Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Поэтому окончательный результат (97.15) применим к рассматриваемой подсистеме без всяких изменений. Результат (97.15) остается верным и в квантовой статистике, Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить интеграл (97.12) суммой МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА (гл. щп твлловмкости Сг, при постоянном объеме. Тогда из формулы (97,!5) получаетсл (ЬЯУ= йтзСУ. (97. ! 7) Значок У слева указывает на то, что величина (~®~')у есть средний квадрат флуктуации энергии подсистемы при сохранении ее объема У постоянным.
7. Рассмотрим теперь флуктуации энтавьлии 1 подсистемы. Для этого воспользуемся сйедующим искусственным приемом. Предположим, что подсистема заключена в оболочку с идеально проводящими подвижными стеаками, так что объем подсистемы не сохраняется постоянным, Пусть оболочка снаружи подвергается действию постоянных внешних сил, поддерживающих внешнее давление Р постоянным, Зги силы увеличивают потенциальную энергию под. системы на величину РУ. Если под й' покимагь ту же энергию, что н в предыдущем выводе, то с учетом дополнительной потенциальной энергии РУ среднее значение полной энергии подсистемы будет О+ РУ! Но это есть знтальпия подсистемы П Все предыдущие рассуждения можно повторить без изменений, заменив О на с(+ РУ, В результате вместо формулы (97,!5) получится (А(з) йтз йТ (97.!8) Но при Р = сопй производная й))йт есть теплоемкость Ср подсистемы при постоянном давлении, а потому (М') =лт'С .
(97.!9) 8. Распространим теперь термодинамический метод вычисления флуктуаций, изложенный выше, иа любые величины, характеризующие макроскопические свойства подсистем. Ограничимся при этом изотропными телами. Для них любая термодинамическая величина в состоянии термадинамического равновесия есть функция двух других термодинамических величин, которые могут быть приняты за независимые пгргнвнныв.
Термодинамические величины манроскопических подсистем хотя и испытывают флуктуации, но в случаи малости таких подсистем их мгновенные состояния нршстичвски равновесны. Они также определяются двумя незанисимымн переменными. Поэтому задача сводится к вычислению теплоиых флуктуаций таких двух независимых переменных.
В окончательном результате, определяющем значение среднего квадрата той или иной флуктуации, необходимо указывать, какал из двух величин, выбранных для характеристики состояния подсистемы, ноддерживаетсл настоянной. Иначе самый результат будет неопределенным, а потому и бессмысленным. Покажем на примерах, как применяется изложенный метод к вычислению флуктуаций различных физических величин.
Начнем с флуктуаций температуры, предполагал, что рассматриваемая макроскопичсская подсистема находится в тепловом контакте с термостатом. Считая температуру подсистемы функцией независимых переменных У и мв', напишем (дТ) ( дТ) В силу независимости У и й' имеем: АУ ЬЖ = О, а потому — — ~дТ 'з — Г дТ'са — з (бт)з-1 — ) (бу)з+~ — ) (бб)з.
(дУ та ~ дй)у При постоянном обьеме производная (дпгдт) есть теплоемкость подсистемы С„, Тогда из формулы (97,17) находим (бтз)У= — гЯ9У= Нт'. 1 за1 РАССЕЯНИИ СВЕТА Вычислим теперь флуктуации энтропии 5 подсистемы. В качестве независимых переменных выберем У и е, Рассуждая как в предыдушем примере, напишем ЛУ АЖ=О, (Л5з)„=(~~) (Л((з)„, 'где/Р Так как д5lде = 1(Т, то с учетом (97.17) (Л5') =йс . (97.21) Если бы за независимые переменные были приняты Р и )агто получилось бы (л5') = йсР. (97.22) Рассмотрим теперь флуктуации давления Р, Примем за независимые переменные 1' и Т, Тогда ЛУ ЛТ =О, (ЛРз) = ( — 11 (Лрз) т=,бУ„ или па оснсванин формулы (97.9) (ЛРз)г = — й~(~~) .
(97,23) Приняв за независимые переменные Р и 5, мы получили бы (ЛР )з — — АТ ( — ) = — уяТ ( — ) где у = С !СР. При этом было использовано термодинамическсе соотношение ( — ) /( — ) у у (см. т. П, 1 47). Вычислим, наконец, флуктуации ллоглносгли вещества о в объеме У. Задача сводится просто к преобразованию формулы (97.9). Прежде всего заметим, что величина У дР)дУ не зависит от величины объема У. Поэтому в таком выражении У кожно заменить удельным объемом вешества о. Тогда УАТ ( )г = о (дР)до)г Так как масса вещества Ур в объеме У остается постоянной, то У Л р+ р ЛУ = О, Следовательно, (Лр)' = ( — 1 (ЛУ)', а потому -(.~ У(лр).-- ЗРЛ, (97.25) Чем меньше объем 1', тем больше относительные флуктуации плотности в нем.
(97.24) 9 98г Рассеяние света 1. В прозрачной однородной среде бегущая плоская волна распространяется только в прямом направлении, не испытывая рассеяния в стороны. (Мы отвлекаемся от дифракции, предполагая, что ширина фронта волны достаточно велика, а следовательно, угол днфракцнонной расходимости мал.) Допустим теперь, что оптическая однородность среды нарушена, например множеством мельчайших частиц постороннего вещества, беспорядочно распределенных по объему среды. Примерами могут служить пыльный воздух, молекуляРИАя ОптикА 1гл чи1 е дЕ го1 Н= — —;, с д1 Йч(еЕ) =О, б(ч Н= О, (98. 1) 1 дН го(Е= — — —— сдо' где диэлектрическая проницаемость е является функциеи координат. Выделим нз нее постоянную часть е„полагая е = е, + бе.
В проблеме рассеяния света интерес представляет случай, когда бе мало по сравнению с ео, но пока мы не будем вводить этого ограничения. Более того, постоянное слагаемое е в принципе можно было бы выбрать произвольно. От этого, если вычисления производить точно, окончательный результат зависеть не может. Однако удобно н естественно понимать под е, диэлектрическую проницаемость среды, из которой удалены частицы постороннего вещества. Представим электромагнитное поле в виде Е = Е, + Е', Н = = Н, + Н', где Е„ Но удовлетворяют уравнениям Максвелла в однородной среде го! Но — — — —., 11! Р(соЕо) = О, ,дЕ, 1 дгто го! Ео = — д с(1ч Но=О. с д1 В задаче о рассеянии света это есть ладаюп!ая волна, которая рас- пространялась бы в среде, если бы в ней не было оптических неод- нородностей, а Е', Н' — поле рассеянного света. Вычитая преды- дущие уравнения из (98.!), получим го! Н' — — — = —— ео дЕ' бедЕ с дг с до' 1 дН' ! Е' — — — = О с д1 Йч (еоЕ') = — сит (бе Е), (98.
2) б!чН'=О. туман, дым, эмульсии и суспензии с взвешенными в них посторонними частицами. Тогда показатель преломления будет меняться в. пространстве весьма нерегулярно, но среднее значение его во всяком малом объеме, содержащем еще очень много макроскопнческих неоднородностей, будет оставаться одним и тем же во всей среде.
Такую среду называют оптически л1утной. В оптически мутных средах свет распространяется не только в прямом направлении, но и рсксеивается в стороны. Рассеяние света в мутных средах иа частицах посгороииего вещесгва экспериментально впервые исследовал Тиндаль (1820 — 1893) в 1869 г.
Поэтому это явление получило название т11ндалевского рассеяния или э44гкта Тиндаля. Его теория была дана Рэлеем. 2. В неоднородной неподвижной изотропной среде распространение света описывается уравнениями Максвелла 599 РАССЕЯНИЕ СВЕТА Таким образом, для поля Е', И' получились такие же уравнения Максвелла, как в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е,. Только первые два из этих уравнений содержат правые части, которые можно рассматривать как дополнительные источники электромагнитных волн.
Если ввести обозначение то эти два уравнения перейдут в го1 Н' — — ' — = —" — ЬР, 61т(Е,Е') = — 4п 61ч (ЬР). (98.4) ео дЕ' 4п д с дг с дс где е — диэлектрическая проницаемость шарика, а е, — окружающей среды. Дополнительная поляризация, согласно формуле (98.3), будет отлична от нуля только внутри шариков, где оиа равна 4п 4п е+ 2ео а дополнительный дипольный момент шарика Р = — (е — ео) аеЕо.
ео е+ 2ео (98.6) Предположим сначала, что падающая волна поляризована линейно. Тогда векторы р и Е все время будут параллельны одному и тому же неизменному направлению. Электрическое поле диполя р на больших расстояниях' г от него (в волновой зоне) определяется выражением япб " сооипб Е, = — (р ~~,г, = — — (р)о Из них видно, что в среде появляется дополнительная поляризация ЬР, определяемая выражением (98.3), так что каждый малый элемент объема среды Ье' получает дополнительный дипольньш" момент ЬУ ЬР.
Меняясь во времени, он излучает электромагнитные волны как колеблющийся диполь Герца. Это и есть свет, рассеянный элементом объема 6'г'. 3. Допустим теперь, что оптическая неоднородность создается одинаковыми шариками радиуса а, беспорядочно распределенными по объему, занятому средой. Пусть среднее расстояние между шариками велико по сравнению с а, а сами шарики малы по сравнению с длиной волны. Тогда при вычислении электрического.
поля Е внутри шарика можно считать внешнее поле Е, световой волны однородным. Как показано в электростатике (см. т. 111, 9 16), поле Е также однородно и определяется выражением о е/соей 2 о е+2ео о (98.5) МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА (гл. УП1 где о=с!)/е =с1п — скорость света в рассматриваемой среде, а б — угол между осью диполя р и направлением рассеянного излучения (см. т. П1, 5 141). Россеянньой свет полярйзован линейно, причем электрический вектор лежит в плоскости, проходящей через ось диполя р и направление излучения.
Под интенсивностьнз света здесь и в д льнейшем будем понимать усредненное по времени численное значение вектора Пойнтинга. Для интенсивности света, рассеянного одним шариком, электродинамика дает и»' б -0 ~>' 01»0 о -о (98.8) 4»еооосо р 4»00»осо (см. т. П1, 2 141). Интенсивность прямой волны равна С 0 1о= »ЕОН0=4» еоЕО (98.9) Воспользовавшись выражением (98.6), получим (98,10) или где ) — длина волны в вакууме, а 1', = 0)ояао — объем шарика. Энергия У„ рассеиваемая шариком в едйницу времени по всем направлениям, найдется интегрированием величины (98.1!) по сфере радиуса г. Взяв в качестве элемента поверхности 2пг'гйп б с(б, получим 8~4 — — 24поео(-~:~') ' 10 (98 12) у Допустим теперь, что падающиог свет естественный.
Направление его распространения примем за ось л. Пусть рассеянный свет наблюдается в направлении ОА под углом Э к оси г. Угол 6 называется углом рассеяния (рис. 321). Направим ось Х перпендикулярно к ОА и ОЕ Так как р и Е, коллинеарны, то вектор р параллелен плоскости Х1г. Разложим его по осям Х и У. Интенсивности излучений дипольных моментов р„и р„найдутся по формуле (98.8), если в ней положить сначала б = и/2, а затем б= -- — э. Так как падающий свет естественный, то эти- 2 излучения некогерентны, так что для нахеждения 1, надо сложить их интенсивности. В результате формула (98.8) перейдет в — — оФ 1+оооо В— Р»с, 321 олссвянив светл 601 так как в случае естественного света р„ '= р„' = 'l,р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
