. В средах, обладающих с(ссстром симмстрии, разложение (96.9) тензора егс(ю, й) не может содержать линейных членов по /г. В таких случаях пространственная дисперсия может быть обусловлена квадратичными членами. С ней связана слабая зависимость поглощения кубических кристаллов закиси меди Сп,О от поляризации света (Гросс и Каплянский, 1960 г.), а такмсе слабая анизотропия показателя преломления кубических кристаллов кремния (Пастернак и Ведам, !971 г.). Эффекты очень малы, так как они определяются квадратом (а/))з, т.
е. величиной порядка 10 ' — 10 ' (а — размер молекулы или постоянная кристаллической решетки). Существуют и другие эффекты пространственной дисперсии, в обсуждение которых мы входить не будем. 9 97. 0 тепловых флуктуациях Усредннм теперь произведение двух флуктуирующих величин: /и.-(/+ М) (й+ Лй) =/ у+й М+1 Лй+ М Лй. Так как / и д — величины постоянные, а Л/ = Лй = О, то /й= /у+Л/Лу.
Формула (27Д) содержится здесь как частный случай, если взять / = и. (97,2) В этом вспомогательном параграфе сообщаются краткие сведения о тепло- вых флуктуациях, необходимые для изложения вопросов молекулярного рассея- ния света. Н Пусть / — любая флуктунрующая величина.флуктуацией этой величины называется отклонение Л/ = / — / мгновенного значения этой величины от ее среднего значения. Обычно пользуются средним квадрааюм флукглуации, г. е. иеличиной (Л/)з.
Квадратный корень из этой величины р'(ЛДзназывается сред- нвявас)ратичной флуктуацивй, а ее отношение к среднему значению /, т. е, 'г'г(Л/)з//, — среднеквадратичной атносиамльнай флуктуацйвй, Усредняя выражение (л/)' = (/ — /)з = /з — 2// — 0)з, получим (МР =/з — 2/1 — (О' 'г(о / — величина постоянная, а потому // = // = (/)з. Следовательно, (Л/)з — /с (/)з, й 971 О ТЕПЛОВЫХ ФЛУКТУЛППЯХ Величины 1 и и называются статистически независимыми, если Ь| Ап = О. Для таких величин (97.5) (Е=Ы (97.3) 2. Рассмотрим теперь любую физическую систему, состоящую из А' незван спмых одинаковых частей.
Примером такой системы может служить идеальный газ, а состаэных частей — отдельные молекулы. Пусть ге — произвольная идди- тивнал величина, характеризующаи 1-ю подсистему, например и прииедеином примере — кинети ческая энергия 1-й молекулы. Тогда и силу предполагаемой алдитиэпости соответствующая неличипа для всей системы будет Р=~~ ~17, Выра- зим средний квадрат флуктуации Величины р через аналогичный квадрат для Величины )и Очеаидно, Р=~);=АТ', гДе опущен инДекс 1, так как предпола гастся, что исе составные части сгстсмы тождестаеппы.
Далее, ра (Ът)7)т ~(е г / А так как эти части незаинсимы, то 1717 = ггг)77 = (7)е. Слсдоэатель77о, гь=й)71+У (У вЂ” 1) (7)Е Подставляя эти заачсния и формулу (97.1), получим (АР)ь=Р— (Р)з= Ф Р вЂ” Р). (97.4) Отсюда на осноиаиин (97.!) Таким образом, относительная бщуктуация величины Р обратно пропорцио- нальна квадратному корню из %. При больших )ч' относительные фэуктуации ничтожны.
Этот вывод верен и для неалдитианых иеличиа. С ним связана доста. верность термодиномических результатов для микроскопических систем. 3. Применим формулу (97.4) к иычислснию флуктуаций числа молекул а фиксироианном объеме У идеального газа. Пусть н большом закрытом сосуде объема У и отсутстане силовых полей находятся Ф молекул идеального газа.
Разделим объем У на г = Уго одинакоиых объемчикоа иг аеличиной о каждый. Если лг — число молекул и объемчике оь а А7 — и большом объеме !', то йг = =- ~Р~лн Среднее число молекул ле и объемчике а! будет л! = л = )Уо)У, т. е, одно и то же ио всех объемчиках. Представим его и виде л = )Ур, где р = о/У— нераятность нахождения молекулы и объемчике о. Возьмем теперь и качестве 11 слеДующие велИчины 17 = 1, если Оя молекула находится внутри объемчика о, и )г = О, если она находится и оставшемся объеме У вЂ” о.
Тогда число молекул л и обьемчике и можно предстаннть и виде л= ~~~(а предполагая, что суммироаа- ние ведется по всем А7 молекулам объема У. Ясно, что ) = )7ь — ггь = ..., а потому 1! = 71 = )'; = ... = р. Следовательно, по формуле (97.1) А)т )ь () )т р ра р( ! 17) А таК КаК и СЛУЧаЕ ИДЕаЛЬНОГО ГаЗа ВЕЛИЧИНЫ гг, г„га, ... СтатнетИЧЕСКИ Исэаан- симы, та по формуле (97.4) йлз = А7р (1 — р) = (1 — р) Л. (97 6) Если объем У бесконечно велик, то р -ь О, а следовательно, Алз=л.
(97.7) 594 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА 1гл. Уцп Отсюда получаем для относительной флуктуации плотности газа ~Г йр'!р = 1)Р'а. (97.8) 4, Более общий метод вычисления флуктуаций плотности, применнмый также к жидкостям и твердым телам, основан на теореме о равномерном распре- делении кинетической энергии ао степеням сеободм. Рассмотрим малую часть жидкости или газа, окруженную таней же жидкон или газообразной средой, температура которой Т поддерживается постоянной (термостатом).
С целью упро- щения и наглядности вычислений предположим, что эта малая часть жидкости или газа заключена в цилиндр с поршнем. Стенки цилиндра идеально проводят тепло, а поршень может ходить в нем без трения. Тогда наличие стенок цилиндра н поршня яе будет препятствовать обмену энергией и выравниванию давлений между веществом в цилиндре и терчостатом. Благодаря тепловому движению поршень будет совершать броуновское движение. К нему мы н применим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор, сонершаю.
щий тепловые колебания, Среднее значение его потенциальной энергии при сме- щсннн па х из положения равновесия х = 0 равно г)е кхз = гтз АТ, где и — коэф- фициент упругости, соотпстствующнй такому смешению. Если 5 — площадь поршня, а й У вЂ” изменение обьема системы, то ЬУ = 5х. Таким образом, (А У)' = = 5'хт = 5еАТ)к, Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, буде~ др Р=5 — х, где Р— давление газа или жидкости, Поэтому х = — 5 др!дх = дх = — о-дР/дУ, В результате получим (йу )г = = АТ(дугдр)г' АТ (др!ду) .
(97.9) Значок Т указывает, что в выводе предполагалось постоянство температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема У было адиа- батически изолировано, то Т следовало бы заменить на 5 (постоянство энтропии), т,е, (97.!О) (йуз) — йт (ду(др) ° формулы (97.9) и (97.10) выражают флуктуации объема одной и той же массы ееи(еслма, находящейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Для идеального газа при постоянстве температуры РУ = сопз(, так что (дИдр)г — — — ИР. А так как РУ = лйТ, где и — число молекул в объеме У, то из формулы (97.9) получаем (АУ)э = Уз!л. Пусть теперь объем У фиксирован, а число молекул в нем л меняется из-за тепловых фшуктуаций.
Если бы объем У увеличился иа ЬУ, то число молекул в прежнем обьеме У уменьшилось бы на йл = л й И У, Отсюда (йп)е (л!У)з(АУ)з=п й, что совпадает с прежним результатом (97.7). В окончательном результате различием между л и и можно пренебречь, что мы н сделали, б. Перейдем теперь к вычислению флуктуаций энергии. С целью лучшего уяснения метода начнем с вычисления флуктуаций кинетической энергии м молекулы одноатомного идеального газа, Согласно максвелловскому закону рас.
пределеиия скоростей, (97,11) где и = 1/(йТ), йà — элемент объема пространства скоростей, а 2 определяется условием нормировки: г=~е — аййГ. (97,12) 595 % зт1 О ТЕПЛОВЫХ ВШУКТУАПИЯХ Дифференцируя это соотношение по параметру а, получим "2 = — ~ Ве "лсЦ', г(м = и формула (97,1!) перейдет в 1 г(2 ф= г сс' Отсюда а 1 М 1 1гбг)в 1 бзг Ни 2 низ 2з (г(сг,) 2 ба' (97.13) диалогично ~фа — а Д вЂ” Р з „, 1 бзг г ,) г апз' Сравнение этой формулы с предыдущей дает (АО)'=из- (й)' = — д„, (97.14) или после подстановки значения параметра гс = 17(2Т) а 4~ (5,)з ДТ бТ Так как для идеального одноатомного газа ю = зlз 'яТ, то 2 .(97.15) (97.!6) 2 ~21 ехр( — ап,), где мг — энергии квантовых уровней подсипюыы, а яг — кратности этих уровней. Суммирование производится по всем квантовым состояниям подсистемы (см.
т. П, $ 85). В случае микроскопической подсистемы, объем которой поддеоживается постоянным, $ имеет смысл аяутреяьвг) энергии падсиспмла, а Ю)г)Т вЂ” ее 8. Приведенный метод вычисления (ою)з может быть распространен практически без изменений на более общие и важные случаи. Выделим, например, малую часть (подсистему) изотропиой среды (жидкости или газа), находящуюся в статистичесхом равновесии со всей средой, температура Т которой поддерживается постоянной.
По отношению к выделенной подсистеме окружающая среда играет роль имрмостагпа. Из-за обмена энергией между термостатом и подсистемой энергия последней будет непрерывно флуктуировать. Беспорядочные изменения энергии подсистемы подчиняются статистическому эахоиу, вполне аналогичному максвелловскому закону распределения кинетической энергии между молекулами. Поэтому среднее значение энергии подсистемы будет выражатьсю прежней формулой (97.13), где гс имеет прежнее значение, а интегрирование в выражении (97.12) производится по многомерному пространству координат и импульсов подсистемы. В этом единственное отличие рассматриваемого случая от предыдущего. Но оно совсем ие отражается на последующих выиладках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
