МУ - Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1238754), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

® à §«¨ç­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.‚®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î äã­ªæ¨ï f (x, y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x → x0 , y → y0 ®¤¨­ ¨ â®â¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ b? Š ᮦ «¥­¨î, íâ®­¥¢¥à­®.à¨¬¥à 1.2.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x2 y,x4 + y 2x2 + y 2 > 0.ãáâì x → 0, y → 0. ¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬.f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =ρ cos2 ϕ sin ϕρ3 cos2 ϕ sin ϕ=.ρ4 cos4 ϕ + ρ2 sin2 ϕρ2 cos4 ϕ + sin2 ϕ…᫨sin ϕ = 0, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 0 ¯à¨ «î¡®¬ρ > 0.

…᫨ sin ϕ 6= 0, â® ¢áñ à ¢­® lim f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = 0.ρ→+0ˆâ ª, ¯® «î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¯à¥¤¥« f (x, y) ¯à¨ x → 0, y →→ 0 à ¢¥­ 0. ® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f (x, x2 ) = 12 . €­ «®£¨ç­®10à áá㦤¥­¨î ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1: ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ lim xk = 0, â®k→∞12f (xk , 0) = 0, f (xk , xk ) = 2 . „¢®©­®© ¯à¥¤¥« lim f (x, y) ­¥x→0y→0áãé¥áâ¢ã¥â.Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®©§®©â¨ â ª,çâ® ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨îA¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0 (¢à®¤¥ ¡ë, ª ª­¨ ¨¤â¨ ª â®çª¥, ¢áñ à ¢­® 0),B ¯® ¯ à ¡®«¥ ¯®«ãç ¥¬ ¤à㣮¥ ç¨á«® 12 ? ‚®§ì¬ñ¬, ­ ¯à¨Cx ¬¥à, â®çªã A ­ à¨á. 1.2.

‡­ 0祭¨¥ f (A) = 12 , ­® ¯à¥¤¥«f (~x) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î AO à ¢¥­ 0. ’® ¦¥ ¬®¦­® ᪠§ âì¯à® â®çª¨ B , C , . . . , «¥¦ 騥¨á. 1.2­ ¯ à ¡®«¥. ‚® ¢á¥å íâ¨å â®çª å äã­ªæ¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨¥ 12 . —¥¬ ¡«¨¦¥ â ª ï â®çª ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â, ⥬ ª®à®ç¥ ®â१®ª, ­ ª®â®à®¬ äã­ªæ¨ï ¤®«¦­ ý㯠áâìþ ®â §­ 祭¨ï 12 ¤® §­ 祭¨ï 0, ­® â ª®© ®â१®ª ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­ã¨­ã, ¨ áâ६«¥­¨¥ ä㭪樨 ª ­ã«î ¢¤®«ì í⮣® ®â१ª ­¨ç¥¬ã ­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â.y‘®¢¥à襭­® ïá­®, çâ® ¥á«¨ 㤠áâáï ¤®¡¨âìáï áâ६«¥­¨ïª ­ã«î ¯® «î¡®© ¯ à ¡®«¥, â® ¬®£ãâ ­ ©â¨áì ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ªà¨¢ë¥ (­ ¯à¨¬¥à, á¯¨à «¨), ¯® ª®â®àë¬ áâ६«¥­¨ï ª ­ã«î­¥ ¡ã¤¥â.

Œ®¦¥â ᮧ¤ áâìáï ¢¯¥ç â«¥­¨¥, çâ® ­¥¢®§¬®¦­® ¤®¡¨âìáï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . ® ¨ íâ® ­¥¢¥à­®.à®áâ® ¬ë ­ ¨¢­® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®­ï⨥ ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦­® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì­® ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©. â® ¤¥©á⢨⥫쭮 ­¥¢®§¬®¦­®, ¨ ­ã¦­ë ¤à㣨¥¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.11§ 3.„®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£®¯à¥¤¥« “⢥ত¥­¨¥ 1.2.

ãáâì äã­ªæ¨ï f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® ρ0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ϕ ¨ ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0 )¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) − b| 6 F (ρ),£¤¥lim F (ρ) = 0.ρ→+0’®£¤ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«¤lim f (x, y) = b.x→x0y→y0ˆ§ ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â, çâ®∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀ ρ ∈ (0; δ) → F (ρ) < ε.„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ (x, y) ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á« ρ¨ ϕ â ª, çâ® x = x0 + ρ cos ϕ, y = y0 + ρ sin ϕ (â.¥. ¢¢¥¤ñ¬¯®«ïà­ë¥ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 )). ’®£¤ ρ =p= (x −px0 )2 + (y − y0 )2 . ®í⮬㠤«ï ¢á¥å â®ç¥ª (x; y) â ª¨å,çâ® 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ, ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f (x, y) − b| = |f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) − b| 6 F (ρ) < ε.

â®¨ ®§­ ç ¥â, çâ® x→xlim f (x, y) = b.¥0y→y0à¨¬¥à 1.3.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x2 y,+ y2x2x2 + y 2 > 0.‚¢¥¤ñ¬ ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (0; 0): x == ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.ρ3 cos2 ϕ sin ϕ= ρ cos2 ϕ sin ϕ.’®£¤ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = ρ2 (cos2ϕ + sin2 ϕ)’ ª ª ª |f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| 6 ρ → 0, â® limf (x, y) = b.x→0y→0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1. ƒàã¡® ®è¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥: lim ρ cos2 ϕ sin ϕ = 0, á«¥¤®¢ ⥫쭮, limf (x, y) =x→0ρ→+0= 0.y→0 á ¬®¬ ¤¥«¥, ¬ë ¤®ª § «¨ ⮫쪮 â®, çâ® ¯à¥¤¥« f (x, y)¯à¨ x → 0, y → 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0.

Š ª ¬ë12¢¨¤¥«¨, í⮣® ¥éñ ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . ã¦­ ®æ¥­ª ¬®¤ã«ï à §­®á⨠f (x, y) − b ᢥàåã ä㭪樥© ⮫쪮 ®â ρ, ­¥ § ¢¨áï饩 ®â ϕ ¨ áâ६ï饩áï ª ­ã«î¢¬¥á⥠á ρ.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2. ¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ᯮᮡ®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . à¨¢¥¤ñ¬ ¥éñ®¤­® à¥è¥­¨¥ ¯à¨¬¥à 1.3.

„«ï «î¡ëå ç¨á¥« x, y ¨¬¥¥â ¬¥áâ®22­¥à ¢¥­á⢮ |xy| 6 x +2 y . ‡­ ç¨â, f (x, y) = x · x2 xy|+ y2¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãîäã­ªæ¨î x2 xy. ®í⮬ã f (x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ª+ y2æ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0.à¨¢¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ ý¨áªãáá⢥­­®þ,祬 ¯¥à¢®¥. Œ¥â®¤ ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â ã­¨¢¥àá «¥­¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¡ëáâ॥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ­ã¦­ãî ®æ¥­ªã,祬 ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ª ª¨å-«¨¡® ­¥à ¢¥­á⢠­¥¯®á।á⢥­­® ¤«ïä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, å®âï ¡ë¢ ¥â ¨ ¨­ ç¥.à¨¬¥à 1.4.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x5,x4 + y 4x2 + y 2 > 0.ˆ¬¥¥¬¯¯¯¯ρ5 cos5 ϕ¯¯6|f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| = ¯ 4ρ (cos4 ϕ + sin4 ϕ) ¯ρρ=66sin2 2ϕ(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2 − 2 cos2 ϕ sin2 ϕ1− 2ρ= 2ρ → 0,61 − 12¯®í⮬ãlim f (x, y) = 0.x→0y→0à¨¬¥à 1.5.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îpln(1 + 3 x2 y 2 )f (x, y) = p,x2 + y 2x2 + y 2 > 0.13‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f (x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. ˆ¬¥¥¬f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =ln(1 +p3ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ)16 ln(1 + ρ4/3 ).ρρà¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© F (ρ) =¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥­ïï ä®à¬ã«ã ’¥©«®à :14/3ρ ln(1+ρ ) ¬®¦­®ln(1 + ρ4/3 )ρ4/3 + o(ρ4/3 )= lim= 0;ρ→+0ρ→+0ρρlim¯®í⮬ãlim f (x, y) = 0.x→0y→0ˆ­®£¤ ¯®«ã祭¨¥ ­ã¦­®© ®æ¥­ª¨ ᢥàåã âॡã¥â §­ ç¨â¥«ì­ëå ãᨫ¨©.à¨¬¥à 1.6.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îp3x3 + y 4 − xf (x, y) = p,x2 + y 2x2 + y 2 > 0.Ž¯ïâì-â ª¨ f (x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. ˆ¬¥¥¬p3ρ3 cos3 ϕ + ρ4 sin4 ϕ − ρ cos ϕf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ==ρqp3= cos3 ϕ + ρ sin4 ϕ − cos ϕ 6 3 cos3 ϕ + ρ − cos ϕ.ãáâì cos ϕ = t ∈ [−1; 1]. ’®£¤ 0 6 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 g(t, ρ) =p3 3t + ρ − t.à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ρ ­ ©¤ñ¬ F (ρ) =à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 g(t, ρ) ª ª ä㭪樨 ®â= max g(t, ρ).−16t61¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ρ à ¢­ 13 (t3 + ρ)−2/3 · 3t2 − 1. Ž­ ®¡232/36632à é ¥âáï ¢ ­ã«ì,q ¥á«¨ t = (t + ρ) , â.¥. t = t + 2t ρ + ρ ,®âªã¤ t = − 3 ρ2 .

à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ρ íâ® §­ 祭¨¥ t¯à¨­ ¤«¥¦¨â ®â१ªã [−1; 1], ¨ ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï F (ρ) ­ã¦­®t14¢ë¡à âì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ âàñå ç¨á¥«:rµ r¶ rρρρ p33g −, ρ = − + ρ + 3 = 3 4ρ;222pρg(1, ρ) = 3 1 + ρ − 1 ∼ , ρ → +0;3pρ3g(−1, ρ) = −1 + ρ + 1 ∼ , ρ → +0.3√à¨ ¬ «ëå ρ ­ ¨¡®«ì訬 ¨§ íâ¨å ç¨á¥« ¡ã¤¥â 3 4ρ; §­ ç¨â,­ ©¤ñâáï ρ0 > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0 ) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®­¥à ¢¥­á⢠p0 6 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 3 4ρ.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, lim f (x, y) = 0.x→0y→0“¯à ¦­¥­¨¥ 1.4.

„®ª § âì, çâ®: )¢)3lim p x6 y= 0;x + y6py + y sin x = 0;lim x sinx→0x2 + y 2y→0x→0y→0parctg |x|5 + y 6= 0;x2 + y 2¡)lim£)1 − cos xlim p342 2x→0y→0x − x y + y4x→0y→0= 0.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.5. „®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: )¢)§ 4.limx→0y→0limx→0y→0x3 y;x + x2 y 2 + y 443x y;x6 + y 2¡)limx3 y;x + y4£)limln(1 + xy).x2 + y 2x→0y→0x→0y→06Ž ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë ’¥©«®à ª ¢ëç¨á«¥­¨î ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢”®à¬ã« ’¥©«®à ¤«ï ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ë宯¨à ¥âáï ­ ¯®­ï⨥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ « n-£® ¯®à浪 ¨ ¢®§­¨ª ¥â ¢ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ §­ ç¨â¥«ì­® ¯®§¦¥,祬 ¯®­ï⨥ ¯à¥¤¥« .

® ­¥ á«¥¤ã¥â § ¡ë¢ âì ® ⮬, çâ®,¯à¨áâã¯ ï ª ¨§ã祭¨î ¬­®£®¬¥à­®£® ­ «¨§ , áâ㤥­âë 㦥§­ ª®¬ë á ä®à¬ã«®© ’¥©«®à ¤«ï ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, ¨, ¥áâ¥á⢥­­®, ¯ëâ îâáï ¯à¨¬¥­ïâì ¥ñ ª ¢ëç¨á«¥­¨î¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢. ®¯ëâ ¥¬áï ¢ëïá­¨âì, ­ ᪮«ìª® íâ® ¤®¯ãá⨬®. Ž£à ­¨ç¨¬áï ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥­ (à §«®¦¥­¨¥ ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 0).15Š ª ¨§¢¥áâ­®, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ϕ(u) ¨¬¥¥ânPϕ(k) (0) knn ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ â®çª¥ 0, â® ϕ(u) =k! u + o(u ) ¯à¨k=0u → 0 (ä®à¬ã« ’¥©«®à á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ ¥ ­®); íâ® ®§­ ç ¥â, çâ®ϕ(u) −nPϕ(k) (0)k=0unlimu→0k!uk(1.1)= 0.ˆ¬¥¥â ¬¥á⮓⢥ত¥­¨¥ 1.3. (’¥®à¥¬ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©). ãáâì äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y) ¨¬¥¥â ¯à¥-¤¥«lim f (x, y) = b,x→x0y→y0 äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ­¥¯à¥-à뢭 ¢ â®çª¥ b.

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« á«®¦­®© ä㭪樨lim g(f (x, y)) =¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå x→xlim g(f (x, y)) = g(b), â.¥. x→x00= g( x→xlim f (x, y))0y→y0y→y0y→y0(§­ ª ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« ¨ §­ ª ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¬®¦­® ¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨).¤ ãáâì (xk , yk ) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì â®ç¥ª¯«®áª®á⨠⠪ ï, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ), ¯à¨çñ¬ (xk , yk ) 6=k→∞6= (x0 , y0 ). ’®£¤ lim f (xk , yk ) = b, â.¥. lim uk = b, £¤¥ uk =k→∞k→∞= f (xk , yk ). ’®£¤ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 g(u) ¢ â®çª¥ bá«¥¤ã¥â, çâ® lim g(uk ) = g(b). ’ ª ª ª (xk , yk ) | ¯à®¨§¢®«ì­ ïk→∞¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì â®ç¥ª, áâ६ïé ïáï ª (x0 , y0 ), ¨ â ª ï, çâ®(xk , yk ) 6= (x0 , y0 ), â® x→xlim g(f (x, y)) = g(b).¥0y→y0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

â ⥮६ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­­ë¬ à á¯à®áâà ­¥­¨¥¬ ­ ¤¢ã¬¥à­ë© á«ãç © ­ «®£¨ç­®© ®¤­®¬¥à­®© ⥮६ë (f ¨ g | ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©), ª®â®à ï ¤®«¦­ ¤®ª §ë¢ âìáï (­®, ª ᮦ «¥­¨î, ­¥ ¢á¥£¤ ¤®ª §ë¢ ¥âáï) ¢ «î¡®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .ãáâì ⥯¥àì u(x, y) | äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå â ª ï,çâ® x→xlim u(x, y) = 0, ¢ ª ç¥á⢥ ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ 0 äã­ª0y→y016樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ¢®§ì¬ñ¬g(u) =nPϕ(k) (0) k ϕ(u) −uk!k=0un0,, u 6= 0;u = 0.à¨¬¥­ïï ⮫쪮 çâ® ¤®ª § ­­ãî ⥮६ã, ¨§ (1.1) ¯®«ã稬lim g(u(x, y)) = 0x→x0y→y0ϕ(u(x, y)) =nXϕ(k) (0)k!k=0⇒(u(x, y))k + o((u(x, y))n )¯à¨ x → 0, y → 0.

(1.2)®á«¥¤­¥¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.  ¯à¨¬¥à,2yex=nXx2k y kk=0k!+ o(x2n y n )pãáâì ρ = x2 + y2 . ’®£¤ ⥫쭮, |x2 y| 6 ρ3 . ’ ª ª ª¯à¨x → 0, y → 0.|x| 6 ρ, |y| 6 ρ,¨, á«¥¤®¢ -µ ¶2nµ ¶nxyo(x y ) = α(x, y)·x y = α(x, y)·ρ3n = β(x, y)·ρ3n ,ρρ2n n2n n£¤¥ β(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ªæ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî; ¯®í⮬ão(x2n y n ) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρ3n ).

ˆâ ª,ex2y=nXx2k y kk=0k!+ o(ρ3n )¯à¨x → 0, y → 0. ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ u(x, y) |¬­®£®ç«¥­ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¡¥§ ᢮¡®¤­®£® ç«¥­ (¢ í⮬á«ãç ¥ limu(x, y) = 0). Œ®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ρ 6 1 ¨¬¥¥âx→0y→0¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ |u(x, y)| 6 Cρm , £¤¥ C | á㬬 ¬®¤ã«¥© ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬­®£®ç«¥­ , m | ¬¨­¨¬ «ì­ ï á⥯¥­ì ®¤­®ç«¥­®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¤ ­­ë© ¬­®£®ç«¥­; ¯à¨ í⮬ o((u(x, y))n )¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρmn ).

‚ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮17í⮣® ä ªâ £à®¬®§¤ª®, ¯®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ ª ¦¤®¬ ª®­ªà¥â­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥­¨¥.à¨¬¥à 1.7.  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f (x, y) = arctg(xy ++ x2 − y 3 ) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¯à¨ x → 0, y → 0 ¤® o(ρ6 ).ãáâì u(x, y) = xy + x2 − y3 | ¬­®£®ç«¥­; ¬¨­¨¬ «ì­ ïá⥯¥­ì ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥£® ®¤­®ç«¥­®¢ à ¢­ 2.

®í⮬㠯à¨ρ 6 1 ¨¬¥¥¬|u(x, y)| 6 ρ2 + ρ2 + ρ2 = 3ρ2 ,¨ ¤«ï à §«®¦¥­¨ï f (x, y) ¤® o(ρ6 ) ­ã¦­® ¢§ïâìarctg u ¤® o(u3 ):arctg u = u −’®£¤ à §«®¦¥­¨¥u3+ o(u3 ).3arctg(xy + x2 − y 3 ) =1= xy+x2 −y 3 − (xy+x2 −y 3 )3 +o((xy−x2 −y 3 )3 ), x → 0, y → 0.3‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® o((u(x, y))3 ) = α(x, y)(u(x, y))3 =³´u(x, y) 3· ρ6 = o(ρ6 ), â ª ª ª äã­ªæ¨ï β(x, y) == α(x, y) ·ρ2³´u(x, y) 3= α(x, y) ·| ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y → 0,2ρª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî.Šà®¬¥ ⮣®, ¢ ¬­®£®ç«¥­¥ 31 (xy+x2 −y3 )3 ­ã¦­® ¢ë¡à®á¨âì¢á¥®¤­®ç«¥­ë ᥤ쬮©á⥯¥­¨ ¨ ¢ëè¥, â ª ª ª, ­ ¯à¨¬¥à,¯¯¯1¯2232¯ 3 · 3(xy + x ) · y ¯ 6 (ρ + ρ2 )2 · ρ3 = 4ρ7 , ¨ íâ® á« £ ¥¬®¥ ¥áâìo(ρ6 ). Žª®­ç ⥫쭮arctg(xy + x2 − y 3 ) =1 3 3(x y + 3x4 y 2 + 3x5 y + x6 ) + o(ρ6 ) =311= xy + x2 − y 3 − x3 y 3 − x4 y 2 − x5 y − x6 + o(ρ6 ).33= xy + x2 − y 3 −‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

Характеристики

Список файлов книги