МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1238754), страница 8
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¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ®ç¥¢¨¤ ï 楯®çª âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© 1 − cos4 α = (1 + cos2 α)(1 −− cos2 α) 6 2 sin2 α.¶( µxਬ¥à 3.25. f (x, y) = y 1 − cos p|y| , y 6= 0,0,y = 0. ª ª ª f (x, 0) =¯ 0 ¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = 0 ¯à¨¯ ¢á¥å y , ⮯¯∂f∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = 0, ∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯y=0 = 0.㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«¶µ∆xp∆y 1 − cosf (∆x, ∆y) − f (0, 0)|∆y|plim p= lim=∆x→022∆x→022(∆x)+(∆y)(∆x)+(∆y)∆y→0∆y→0¶µ∆x2p∆y · 2 sin2 |∆y|p= lim.∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«îµ2|∆y|p∆x2 |∆y|ρ¶2=(∆x)2ρ2ρ6= .2ρ2ρ2 ¯à¨¢¥¤ñ®© 楯®çª¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© áç¨â «®áì, çâ®6= 0, ® ®ª®ç ⥫ì ï ®æ¥ª ∆y 6=¯¯¯ f (∆x, ∆y) − f (0, 0) ¯ ρ¯¯¯ p¯6 ,22¯(∆x) + (∆y) ¯ 2£¤¥p(∆x)2 + (∆y)2 ,á¯à ¢¥¤«¨¢ , ®ç¥¢¨¤®, ¨ ¯à¨ ∆y == 0.
ਠí⮬ ¤ ¦¥ ¥ ¯à¨è«®áì ä®à¬ «ì® ¯¥à¥å®¤¨âì ª¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬. ã¦ë© ¬ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥0, f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).³ ´2(x + y) arctg xy , y 6= 0,ਬ¥à 3.26. f (x, y) = πy = 0.2 x,ρ=56 ª ª ª f (x, 0) =πx2¯¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y,¯¯¯∂fπ ∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = 2 , ∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯y=0 = 0.â® ª ª ª f (0, 0) = 0, ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − π2 ∆xplim=∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0´2³(∆x + ∆y) arctg ∆x− π2 ∆x∆yp.= lim∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤³´ϕ 2(ρ cos ϕ + ρ sin ϕ) arctg ρρ cos− π2 ρ cos ϕsin ϕp=ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ= (cos ϕ + sin ϕ) arctg(ctg2 ϕ) −πcos ϕ,2â.¥. ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. ।¥«ë ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).ਬ¥à 3.27.f (x, y) =r3x6 + y 6,|x| + y 2x2 + y 2 > 0,x = y = 0.4/3 ¯à¨ ª ª ª f (x, 0) =¯¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = y¯∂fd f (x, 0)¯¯d f (0, y)¯¯y , â® ∂f(0,0)=(0,0)==0,∂xdx∂ydy0,|x|5/3= 0.lim∆x→0∆y→0x=0㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«¢á¥åy=0=f (∆x, ∆y) − f (0, 0)p=(∆x)2 + (∆y)2p3(∆x)6 + (∆y)6p= lim p.∆x→0 3|∆x| + (∆y)2 (∆x)2 + (∆y)2∆y→0 ª ª ª á ¨â¥à¥áã¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ¢ ¥ª®â®à®©®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (0, 0), â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® |∆x| 6 1.®£¤ |∆x| > (∆x)2 , ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ®æ¥¨âáï ᢥàåãç¥à¥§57p3√(∆x)6 + (∆y)62ρ63pp6=2ρ1/3 .2/332222ρ ·ρ(∆x) + (∆y) (∆x) + (∆y)¯¯p¯ f (∆x, ∆y) − f (0, 0) ¯√¯¯ 6 3 2ρ1/3 , £¤¥ ρ = (∆x)2 + (∆y)2 ,â ª, ¯ p22 ¯p3(∆x) + (∆y)¨ ¨â¥à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0.
ãªæ¨ï f (x, y)¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).ਬ¥à 3.28. ( ©â¨ ¢á¥ § 票ïα ¨ ´A, ¯à¨ ª®â®àëå³π22α22äãªæ¨ï f (x, y) = (x + 2y ) sin 3 − x + y , x + y > 0,A,x = y = 0,¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å α ¨ A ©â¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ « df (0, 0).®ï⨥ ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 äãªæ¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢¢¥¤¥® ¤«ï äãªæ¨© ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå «®£¨ç® ®¤®¬¥à®¬ã á«ãç î: lim f (~x) = ∞, ¥á«¨~x→~a∀E > 0 ∃δ > 0 :∀~x ∈ Ůδ (~a) → |f (~x)| > E. ᫨ äãªæ¨ï g(~x) ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ~x → ~a ¨ ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠~a, â® f (~x) =1 | ¡¥áª®¥ç® ¡®«ìè ï ¯à¨ ~x → ~a.= g(~x) ª ª ª ¯à¨ α < 0 äãªæ¨ï (x2 + 2y2 )−α ï¥âáï ¡¥áª®2¥ç® ¬ «®© ¯à¨ x → 0, y³ → 0, â® (x2y 2 )α | ¡¥áª®¥ç®´ +√¡®«ìè ï.
ª ª ª limsin π3 − x + y = 23 , â® f (x, y) â ª¦¥x→0y→0ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¯à¨ x → 0, y → 0 ( «®£¨ç®®¤®¬¥à®¬ã á«ãç î ¬®¦® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ lim f1 (~x) = ∞,~x→~alim f2 (~x) = C 6= 0, â® lim f1 (~x)f2 (~x) = ∞). ç¨â, ¯à¨ α <~x→~a~x→~a< 0 äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¥ï¢«ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥³(0, 0).´à¨ α = 0 äãªæ¨ï f (x, y) = sin π3 − x + y . ¤¨áâ¢¥ë¬ § 票¥¬ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ f (x, y) ¡ã¤¥â ª ª ¥¯à¥à뢮©,√â ª ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ï¥âáï A = 23 .
à¨58í⮬ § 票¨ A äãªæ¨ï f (x, y) ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¤ ¦¥ ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ df (0, 0) ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ «ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï:df (x, y) = cos³π3´− x + y (dy − dx); ª®¥æ, ¯à¨ α > 0df (0, 0) =lim f (x, y) = 0.x→0y→01(dy − dx).2®í⮬ã f (x, y) ¡ã¤¥â¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ A = 0.«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠à áᬮâਬ á ç « äãªæ¨î g(x, y)¯ = (x2 + 2y2 )α .
ª|x|2α , ⮯ ª ª g(x, 0) = 2α¯|∆x|∂gdd2α ¯lim ∆x | ¥∂x (0, 0) = dx g(x, 0)¯x=0 = dx (|x| )¯x=0 = ∆x→0áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ 0 < α 6 21 . ç¨â, g(x, y) ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0). ® ¥á«¨ ¡ë f (x, y) ¡ë« ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), â® ¨ g(x, y) = ³fπ(x, y) ´ ¡ë« sin 3 − x + y¡ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥, íâ® ¥ â ª. ç¨â, ¯à¨0 < α 6 12 äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).¯∂gd |x|2α ¯¯(0, 0) = dx= 0. «®£¨ç®,¯ ∂x¯ x=0¯∂gddα2α ¯∂y (0, 0) = dy g(0, y)¯y=0 = dy (2 |y| )¯y=0 = 0. ª ª ªà¨ α > 21 ¨¬¥¥¬:¯¯¯ g(∆x, ∆y) − g(0, 0) ¯ ((∆x)2 + 2(∆y)2 )α(3ρ2 )α¯¯= 3α ρ2α−1 ,6= p¯ p¯2222¯¯ρ(∆x) + (∆y)(∆x) + (∆y)¨ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, â®äãªæ¨ï g(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ dg(0, 0) = 0. ç¨â, ¯à¨ α > 12 äãªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨©, ¨df (x, y) =´³π´− x + y + g(x, y) · cos− x + y (dy − dx),33ππdf (0, 0) = dg(0, 0) · sin + g(0, 0) · cos · (dy − dx) = 0.33= dg(x, y) sin³π59⢥â.√¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ α = 0,A =(¢ í⮬ á«ãç ¥ df (0, 0) = 12 (dy − dx)) ¨ ¯à¨ α > 12 ,A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df (0, 0) = 0). áᬮâਬ ¯à¨¬¥àë, ª®£¤ 㦮 ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ¥ ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢ ¤à㣨å â®çª å ¯«®áª®áâ¨.ਬ¥à 3.29.
áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâìäãªæ¨î f (x, y) = log2 (5 + |x − 1|5/7 · |y + 2|1/3 ) ¢ â®çª¥ (1, −2). áᬮâਬ á ç « äãªæ¨î u(x, y) = |x − 1|5/7 |y + 2|1/3 . ª ª ª u(x, −2) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, u(1, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®f (x, y)32¯∂ud¯(1, −2) =u(x, −2)¯= 0;∂xdxx=1¯d∂u¯(1, −2) =u(1, y)¯= 0.∂ydyy=−2 ª ª ª u(1, −2) = 0, â® ¯à®¢¥à¨¬, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«lim∆x→0∆y→0|∆x|5/7 |∆y|1/3u(1 + ∆x, −2 + ∆y) − u(1, −2)p= lim p.∆x→02 + (∆y)2(∆x)2 + (∆y)2(∆x)∆y→0®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤∆y = ρ sin ϕ,∆x = ρ cos ϕ,ρ22/21 | cos ϕ|5/7 | sin ϕ|1/3ρ5/7 | cos ϕ|5/7 ρ1/3 | sin ϕ|1/3p=6 ρ1/21 .ρρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0,§ ç¨â, ¨â¥à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, äãªæ¨ïu(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1, −2).¥èïï äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© g(u) = log2 (5+u) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = 0.
® ⥮६¥ ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠᫮¦®© äãªæ¨¨ äãªæ¨ï f (x, y) = g(u(x, y)) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1, −2).ਬ¥à 3.30. áá«¥¤®¢ âìp ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâìäãªæ¨î f (x, y) = (2x2 − y2 − 1) x2 + y2 − xy − x − y + 1 ¢â®çª¥ (1, 1).⬥⨬, çâ® f (1, 1) = 0. «¥¥,pf (1, y) = (1 − y 2 ) y 2 − 2y + 1 = (1 − y 2 )|y − 1| ¯à¨ ¢á¥å y,60pf (x, 1) = (2x2 − 2) x2 − 2x + 1 = 2(x2 − 1)|x − 1| ©¤ñ¬ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥¯ äãªæ¨¨∂fd¬¥¥¬: ∂x (1, 1) = dx f (x, 1)¯¯ = limf (x, y)¯à¨ ¢á¥å x.¢ â®çª¥ (1, 1).2((1 + ∆x)2 − 1)|∆x|=∆x∆x→0x=1= 2 lim (2 + ∆x)|∆x| = 0. «®£¨ç®, ∂f∂y (1, 1) = 0.∆x→0áâ ñâáï ¢ëïá¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«lim∆x→0∆y→0f (1 + ∆x, 1 + ∆y) − f (1, 1)p=(∆x)2 + (∆y)2= lim (2(1 + ∆x)2 − (1 + ∆y)2 − 1)×p∆x→0∆y→0(1 + ∆x)2 + (1 + ∆y)2 − (1 + ∆x)(1 + ∆y) − 1 − ∆x − ∆yp=(∆x)2 + (∆y)2p(4∆x − 2∆y + 2(∆x)2 − (∆y)2 ) (∆x)2 + (∆y)2 − ∆x∆yp= lim.∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0׮᫥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤p(4ρ cos ϕ − 2ρ sin ϕ + 2ρ2 cos2 ϕ − ρ2 sin2 ϕ) ρ2 − ρ2 cos ϕ sin ϕ=ρp= ρ(4 cos ϕ − 2 sin ϕ + 2 cos2 ϕ − sin2 ϕ) 1 − cos ϕ sin ϕ,√√¨ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ(4 + 2 + 2 + 1) 1 + 1 = 9ρ 2.â® ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, § ç¨â, ¨â¥à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0.
«¥¤®¢ ⥫ì®, f (x, y)¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1, 1).ਬ¥à 3.31. ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨äãªæ¨¨ f (x, y) = x|y| + y|x|.â® § ç¨â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ (x0 , y0 ) ¯«®áª®á⨠㦮®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨ ¤ ï äãªæ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©¢ í⮩ â®çª¥. ) «î¡®© â®çª¥ (x0 , y0 ), £¤¥ x0 y0 6= 0 (â.¥. ¢ «î¡®© â®çª¥,¥ «¥¦ 饩 ª®®à¤¨ âëå ®áïå) äãªæ¨ï f (x, y) ï¥âáï¤ ¦¥ ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©, â ª ª ª ¢ ¥ª®â®à®©®ªà¥áâ®á⨠í⮩ â®çª¨ § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ç áâë¥61¯à®¨§¢®¤ë¥ (f (x, y) = 2xy ¢ I ç¥â¢¥àâ¨, f (x, y) = −2xy ¢ IIIç¥â¢¥àâ¨, f (x, y) = 0 ¢® II ¨ IV ç¥â¢¥àâïå).¯d f (x, 0)¯¯¡) â®çª¥ (0, 0): ∂f(0,0)== 0, «®£¨ç®∂xdxx=0∂f∂y (0, 0) = 0.lim∆x→0∆y→0∆x|∆y| + ∆y|∆x|f (∆x, ∆y) − f (0, 0)p= lim p= 0,22∆x→02 + (∆y)2(∆x) + (∆y)(∆x)∆y→0â ª ª ª ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ρ cos ϕ|ρ sin ϕ| + ρ sin ϕ|ρ cos ϕ|= ρ(cos ϕ| sin ϕ| + sin ϕ| cos ϕ|),ρ¨ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2ρ.
ç¨â, f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).¢) ®ª ¦¥¬, ª®¥æ, çâ® ¢ â®çª å, «¥¦ é¨å ª®®à¤¨ âëå ®áïå, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0), äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ï¥âá廊ää¥à¥æ¨à㥬®©. áᬮâਬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ®á⨯ â®çªã¯d(x0 , 0), £¤¥ x0 6= 0. ¬¥¥¬ ∂f=∂y (x0 , 0) = dy f (x0 , y)¯¯¯y=0d |y|¯¯d (x |y| + |x |y)¯¯= x0 dy+ |x0 | | ¥ áãé¥áâ¢ã¥â,= dy00y=0y=0¯d |y|¯¯â ª ª ª ¥ áãé¥áâ¢ã¥â dy.
ç¨â, f (x, y) ¥ ï¥âáïy=0¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0 , 0).¯à ¦¥¨¥ 3.5. ®ª § âì, çâ® äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©¢ â®çª¥ (0, 0):p22 ) f (x, y) = px + y ;¡) f (x, y) = 5 x5 − y5 ;p¢) f (x, y) = sin(2xyp+ 5 x3 y2 ); p£) f (x, y) = arctg( 1 − x2 − y2 + |xy|).¯à ¦¥¨¥ 3.6. ®ª § âì, çâ® äãªæ¨ï f (x, y) ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©¢ â®çª¥ (0, 0):p ) f (x, y) = px4 + y4 ;¡) f (x, y) = 3 x4 −³y4 ;´p22¢) f (x, y) = arcsin x +2 y + 7 x4 y4 ;p£) f (x, y) = ch(5ex − ln(1 + x2 − y2 ) − 8 |x|3 y6 ).62¯à ¦¥¨¥ 3.7. áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨:( )f (x, y) =¡)f (x, y) =¢)(x3 + y 3 )2,x4 + y 4x2 + y 2 > 0,x = y = 0;( 0,x5 + y 5,x4 + x2 y 2 + y 4( 0,3 2px y,6x + y6f (x, y) =( 0,x2 + y 2 > 0,x = y = 0;x2 + y 2 > 0,x3 y 2,6(x + y 6 )2/3x = y = 0;x2 + y 2 > 0,£)f (x, y) =¤)x3 − xy 2´1/4 ,f (x, y) =x6 + y 6 − 32 x3 y 3x2 + y 2 > 0,(y 2 − xy)2´1/3 ,f (x, y) =x8 + y 8 − 43 x4 y 4x2 + y 2 > 0,¥) 0,³x = y = 0; 0,³0,x = y = 0;x = y = 0.¯à ¦¥¨¥ 3.8.
áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨:√xy − √3 xy ; ) f (x, y) = e 3 √√77¡) f (x, y) = sh xy − arcsin xy ;¢)f (x, y) =£)f (x, y) =¤)¥) xey − yex + y − x + xy2 (x − y)(x2 + y 2 )3/2 0, xey − yex + y − x + xy2 (x − y)x2 + y 2, x2 + y 2 > 0,x = y = 0;, x2 + y 2 > 0,x = y = 0;0,pp66f (x, y) = ch |xy| + cos |xy|; xy x arctg y − y arctg x + 3 (y 2 − x2 ), x2 + y 2 > 0,f (x, y) =(x2 + y 2 )5/20,x = y = 0.¯à ¦¥¨¥ 3.9. áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨:√ ) f (x, y) = x4/5 (cos( 5 y) − 1);¡)¢)pf (x, y) = y 2/3 arctg|x|;p32f (x, y) = y(+ cos x + y 2 ;£)f (x, y) =¤)¥)yx3 arctg,yx2 + y 2x,p5f (x, y) = sin x(1 − cos xy);rx2 , y 6= 0,ysinf (x, y) =|y|0,y = 0.63y=6 0,y = 0;¯à ¦¥¨¥ 3.10.
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