МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1238754), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥∂f= yexy−π sin y ;∂x∂f= (x − π cos y)exy−π sin y .∂y¡) df (1, π) = πeπ dx + (1 + π)eπ dy.à¨¬¥à³ ´3.9.‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨1/zf (x, y, z) = x¢ â®çª¥ (1, 1, 1).y¥à¢ë© ᯮᮡ. à¥¤áâ ¢¨¬ äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨-樨 í«¥¬¥­â à­ëå:µf (x, y, z) = expx1lnzy¶.40 ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥:∂f= exp∂x∂f= exp∂y∂f= exp∂zµµµµ ¶1 y 11 x 1/z=;z xyxz y¶µ¶µ ¶x 1 yx1 x 1/zln;− 2 =−y z xyyz y¶¶µµ ¶xx11x x 1/zlnln− 2 = − 2 ln;yyzzy y1xlnzy1z1z¶∂f∂f(1, 1, 1) = 1;(1, 1, 1) = −1;∂x∂y∂f(1, 1, 1) = 0; df (1, 1, 1) = dx − dy.∂z‚â®à®© ᯮᮡ.d(eu ) = eu du,­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « µdf (x, y, z) = exp’ ª ª ª d(ln u) =ä¥à¥­æ¨ « ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨­¢ ਠ­â-¶ µ¶1xdln=zyµ ¶1/z ·µ¶µ ¶¸x1xx1=·d ln+ ln · d.yzyyz1xlnzy1u du,â® ¢ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ä-µ¶µ ¶xyxy y dx − x dyy dx − x dyd ln= d= ·.=2yxyxyxy®í⮬㵠¶1/z µ¶xy dx − x dy1xdf (x, y, z) =− 2 ln;yxyzzydf (1, 1, 1) = dx − dy.”®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨ïå áç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨.41à¨¬¥à 3.10.

à¥®¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥, ¯à¨­¨¬ ï ξ , η § ­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥:∂z∂z=,∂x∂yξ = x + y,η = x − y.„«ï í⮣® ­ã¦­® ¢ëà §¨âì ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ®â ä㭪樨 z ¯® ýáâ àë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ x, y ç¥à¥§ ¥ñç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ý­®¢ë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ξ ,η . ® ä®à¬ã«¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå á«®¦­®© ä㭪樨 ¨¬¥¥¬∂z∂z ∂ξ∂z=+∂x∂ξ ∂x ∂η∂z∂z ∂ξ∂z=+∂y∂ξ ∂y ∂η∂η∂z ∂z=+;∂x∂ξ ∂η∂η∂z ∂z=−.∂y∂ξ ∂珮¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ã稬∂z ∂z∂z ∂z+=−.∂ξ ∂η∂ξ ∂η‚ ­®¢ëå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤∂z∂η = 0.¥è¥­¨ï¬¨ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ξ , ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨­ïâ® § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥ z = f (x + y), £¤¥ f |¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.‡ ¤ ç ­¥áª®«ìª® ãá«®¦­ï¥âáï, ¥á«¨ ® § ¤ ­® ¢ëà ¦¥­¨¥ ýáâ àëåþ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ç¥à¥§ ­®¢ë¥, ®¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ®¬ ¢¨¤¥ ­ ¯¨á âì á«®¦­® ¨«¨ ­¥ 㤠ñâá®¡é¥.∂uà¨¬¥à 3.11.

¥è¨âì ãà ¢­¥­¨¥ x ∂u∂y − y ∂x = 0, ¯à¥®¡à §®¢ ¢ ¥£® ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.Ž¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ r, ϕ ç¥à¥§ x, y £à®¬®§¤ª® ¨ ­¥®¤­®∂u∂u∂u§­ ç­®, ¯®í⮬㠢ëà §¨¬ á­ ç « ∂u∂r ¨ ∂ϕ ç¥à¥§ ∂x ¨ ∂y , ¯®â®¬ ¯®«ã稬 ®¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (§¤¥áì ¯à¨¤ñâáï à¥è âì42㦥 «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©). ˆ¬¥¥¬∂u∂u ∂x ∂u=+∂r∂x ∂r∂y∂u∂u ∂x ∂u=+∂ϕ∂x ∂ϕ ∂y∂y∂u∂u=cos ϕ +sin ϕ;∂r∂x∂y∂y∂u∂u=−· r sin ϕ +· r cos ϕ.∂ϕ∂x∂y(3.3)“¬­®¦¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­ r sin ϕ, ¢â®à®¥ ­ cos ϕ, § ⥬ á«®¦¨¬ ¯®«ã祭­ë¥ à ¢¥­á⢠. ®«ã稬:râ.¥.∂u∂u∂u= r sin ϕ ·+ cos ϕ ·,∂y∂r∂ϕ∂u∂u cos ϕ ∂u= sin ϕ ·+.∂y∂rr ∂ϕ…᫨ ⥯¥àì 㬭®¦¨âì ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­ r cos ϕ, ¢â®à®¥ ­ sin ϕ, § ⥬ ¢ëç¥áâì ¨§ ¯¥à¢®£® ¢â®à®¥, â® ¯®«ã稬r∂u∂u∂u= r cos ϕ ·− sin ϕ ·,∂x∂r∂ϕ∂u∂u sin ϕ ∂u= cos ϕ ·−.∂x∂rr ∂ϕâ.¥.®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¨¬¥¥¬x sin ϕ∂u y sin ϕ ∂u∂u x cos ϕ ∂u+− y cos ϕ+= 0.∂rr∂ϕ∂rr∂ϕ’ ª ª ª x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, â® ç«¥­ë, ᮤ¥à¦ 騥㭨ç⮦ âáï, ¨ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤∂u ,∂r∂u= 0.∂ϕ¥è¥­¨¥¬ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ë¥ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© r, ¯®í⮬㮡饥 à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥p­¨ï § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ u = f ( x2 + y2 ), ¨«¨, çâ® ¯à®é¥, u == f (x2 + y 2 ), £¤¥ f | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.ˆ­®£¤ ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ᮢ¥àè îâáï ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ § ¬¥­ë,ª á î騥áï ­¥ ⮫쪮 ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ­® ¨ ­¥¨§¢¥áâ­ëå ä㭪権.43à¨¬¥à 3.12.

à¥®¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥x∂z∂zx+y= ,∂x∂yz¯à¨­¨¬ ï ξ , η § ­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥: ξ = 2x − z 2 ,η = − yz .‡¤¥áì ­®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ u, v ¢ëà ¦ îâáï ­¥ ⮫쪮 ç¥à¥§áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ x, y, ­® ¨ ç¥à¥§ ­¥¨§¢¥áâ­ãî äã­ªæ¨î z .ˆ¬¥¥¬∂z∂z ∂ξ∂z ∂η=·+·.∂x∂ξ ∂x ∂η ∂xçâ® ξ ¨ η ¢ëà ¦ îâáï ­¥® ­ã¦­® ãç¥áâì,⮫쪮 ç¥à¥§ x, y,­® ¨ ç¥à¥§ z , ª®â®à ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ï¥âáï ä㭪樥© ®â x,y . ®í⮬ã∂ξ∂z∂ηy ∂z= 2 − 2z;= 2.∂x∂x∂xz ∂xµ¶∂z∂z y ∂z∂z∂z=2 − 2z ·+··.∂x∂ξ∂x∂η z 2 ∂x‡­ ç¨â,®«ã祭­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ à¥è¨¬ ®â­®á¨â¥«ì­®∂z∂xµ¶∂z∂zy ∂z1 + 2z ·− 2·=2,∂ξ z ∂η∂ξ∂z∂x :®âªã¤ ∂z€­ «®£¨ç­®,∂z∂ξ.=2∂z∂z∂x1 + 2z · ∂ξ − y2 · ∂ηz∂z∂z ∂ξ∂z ∂η∂z=·+·=∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y∂ξ∂zµ¶∂z∂z y ∂y − z−2z ·+·.∂y∂ηz2®«ã祭­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ à¥è¨¬ ®â­®á¨â¥«ì­®∂z∂y∂z∂y :µ¶∂zy ∂z1 ∂z1 + 2z ·− 2·=−,∂ξ z ∂ηz ∂η∂z∂z1∂η=− ·y ∂z .∂z∂yz 1 + 2z ·−·∂ξz 2 ∂η®âªã¤ 44®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¨¬¥¥¬â.¥.∂z y ∂zx2x−=∂ξz ∂ηzµ¶∂zy ∂z1 + 2z−,∂ξ z 2 ∂η∂z ³ xy y ´ x= .−∂η z 3zz’ ª ª ª y = −ηz , x =­¨¥ ¯à¨¢¥¤ñâáï ª ¢¨¤ãξ + z22 ,η(z 2 − ξ)â® ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ãà ¢­¥-∂z= z(z 2 + ξ).∂η ¯¨á âì ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ­¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦­ë¬, ¯®í⮬ã â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¨¬¥îâ ç¨áâ® â¥å­¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à.“¯à ¦­¥­¨¥ 3.1.

„®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëå: ) d(uv) = u dv + v du;¡) d(uv ) = uv ln u du + vuv−1 dv ¢ â®çª å, £¤¥ u > 0.“¯à ¦­¥­¨¥ 3.2. “¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥: ) d(arcsin e−u ), ¥á«¨ u > 0;¡) d(sin3 (u2 v) + ln(1 + arctg2 v)).“¯à ¦­¥­¨¥ 3.3. ‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨f (x, y) ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ): ) f (x, y) = arctg(x2 − y2 ), (x0 , y0 ) = (1, 1);¡) f (x, y) = x cos xy , (x0 , y0 ) = (π, 2);³√´¢) f (x, y) = arcsin(xy), (x0 , y0 ) = 3, 12 .“¯à ¦­¥­¨¥ 3.4. à¥®¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥, ¯¥à¥å®¤ï ª­®¢ë¬ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬. …᫨ 㤠áâáï, ­ ©â¨ ®¡é¥¥à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï∂z − x ∂z = 0, ξ = x , η = x2 + y 2 ; ) y ∂x∂y∂z + y ∂z = z , ξ = x , η = y ;¡) x ∂xxp∂yp∂z∂z2¢) x ∂x + 1 + y ∂y = xy, ξ = ln x , η = ln(y + 1 + y2 );∂z − (x − y) ∂z = 0, x = eξ cos η , y = eξ sin η ;£) (x + y) ∂x∂y45¤)∂z + (y + z) ∂z = x + y + z , ξ = x + z , η = y + z .(x + z) ∂x∂y§ 5.ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨¢ â®çª¥…᫨ ä®à¬ã« , ª®â®à®© § ¤ ñâáï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ᮤ¥à¦¨â ¬®¤ã«¨, ª®à­¨ à §«¨ç­ëå á⥯¥­¥©, 䨣ãà­ë¥áª®¡ª¨ (â.¥.

®¤­ ä®à¬ã« ¯à¨ ®¤­¨å §­ 祭¨ïå à£ã¬¥­â®¢,¤à㣠ï | ¯à¨ ¤à㣨å), â® ä®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥,ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥¢®§¬®¦­®. ‚ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ­ã¦­® ¢ëïá­¨âì,ï¥âáï «¨ â ª ï äã­ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª å, £¤¥®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì ¯®¤ª®à¥­­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¨«¨ ¢ëà ¦¥­¨ï¯®¤ §­ ª®¬ ¬®¤ã«ï, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ý᪫¥©ª þ, â.¥.

¯¥à¥å®¤ ®â®¤­®© ä®à¬ã«ë ª ¤à㣮©. à¨ í⮬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ 㤮¡­® ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï á«¥¤ãî饩 áå¥¬ë ¤¥©á⢨©.1) ‚ëïá­¨¬ á­ ç « , áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© â®çª¥(x0 , y0 ) ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥A=∂f(x0 , y0 ),∂xB=∂f(x0 , y0 ).∂y(3.4)…᫨ å®âì ®¤­ ¨§ ­¨å ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â | ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥ç¨ ®¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠¢ â®çª¥.2) …᫨ ®¡¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ, ⮤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ᢮¤¨âáï ª à ¢¥­áâ¢ãlim∆x→0∆y→0f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) − A · ∆x − B · ∆yp.(∆x)2 + (∆y)2(3.5)…᫨ äã­ªæ¨ï ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ), â® à ¢¥­á⢮ (3.5) ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¨ ¯à¨ ª ª¨å A, B . …᫨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 | ¢ë¯®«­ï¥âáï ¯à¨ A, B , ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå ¨§ (3.4).®í⮬ã, ¥á«¨ A ¨ B ­ ©¤¥­ë ¨§ (3.4), â® ­ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì¢ë¯®«­¥­¨¥ à ¢¥­á⢠(3.5).‚ ¤ «ì­¥©è¥¬, ¥á«¨ ­¥ ®£®¢®à¥­® ¯à®â¨¢­®¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 f (x, y) ¢ â®çª¥ (0, 0).46p22’ ª ª ª¯ f (x, y) = ¯ x + xy + y .¯¯∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = dx |x|¯x=0 | ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®f (x, y) ­¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).à¨¬¥à 3.14.

f (x, y) = |x|¯α |y|β , £¤¥ α > 0, β > 0.¯dˆ¬¥¥¬ ∂f= 0, â ª ª ª f (x, 0) = 0 ¯à¨∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯à¨¬¥à 3.13.x=0¢á¥å x. €­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.Žáâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥ à ¢¥­á⢠(3.5) ¯à¨ x0 == y0 = 0, f (0, 0) = 0, A = B = 0, â.¥. ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î|∆x|α |∆y|β= lim p.∆x→0(∆x)2 + (∆y)2(∆x)2 + (∆y)2∆y→0lim p∆x→0∆y→0f (∆x, ∆y)…᫨ ¢¢¥á⨠¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ∆x = ρ cos ϕ, ∆y = ρ sin ϕ,â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ρα | cos ϕ|α ρβ | sin ϕ|βp= ρα+β−1 | cos ϕ|α | sin ϕ|β .ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ…᫨ α + β > 1, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥, ¡ã¤ãç¨ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¬, ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ρα+β−1 .

®á«¥¤­ïï äã­ªæ¨ï ®â ρáâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ρ → +0. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0, ¨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0).…᫨ α + β = 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­®| cos ϕ|α | sin ϕ|β , â.¥. ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. à¥¤¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ -¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ª®­¥æ, ¥á«¨ α + β < 1, â® ¯à¨ ϕ 6= πk2 , k ∈ Z, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0.’¥¬ ¡®«¥¥ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«, ¨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).— áâ­ë¥ á«ãç ¨ ¯à¨¬¥à 3.14 ¡ë«¨ à áᬮâà¥­ë ¢ëè¥.…᫨ α = β = 21 , â® f (x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.4), ¥á«¨ α = β = 23 | ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (¯à¨¬¥à 3.5).

…᫨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.14 α ¨ β ïîâáï à 樮­ «ì­ë¬¨ç¨á« ¬¨, ¢ëà ¦¥­­ë¬¨ ¤à®¡ï¬¨ á ­¥çñâ­ë¬ §­ ¬¥­ ⥫¥¬, â®47p¬®¤ã«¨ ¢ ãá«®¢¨¨ ¬®¦­® ®¯ãáâ¨âì.  ¯à¨¬¥à, f (x, y) = 3 x2 y­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (α = 32 , β = 13 ), f (x, y) =p= 5 x3 y 4 | ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (α = 53 , β = 45 ).pà¨¬¥à 3.15. f (x, y) = 3 x3 + y3 . ˆ¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) =d f (x, 0) = 1,= dxâ ª ª ª f (x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x. €­ «®£¨ç­®,∂f∂y (0, 0) = 1.ã¦­® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥­ «¨ ­ã«î ¯à¥¤¥«lim∆x→0∆y→0f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − ∆x − ∆yp=(∆x)2 + (∆y)2p3(∆x)3 + (∆y)3 − ∆x − ∆yp.= lim∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â ∆x = ρ cos ϕ,= ρ sin ϕ, ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆y =p3ρ3 cos3 ϕ + ρ3 sin3 ϕ − ρ cos ϕ − ρ sin ϕp=ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕq3= cos3 ϕ + sin3 ϕ − cos ϕ − sin ϕ.Š®­¥ç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ, ¯à¥¤¥«ë ¯® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).p33à¨¬¥à 3.16.

Характеристики

Список файлов книги