МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1238754), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

®¤ç¥àª­ñ¬, ¥éñ à §, çâ® ¢ íâ¨åà §«®¦¥­¨ïå ρ ï¥âáï ­¥ ­¥§ ¢¨á¨¬®©¯¥à¥¬¥­­®©, äã­ªp22樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ρ(x, y) = x + y ; ¯®í⮬ã o(ρ6 ) ­ã¦­®¯®­¨¬ âì ª ª o((x2 + y2 )3 ) ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¤¢ãå18¯¥à¥¬¥­­ëå. ¥¯®­¨¬ ­¨¥ í⮣®, â ª¦¥ ⮣®, çâ® ¢ à ¢¥­á⢥ (1.2) u(x, y) ¤®«¦­ ¡ëâì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥©¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ®è¨¡®ç­ë¬ ¢ë¢®¤ ¬.‚ᯮ¬­¨¬, ­ ¯à¨¬¥à, çâ® äã­ªæ¨ï ¨§ ¯à¨¬¥à 1.3 ­¥ ¨¬¥¥â¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0, ¨ à áᬮâਬ ®è¨¡®ç­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0.Ÿá­®, çâ® f (x, 0) = 0 ¯à¨ x 6= 0. …᫨ y 6= 0, â® f (x, y) =x2y=³ 2 ´2 .1 + xy’ ª ª ªlim u(x, y) = 0,ρ→+0− u3 +¨222ϕcos2 ϕu(x, y) = xy = ρρ cossin ϕ = ρ sin ϕ ,f (x, y) =o(ρ3 ); lim f (x, y) = 0.â®u= u(1 − u2 + o(u2 )) = u −1 + u2x→0y→0Žè¨¡ª á®á⮨⠢ ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï u(x, y) ¢á¥£® «¨è쨬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ (â.¥.¯à¥¤¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0) ¨ ­¥ ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.

 ¯¨á ­­ë¥ o ¬ «ë¥ ®¯ïâì-â ª¨ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì «¨èì ª ª o ¬ «ë¥ ¯à¨ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ, ¨ ¢ ¨â®£¥ ¬ë ¤®ª § «¨«¨èì â®, çâ® ¯à¥¤¥« f (x, y) à ¢¥­ 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.à¨¬¥à 1.8.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x sin y − y sin x,(x2 + y 2 )3/2x2 + y 2 > 0.33sin y = y − y6 + o(y 3 ) = y − y6 + o(ρ3 ); sin x = x −33− x6 + o(x3 ) = x − x6 + o(ρ3 ) (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ®|x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨ o(ρ3 ) ¯®­¨¬ ¥âáï ª ª o((x2 + y 2 )3/2 ) ¢ á¬ëá«¥x sin y − y sin x =¯à¥¤¥« ¯¥à¥¬¥­­ëå).’®£¤ ³ ä㭪樨 ¤¢ãå´³´’ ª ª ª33= x y − y6 + o(ρ3 ) − y x − x6 + o(ρ3 )3xy 3= yx −+ o(ρ4 );6§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ® x · o(ρ3 ) = x · α(x, y) · ρ3 = β(x, y) · ρ4 ,£¤¥ β(x, y) = xρ · α(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y →¯ 3¯¯xy 3 ¯ρ4→ 0; ­ «®£¨ç­®, y · o(ρ3 ) = o(ρ4 ).

’ ª ª ª ¯ yx −¯6 3,619¡¢â® x sin y − y sin x = o(ρ3 ) + o(ρ4 ) = o(ρ3 ) = o (x2 + y2 )3/2 ,lim f (x, y) = 0.x→0y→0à¨¬¥à 1.9. „®ª ¦¥¬, çâ®xlim x sin 2y − y2sin2x→0y→0¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, x sin y − y sin x =(x + y )¨­¥ áãé¥áâ-yx3 − xy 3+ o(ρ4 ),6¯®í⮬ãx sin y − y sin xyx3 − xy 3o((x2 + y 2 )2 )=+.(x2 + y 2 )26(x2 + y 2 )2(x2 + y 2 )2‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© ­ã«î; ¯®í⮬㠤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0.

¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ, ¨¬¥¥¬sin ϕ cos3 ϕ − cos ϕ · sin3 ϕρ4 sin ϕ · cos3 ϕ − ρ4 cos ϕ · sin3 ϕ=.266ρ4 (cos2 ϕ + sin ϕ)2® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ | à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.6. „®ª § âì, çâ®ln(1 + x3 + y 3 ) ) lim= 0;x→0x2 + y 2y→0¡)limx→0y→0sh x · ln(y +p1 + y 2 ) − sin y · arcsin x= 0.(x2 + y 2 )5/2“¯à ¦­¥­¨¥ 1.7.

„®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: )¡)1 − cos(x3 + y 3 );x→0x6 + y 6y→0psh x · ln(y + 1 + y 2 ) − sin y · arcsin xlim.x→0(x2 + y 2 )3limy→0II. ……›‚Ž‘’œ ”“Š–ˆˆ…‘ŠŽ‹œŠˆ• ……Œ…›•§ 1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ¯à¥¤¥« ¥¯à¥à뢭®áâì ¢ â®çª¥ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ë宯।¥«ï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1.

”ã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a ∈ Rn , ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢â®çª¥ ~a, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim f (~x) = f (~a).~x→~a…᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥« ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äã­ªæ¨ï®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠~a, ¢ á ¬®© â®çª¥ ¬®¦¥â¡ëâì ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢®¢á¥, ⮠⥯¥àì ®­ ¤®«¦­ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¨ ¢ á ¬®© â®çª¥ ~a, ¯à¨çñ¬ ¯à¥¤¥« ¤®«¦¥­ ¡ëâì à ¢¥­ §­ 祭¨î ä㭪樨 ¢ â®çª¥.  ¯®¬­¨¬, çâ® δ -®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨~a | íâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® ρ(~x,~a) < δ ; ¥á«¨ ¨§í⮩ δ -®ªà¥áâ­®á⨠㤠«¨âì â®çªã ~a | ¯®«ã稬 ¯à®ª®«®âãà¥áâ­®áâì. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¬®¦­® à áè¨ä஢ âì ª ª ¢ â¥à¬¨­ å Š®è¨, â ª ¨ ¢ â¥à¬¨­ å ƒ¥©­¥.® Š®è¨: äã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« ε ­ ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® δ , çâ® ¤«ï ¢á¥å ~x ¨§ δ -®ªà¥áâ­®á⨠~a ¢ë¯®«­ï¥âáï­¥à ¢¥­á⢮ |f (~x) − f (~a)| < ε. ï§ëª¥ ª¢ ­â®à®¢:∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀ x, ρ(~x,~a) < δ→|f (~x) − f (~a)| < ε.® ƒ¥©­¥: äã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠~xk â ª®©, çâ® lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«k→∞­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ lim f (~xk ) = f (~a).k→∞Ž£®¢®àª ~xk 6= ~a ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ­¥ ­ã¦­ .Š ª ¨ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥« , ¢á¥ ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¥ ®â«¨ç¨ï ¬­®£®¬¥à­®£® á«ãç ï ®â ®¤­®¬¥à­®£® ¯à®ï¢«ïîâáï 㦥21¯à¨ n = 2, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y).Ž¡êñ¬ ­ áâ®ï饣® ¯®á®¡¨ï ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ­ ¬ ­¥áª®«ìª®ãá«®¦­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1 ¨ à áᬮâà¥âì ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã (â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®­ï⨥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã); ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ä㭪樨, ®¯à¥¤¥«ñ­­ë¥ ¢ ­¥ª®â®à®© δ ®ªà¥áâ­®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¨ ~a (¢ ¤¢ã¬¥à­®¬ á«ãç ¥ |â®çª¨ (x0 , y0 )).€­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.3, ¢¢¥¤ñ¬ ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 ¯® ¤ ­­®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.2.

ãáâì ~l = (cos ϕ, sin ϕ) | ¥¤¨­¨ç­ë©¢¥ªâ®à. ”ã­ªæ¨ï f (x, y), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ~l, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρf (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ)­¥¯à¥à뢭 á¯à ¢ ¢ â®çª¥ 0, â.¥.lim f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) = f (x0 , y0 ).ρ→+0¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (1, 0) ®§­ ç ¥â, çâ®â.¥. lim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ).ρ→+0x→x0 +0‚®®¡é¥, ¥á«¨ x→xlim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ), â® £®¢®àïâ ® ­¥¯à¥àë¢0­®á⨠ä㭪樨 f (x, y) ¯® x ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) (­¥¯à¥à뢭®áâì ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (1; 0) | íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® x á¯à ¢ ).€­ «®£¨ç­®, ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (0, 1) |íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® y á¯à ¢ .((x + y)2, x2 + y 2 > 0; ­¥¯à¥à뢭 ”ã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 + y 2lim f (x0 + ρ, y0 ) = f (x0 , y0 ),1,x=y=0ª ª ¯® x, â ª ¨ ¯® y ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.1). â® §­ ç¨â,çâ® ®­ ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1).

® ¢á¥¬ ®áâ «ì­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬®­ ­¥ ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭®©, â ª ª ª f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = (cos ϕ ++ sin ϕ)2 , íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 1 ⮫쪮 ¯à¨ ϕ = π2 k ,k ∈ Z,ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ç¥âëàñå 㪠§ ­­ëå ¢¥ªâ®à®¢.22(”ã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 y,x + y240,x2 + y 2 > 0; ­¥¯à¥à뢭 ¯®x=y=0(0, 0), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢-«î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢ â®çª¥­®© ¢ í⮩ â®çª¥ (á¬. ¯à¨¬¥à(1.2).€ ¢®â äã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 y,x + y220,x2 + y 2 > 0;x=y=0ï¥âáï­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.3).…᫨ ä㭪樨 f (x, y) ¨ g(x, y) ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ),â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨ ç áâ­®¥ â ª¦¥ ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ í⮩â®çª¥ (¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ­ ¤® âॡ®¢ âì, ç⮡ë g(x0 , y0 ) 6=6= 0).

®í⮬ã ä㭪樨 ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.1{1.3 ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ª ¦¤®© â®çª¥, ®â«¨ç­®© ®â (0, 0); ¯®á«¥¤­ïï ¯®á«¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨ï f (0, 0) = 0 áâ ­¥â ­¥¯à¥à뢭®© ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®áâ¨;¯¥à¢ë¥ ¤¢¥, ª ª ¨å ­¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢áñ à ¢­® ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢ í⮩ â®çª¥ à §àë¢.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.3. ’®çª (x0 , y0 ) ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© à §àë¢ ä㭪樨 f (x, y), ¥á«¨ f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥.ˆ§ ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ ¨§¢¥á⭠⥮६ ® ­¥¯à¥à뢭®á⨠᫮¦­®© ä㭪樨.ãáâì äã­ªæ¨ï f (x1 , . .

. , xn ) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥(x01 , . . . , x0n ), ä㭪樨 x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn (t1 , . . . , tk )­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (t01 , . . . , t0k ).’®£¤ , ¥á«¨ x01 =0000= x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = xn (t1 , . . . , t0k ), â® á«®¦­ ïäã­ªæ¨ï f (x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn (t1 , . . . , tk )) ­¥¯à¥à뢭 ¢â®çª¥ (t01 , .

. . , t0k ).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢­ãâ७­¨¥ ä㭪樨 x1 , . . . , xn ¬®£ãâ ¡ëâìäã­ªæ¨ï¬¨ ®â à §­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëå; ­ ¯à¨¬¥à, x1 == x1 (t1 , t2 ), x2 = x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 = x3 (t1 , t2 , . . . , t10 ). ’®£¤ ¢ ª ç¥á⢥ k ¬®¦­® ¢§ïâì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ íâ¨å ç¨á¥«; ¢ ­ 襬á«ãç ¥ k = 10.Žâáî¤ ¨ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï á㯥௮§¨æ¨ï í«¥¬¥­â à-23­ëå ä㭪権 ®â ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠ª®â®à®© ®­ ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®© ç¥à¥§ í«¥¬¥­â à­ë¥ ä㭪樨.

Характеристики

Список файлов книги