МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1238754), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

 ¯à¨¬¥à,f (x, y) = ln(1 + sin2 (exy − 3) − x5 − y 4 ) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®©â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ «®£ à¨ä¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®.§ 2.ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権‚ᥠ¯à¨¬¥àë í⮣® ¯ à £à ä ä®à¬ã«¨àãîâáï ®¤¨­ ª®¢®:­ ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­­®© ä㭪樨. â® §­ ç¨â,çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0 , y0 ) â ª®©, çâ® f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨, ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨f (x, y) ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ (â.¥. ®¯¨á âì ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨ â®çª¨ à §àë¢ ).½ 2+ y 2 )xy , x2 + y 2 > 0;à¨¬¥à 2.1.

f (x, y) = (x1,x = y = 0.’ ª ª ª ¯à¨ x2 + y2 > 0 f (x, y) = exy ln(x2 +y2 ) , â® ¢ ª ¦¤®© â ª®© â®çª¥ äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ª ª á㯥௮§¨æ¨ïí«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権. Žáâ ñâáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¢ â®çª¥ (0, 0).ãáâì g(x, y) = xy ln(x2 + y2 ). ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬.|g(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| = |ρ2 cos ϕ · sin ϕ · ln ρ2 | 6 2ρ2 | ln ρ|(§¤¥áì ¬ë ã竨, çâ® ln ρ < 0 ¯à¨ 0 < ρ < 1).Š ª ¨§¢¥áâ­®, lim ρ2 ln ρ = 0, ¯®í⮬ãρ→+0lim g(x, y) = 0.x→0y→0® ⥮६¥ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© (ã⢥ত¥­¨¥ 1.3), limf (x, y) =x→0= exp( lim g(x, y)) = e0 = 1.(0, 0).x→0y→0y→0‡­ ç¨â, f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ˆâ ª, f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ½ ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.1à¨¬¥à 2.2.

f (x, y) = x sin y , y 6= 0; (á¬. ã¯à ¦­¥-­¨¥ 1.2).0,y=024 ) ”ã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0 , y0 ), £¤¥(ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).¡) „ «¥¥, limx sin y1 = 0 (¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®x→0y0 6= 0y→0¬ «®©ä㭪樨½x1 , y 6= 0;siny=).0,y=0f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î ϕ(y) =‡­ ç¨â, limf (x, y) = f (0, 0), ¨ äã­ªæ¨ïx→0y→0â®çª¥ (0, 0).¢)  áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0 , 0), £¤¥ x0 6= 0.

„®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áã0y→0é¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , 0) ¨ (xk , yk ) 6= (x0 , 0),k→∞¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ lim (xk , yk ) = b. ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìk→∞000000­®á⨠(xk , yk ) ¨ (xk , yk ), £¤¥ x0k = x0 , yk0 = 2πk1+ π ; x00k = x0 ,yk00 1, k = 1,=2πk − π222, . . . , 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬,f (x0k , yk0 ) = x0 , f (x00k , yk00 ) = −x0 , â.¥. b = x0 = −x0 . ’ ª ª ªx0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® f (x, y) à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 , 0).½ arctg x − arctg y, x 6= y ;x−yà¨¬¥à 2.3. f (x, y) = x0,x = y. ) ”ã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0 , y0 ), £¤¥y0 6= x0 (ª ª १ã«ìâ ⠯ਬ¥­¥­¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権ª í«¥¬¥­â à­ë¬ äã­ªæ¨ï¬ ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).¡) ® ⥮६¥ ‹ £à ­¦ ¤«ï «î¡ëå x, y ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ arctg x − arctg y = 1 +1 ξ 2 (x − y), £¤¥ â®çª ξ «¥¦¨â¬¥¦¤ã x ¨ y.

’ ª ª ª 0 < 1 +1 ξ 2 6 1, â® | arctg x−arctg y| 6 |x−− y|«î¡ëå x ¨ y. ’®£¤ f (x, y) = x · ϕ(x, y), £¤¥ ϕ(x, y) =½ ¤«ïarctg x − arctg y, x 6= y ; ‡­ ç¨â, lim f (x, y) = 0 (¯à®¨§¢¥x−y=x→00,x = y.y→0¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î25ϕ(x, y);¨§ ¯à¨¢¥¤ñ­­®© ¢ëè¥ ®æ¥­ª¨ á«¥¤ã¥â, çâ® |ϕ(x, y)| 6 1¯à¨ ¢á¥å x, y).ˆâ ª, limf (x, y) = f (0, 0), ¨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢x→0y→0â®çª¥ (0, 0).¢)  áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0 , x0 ), £¤¥ x0 6= 0. „®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥«0y→x0áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , x0 ) ¨ (xk , yk ) 6=k→∞6= (x0 , x0 ) ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) = b.k→∞y¡¢x0 , x0 + k1(xk , xk )y0 = x00x0x¨á.

2.3® (á¬. à¨á. ³2.3), ¥á«¨ ´¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(xk , xk ),xk = x0 + k1 , ¨ x0 , x0 + k1 , k = 1, 2, . . . , â® ®­¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬. Žâ¬¥â¨¬,çâ®f (xk , xk ) = 0, ´³³lim f x0 , x0 + k1k→∞´arctg x0 + 1 − arctg x0k.= x0 lim1k→∞k®á«¥¤­¨© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ ¯à®¨§¢®¤­®© ä㭪樨 arctg x ¢â®çª¥ x0 , â.¥. 1 +1 x2 . ®í⮬ã b = 0 = 1 +x0x2 . ’ ª ª ª x0 6= 0,00â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f (x, y)à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 , x0 ).

½x ∈ Q, y ∈ Q;à¨¬¥à 2.4. f (x, y) = xy,0,x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.26‚ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ­ «¨§¥ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©¢ à §«¨ç­ëå½ ª®­âà¯à¨¬¥à å ¢áâà¥ç ¥âáï äã­ªæ¨ï „¨à¨å«¥:1, x ∈ Q,D(x) = áᬠâਢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥0, x 6∈ Q.६¥­­ëå ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ äã­ªæ¨î „¨à¨å«¥: f (x, y) == xyD(x)D(y). )  áᬮâਬ â®çªã, «¥¦ éãî ­ ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå, â.¥.â®çªã (x0 , y0 ) â ªãî, çâ® x0 y0 = 0, â.¥. å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ §­ 祭¨© x0 ¨«¨ y0 ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. ãáâì, ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®áâ¨,x0 = 0. ’®£¤ , ¥á«¨ ¢§ïâì ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ (0, y0 ) à ¤¨ãá 1,â® ¢ ­¥© |y| < |y0 | + 1, ¨ |yD(x)D(y)| < |y0 | + 1. ®í⮬ã äã­ªæ¨ï f (x, y) ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î yD(x)D(y).

‡­ ç¨â, limf (x, y) = 0 =x→0= f (0, y0 ).”ã­ªæ¨ïf (x, y)y→y0­¥¯à¥à뢭 ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©â®çª¥.¡)  áᬮâਬ â®çªã, ­¥ «¥¦ éãî ­ ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå,â.¥. â®çªã (x0 , y0 ) â ªãî, çâ® x0 y0 6= 0. „®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢0y→y0­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©,çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ) ¨ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ), ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ëk→∞à ¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) = b. ® ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ì­ëåk→∞ç¨á¥« x0 , y0 ­ ©¤ãâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« x0k , yk0 , ¨àà 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« x00k , yk00 â ª¨¥, çâ® lim x0k =k→∞= x0 , lim x00k = x0 , x0k 6= x0 , x00k 6= x0 ; lim yk0 = y0 , lim yk00 =k→∞k→∞k→∞= y0 , yk0 6= y0 , yk00 6= y0 . ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (x0k , yk0 )¨ (x00k , yk00 ) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬; f (x0k , yk0 ) = x0k yk0 ;lim f (x0k , yk0 ) = x0 y0 , f (x00k , yk00 ) = 0.

®í⮬ã b = x0 y0 = 0.k→∞’ ª ª ª x0 y0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f (x, y) à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 ; y0 ).“¯à ¦­¥­¨¥ 2.1.  ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­­®© ä㭪樨: ( ³´x+yp32 + y2x, x2 + y 2 > 0, ) f (x, y) =0,x = y = 0;27½¡) f (x, y) =¢) f (x, y) =£)(x2 + y 2 ) cos 12 , x 6= 0,xx = 0;( 0,x3 y − x2 y 2,x3 − y 3½ 0,2x + y2,f (x, y) =0,x 6= y ,x = y;x ∈ Q, y ∈ Q,x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.III. „ˆ””……–ˆ“…ŒŽ‘’œ ”“Š–ˆˆ…‘ŠŽ‹œŠˆ• ……Œ…›•§ 1.— áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.

— áâ­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® x ä㭪樨¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y) ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f (x, y0 ) ¢ â®çª¥ x0 . — áâ­®©¯à®¨§¢®¤­®© ¯® y ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y) ¢ â®çª¥(x0 , y0 ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©f (x0 , y) ¢ â®çª¥ y0 (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® í⨠¯à®¨§¢®¤­ë¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ª®­¥ç­ë).‘¨¬¢®«¨ç¥áª¨ í⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë â ª∂f(x0 , y0 ) =∂x∂f(x0 , y0 ) =∂y¯d¯f (x, y0 )¯;dxx=x0¯d¯f (x0 , y)¯.dyy=y0(3.1)„«ï ç áâ­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® x ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) ¯à¨¬¥­ï0¥âáï ᨬ¢®« ∂f∂x (x0 , y0 ) ≡ fx (x0 , y0 ). „«ï ç áâ­®© ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® y ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) ¯à¨¬¥­ï¥âáï ᨬ¢®« ∂f∂y (x0 , y0 ) ≡0≡ fy (x0 , y0 ).

¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.1) ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ∂f∂x (x0 , y0 ) ­ã¦­® § 䨪á¨à®¢ âì ¯¥à¥¬¥­­ãî y == y0 , ¨ ¯®«ã祭­ãî äã­ªæ¨î ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f (x, y0 ) ¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ âì ¯® í⮩ ¯¥à¥¬¥­­®© x ¢ â®çª¥ x0 . Ž¯¥à æ¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x ®¡®d . €­ «®£¨ç­® ®¡êïá­ï¥âáï ¢â®à®¥ ¨§§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ dxà ¢¥­á⢠(3.1).…᫨ ¢á¯®¬­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ä㭪樨 ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®©, â® à ¢¥­á⢠(3.1) ¬®¦­® § ¯¨á âì â ª∂ff (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )(x0 , y0 ) = lim;∆x→0∂x∆x∂ff (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )(x0 , y0 ) = lim∆y→0∂y∆y29(í⨬¨ à ¢¥­á⢠¬¨ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ §­ 祭¨ï ¯à®¨§¢®¤­®© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ­¥«ì§ï ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¨§¢¥áâ­ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï).‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ç áâ­ãî¯à®¨§¢®¤­ãî ä㭪樨 f (x1 , .

. . , xn ) ¯® ¯¥à¥¬¥­­®© xi ¢ â®çª¥(x01 , . . . , x0n ) ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª¯d∂f 0¯(x1 , . . . , x0n ) =f (x01 , . . . , x0i−1 , xi , x0i+1 , . . . , x0n )¯.∂xidxixi =x0i‚ ­ áâ®ï饬 ¯®á®¡¨¨ ¬ë ¢ ®á­®¢­®¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.…᫨ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), äã­ªæ¨ïf (x, y) ï¥âáï á㯥௮§¨æ¨¥© í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権, â®ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¬®¦­® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ®¡ëç­ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï, áç¨â ï ®¤­ã ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯ à ¬¥â஬.  ¯à¨¬¥à,1∂(3x2 y 3 + ex + ln(x − sin y)) = 6xy 3 + ex +;∂xx − sin y∂cos y(3x2 y 3 + ex + ln(x − sin y)) = 9x2 y 2 −;∂yx − sin yµ¶∂ x2 − y 2(x2 + y 2 ) · 2x − (x2 − y 2 ) · 2x=;22∂x x + y(x2 + y 2 )2µ¶∂ x2 − y 2−2y(x2 + y 2 ) − (x2 − y 2 ) · 2y=.∂y x2 + y 2(x2 + y 2 )2®á«¥¤­¨¥ ¤¢ à ¢¥­á⢠¢ë¯®«­ïîâáï ¢® ¢á¥å â®çª å, ªà®¬¥(0, 0).

…᫨ ¦¥ ¤®®¯à¥¤¥«¨âì äã­ªæ¨î(f (x, y) =x2 − y 2,x2 + y 21,x2 + y 2 > 0;x = y = 0,â® ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥ (0, 0) ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ®¯ïâìâ ª¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î. ˆ¬¥¥¬¯∂fd¯(0, 0) =f (x, 0)¯ .∂xdxx=030½x 6= 0,â.¥. f (x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. à®® f (x, 0) = 1,1, x = 0,¨§¢®¤­ ï â ª®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x à ¢­ 0 ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ x = 0. ‡­ ç¨â, ∂f∂x (0, 0) = 0. ‘¯¯d¤à㣮© áâ®à®­ë, ∂f∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯y=0 . ’ ª ª ª f (0, y) =½−1, y 6= 0;=â® íâ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© y ­¥ ¨¬¥¥â1,y = 0,¯à®¨§¢®¤­®© ¢ â®çª¥ y = 0.

‡­ ç¨â, ∂f∂y (0, 0) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.ˆ­®£¤ ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ â®çª¥ ¯à¨å®¤¨âáï ¢ëç¨á«ïâì ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.∂fà¨¬¥à 3.1. ‚ëç¨á«¨âì ∂f∂x ¨ ∂y ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®á⨤«ï ä㭪樨(f (x, y) =³´exp − 2 1 2 ,x +y0,x2 + y 2 > 0;x = y = 0.‚áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0)¶µ12x∂f= exp − 2· 2;∂xx + y2(x + y 2 )2µ¶∂f12y= exp − 2· 2.2∂yx +y(x + y 2 )2¯d f (x, 0)¯¯(0,0)=.„ «¥¥, ∂f∂xdx(³´ x=01® f (x, 0) = exp − x2 , x 6= 0;0,x = 0.à®¨§¢®¤­ãî â ª®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¢ â®çª¥ x == 0 ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ⮫쪮 ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î¯f (∆x) − f (0)d¯f (x, 0)¯== lim∆x→0dx∆x ³x=0´2exp − 12e−uut= lim 1 = lim u2 .= limu→∞u→∞t→0teu31∞ à áªàë¢ ¥¬ ¯® ¯à ®«ã祭­ãî ­¥®¯à¥¤¥«ñ­­®áâì ¢¨¤ ∞= 0. ‡­ ç¨â, ∂f¢¨«ã ‹®¯¨â «ï: u→∞lim u 1∂x (0, 0) = 0. €­ e2· 2u«®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.…᫨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(çâ® à ¢­®á¨«ì­® áãé¥á⢮¢ ­¨î ª®­¥ç­®© ¯à®¨§¢®¤­®©), â®®­ ­¥¯à¥à뢭 ¢ í⮩ â®çª¥.

Ž¡à â­®¥ ­¥¢¥à­® (­ ¯à¨¬¥à,äã­ªæ¨ï |x| ­¥¯à¥à뢭 , ­® ­¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤­®© ¢ â®çª¥ 0).„«ï ä㭪権 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ¤¥«® ®¡á⮨â á«®¦­¥¥.à¨¬¥à 3.2.  áᬮâਬ äã­ªæ¨î(f (x, y) =(x + y)2,x2 + y 21,x2 + y 2 > 0;x = y = 0.â äã­ªæ¨ï ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥¯à¨¬¥à 1.1). ‚¬¥á⥠á ⥬,¯∂fd¯(0, 0) =f (x, 0)¯= 0,∂xdxx=0½1, x 6= 0,f (x, 0) =â.¥. f (x, 0) ≡ 1,1, x = 0,(0, 0)(á¬.â ª ª ª¨ ¯à®¨§¢®¤­ ïí⮩ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¢ «î¡®© â®çª¥ à ¢­ 0. €­ «®£¨ç­®, ∂f∂y (0, 0) = 0.Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®¨§®©â¨ â ª, çâ® äã­ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥, ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©? Š § «®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨, ¨¬¥î饩¯à®¨§¢®¤­ãî.

® ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® ­ «¨ç¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ®§­ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëåf (x, y) «¨èì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ­­®¬ x ¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ y . ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà¥áâã ¨§ ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯ à ««¥«ì­ëå ª®®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬, ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ â®çªã (x0 , y0 ).‚® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå â®çª å ¨§ ®ªà¥áâ­®á⨠(x0 , y0 ) äã­ªæ¨ï ¬®¦¥â ¢¥á⨠ᥡï ᪮«ì 㣮¤­® ¯«®å®, ¤ ¦¥ ¬®¦¥â áâ६¨âìáï ª∞ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬, ­¥ ᮢ¯ ¤ î騬 á ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬¨ ª®®à¤¨­ â­ëå ®á¥©. ¥¯à¥à뢭®áâì ¦¥ ä㭪樨 ¢ â®çª¥ (x0 , y0 )®§­ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ¢® ¢á¥© ý⮫á⮩þ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ®¡¥32ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥, ®¡ï§ ­ ¡ëâì ­¥¯à¥à뢭®© ¯®ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ í⮩ â®çª¥, ­® ­¥ ®¡ï§ ­ ¡ëâì ­¥¯à¥à뢭®© ª ª äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.à¨¬¥à 3.3.

Характеристики

Список файлов книги