МУ - Методы решения экзаменационных задач по математическому анализу (1238752), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìfn (x) =xn2sin 2 + sin x.xn¥è¥­¨¥.1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = 1 + sin x = f (x).n→∞2)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞).|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = 1 −n2xsin nx2 ,xn = n2 ∈ E2 ¯à¨ n > 2,|Rn (xn )| = |1 − sin 1| ⇒⇒ ∀ n > 1 sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } > |Rn (xn )| = |1 − sin 1| > 0 ⇒⇒ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) ­¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E2 .43fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 .3)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).xI ᯮᮡ. ’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E1 0 < n2 < 1, â® ¯®ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ξ x2¨¬¥¥¬: sin nx2 = nx2 − sin2! · n4 , 0 < ξ < 1.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∀ n ∈∈ N ∀ x ∈ E1 ∃ ξ ∈ (0; 1) : |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = |1 −2 sin ξ 1− nx sin nx2 | = x2n2 6 2n2 → 0 ¯à¨ n → ∞ ⇒ ä㭪樮­ «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.¥§®£®¢®à®ç­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ëŒ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬DZ¥ ­® §¤¥áì ­¥ ¢ ä®à¬¥ª®à४⭮: ­ ¯à¨¬¥à, |Rn (x)| = o nx2 → 0 ¯à¨ n → ∞ ¯à¨«î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x, ­® o nx2 § ¢¨á¨â ª ª ®â n, â ª ¨®â x, ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì, áâ६«¥­¨¥ ª ­ã«î ¯® x ­¥à ¢­®¬¥à­®¥. ¯à¨¬¥à, ­ ¬­®¦¥á⢥ E2 |Rn (x)| = o nx2 → 0 ¯à¨ n → ∞¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x, ­® ­¥à ¢­®¬¥à­®.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ”®à¬ã« Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬¢ ä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ¢ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬00®¡à §®¬: f (t) = f (0) + f 0 (0)t + f 2!(ξ) t2 , 0 < ξ < t. DZਭ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¬®¦­® ¢§ïâì ¡®«ìè¥ ç«¥­®¢ à §«®¦¥­¨ï.

‚¯à¨¢¥¤ñ­­®¬ à¥è¥­¨¨ f (t) = sin t, t = nx2 . ’®çª ξ áãé¥áâ¢ã¥â¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â 㪠§ ­­ë¬ ­¥à ¢¥­á⢠¬. ’ ª ª ª ξ = ξ(n, x)§ ¢¨á¨â ®â x, ®ª®­ç â¥«ì­ ï ®æ¥­ª ­¥ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âì ξ.II ᯮᮡ. ˆáá«¥¤ã¥¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 Rn (x) = f (x) −2− fn (x) = 1 − nx sin nx2 ­ E1 ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ n á ¯®¬®éìî2¯à®¨§¢®¤­®©: Rn0 (x) = − nx2 nx2 cos nx2 − sin nx2 =2= − nx2 cos nx2 nx2 − tg nx2 > 0, â ª ª ª tg α > α, ¥á«¨ 0 < α 66 1. ‡¤¥áì α = nx2 .

‡­ ç¨â, Rn (x) ­ ¯®«ã¨­â¥à¢ «¥ (0; 1].’®£¤ 0 < Rn (x) < Rn (1) = 1 − n2 sin n12 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∀ n ∈2∈ N ∀ x ∈ E1 |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = |1 − nx sin nx2 | < 1 −− n2 sin n12 = 6n1 4 + o n14 → 0 ¯à¨ n → ∞ ⇒ ä㭪樮­ «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .443ˆá¯®«ì§ã¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠x − x6 6 sin x 6 x,á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¤«ï ¢á¥å x > 0.¥à ¢¥­á⢮ sin x 6 x ¤®ª §ë¢ «®áì ­ «¥ªæ¨ïå. „®ª ¦¥¬3­¥à ¢¥­á⢮ x − x6 6 sin x ¯à¨ ¯®¬®é¨ â¥®à¥¬ë ‹ £à ­¦ ®á।­¥¬ ϕ(x) − ϕ(0) = ϕ0 (ξ)x, 0 < ξ < x.

„¢ ¦¤ë ¯à¨¬¥­ïï3⥮६㠋 £à ­¦ , ­ 室¨¬: ϕ(x) = sin x − x + x6 = (cos ξ − 1 +III ᯮᮡ.+ξ22 )x= (− sin η + η)ξx > 0, 0 < η < ξ < x, ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì.3‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ t ∈ R |t − sin t| 6 |t|6 ¨ |Rn (x)| =2 2x3x21= nx nx2 − sin nx2 6 nx · 6n6 = 6n4 6 6n4 → 0 ¯à¨ n → ∞.fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .DZ à ¨ ¬ ¥ à. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 fn (x) = n ln 1 + nx .¥è¥­¨¥. 1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = x = f (x).n→∞2)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).

„®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å t > 02á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠t − t2 6 ln(1 + t) 6 t. DZਬ¥­ïï⥮६㠋 £à ­¦ ® á।¥¬, ­ 室¨¬: ϕ(t) = t − ln(1 + t) =2η2ξt > 0 ¨ ψ(t) = ln(1 + t) − t + t2 = 1+ηt > 0, 0 < η, ξ < t,= 1+ξª ª ¨ âॡ®¢ «®áì.12 ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ t > 0 |t − ln(1 + t)| 6 t2x2¨ |Rn (x)| = x − n ln 1 + nx = n nx − ln 1 + nx 6 n · 2n2 =x21= 2n 6 2n → 0 ¯à¨ n → ∞.

‘室¨¬®áâì ­ E1 à ¢­®¬¥à­ ï.3)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞). |Rn (n)| = n| ln 2 − 1| → +∞¯à¨ n → ∞. ‘室¨¬®áâì ­ E2 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.2DZ à ¨ ¬ ¥ à. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, a) ¨ E2 = (a, +∞)¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 fn (x) = x ln(xn).n2¥è¥­¨¥. 1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = 0 = f (x).n→∞xln(xn).n22) DZãáâì Rn (x) = fn (x) − 0 =∀ n ∈ N Rn0 (x) =12ln(xn)+1,n2Rn0 (x) = 0 ¯à¨ xn =‚®§¬®¦­®, ­¥à ¢¥­á⢮ ln(1+t)1ne ,Rn (xn ) =6 t ¤®ª §ë¢ «®áì ­ «¥ªæ¨ïå.

‚ â ª®¬á«ãç ¥ ­¥ ­ ¤® ¤®ª §ë¢ âì íâ® ­¥à ¢¥­á⢮.45= − en1 3 , |Rn (xn )| = en1 3 , |Rn (+0)| = 0, |Rn (a − 0)| == na2 | ln an|, sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } = max{ en1 3 , na2 | ln an|} 66 en13 + na2 | ln an| → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘室¨¬®áâì ­ E1à ¢­®¬¥à­ ï.3) ∀ n ∈ N sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = |Rn (+∞)| = +∞.‘室¨¬®áâì ­ E2 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞Pxxx+n sh n .‡ ¤ ç 7¡.n=11) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∪ E2 ∀ n ∈ N 0 < un (x) =∞PCá室¨âáï∼ nC2 , n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2¥è¥­¨¥.=xx+nsh nx(íâ «®­), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 àï¤∞Pn=1n=1un (x) á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªãáà ¢­¥­¨ï.2) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N |un (x)| 6 n1 sh n1 ∼ n12 , n → ∞∞P1¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï, â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n2n=1ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤3)  áᬮâਬ E2 .∞Pn=1un (x) á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .„®ª ¦¥¬, çâ® ®¡é¨© ç«¥­ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ∞Pun (x)n=1­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 áâ६¨âáï ª ­ã«î. ’ ª ª ª ­ E2 àï¤á室¨âáï, â® ∀ x ∈ E2 lim un (x) = 0.

„ «¥¥, |un (x)| =n→∞ x= x+nsh nx ; ∀ n ∈ N xn = 2n ∈ E2 ; |un (xn )| == 23 sh 2 > 0 ⇒ ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) áâ६¨âáï ª ­ã«î­¥à ¢­®¬¥à­®, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â ­¥à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì ­ ∞PE2 á ¬®£® ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ un (x), â ª ª ª ­¥¯à¥¤¥«lim |un (xn )| > 0, â® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ãn→∞ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ­¥â.13 ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ãá«®¢¨¥ Š®è¨n+p−1Puk (x) < ε ¤«ï∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∀ x ∈ E k=np = 1 ¨¬¥¥â ¢¨¤: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ x ∈ E |un (x)| < ε.DZ®áª®«ìªã ¯à¥¤¥« lim |un (xn )| = 2ε0 > 0, â® (∗) ∃ ε0 > 0 ∀ N ∈n→∞∈ N ∃ n > N ∃ xn ∈ E : |un (xn )| > ε0 .

‡­ ç¨â, ãá«®¢¨¥ Š®è¨ ­¥¢ë¯®«­ï¥âáï ¨ ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ àï¤ ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®á室ï騬áï ­ E. ‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥ lim |un (xn )| = 23 sh 2 > 0.n→∞â®â ä ªâ ¬®¦­® ®¡êïá­¨âì ¯®-¤à㣮¬ã.DZ®áª®«ìªã¯à¥¤¥« lim |un (xn )| = 2ε0 > 0, â® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥n→∞(∗). ‡­ ç¨â, ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) «¨¡® ­¥ áâ६¨âáﯮâ®ç¥ç­® ª ­ã«î ­ E , «¨¡® áâ६¨âáï ª ­ã«î ­¥à ¢­®¬¥à­®∞Pun (x) ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®­ E .‡­ ç¨â, àï¤n=1á室ï騬áï ­ E, â ª ª ª ¤«ï ­¥£® ­¥ ¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­ëå à冷¢: ãà ¢­®¬¥à­® á室ï饣®áï ­ E ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ®¡é¨©ç«¥­ àï¤ à ¢­®¬¥à­® ­ E áâ६¨âáï ª ­ã«î.…᫨ ¯à¥¤¥« lim |un (xn )| ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ãá«®¢¨¥ (∗)n→∞¢ë¯®«­¥­®.

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤®¯ãá⨢ ¯à®â¨¢­®¥, ­ 室¨¬,çâ® ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) ⇒0 ­ E .® ⮣¤ ∃ lim sup{|un (x)| : x ∈ E} = 0 ¨ ¨§ 楯®çª¨ ­¥à ¢¥­áâ¢n→∞sup{|un (x)| : x ∈ E} > |un (xn )| > 0 ¯® ⥮६¥ ® § ¦ ⮩¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ∃ lim |un (xn )| = 0 ¢®¯à¥ª¨n→∞∞Pãá«®¢¨î. ‡­ ç¨â, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ àï¤un (x) ­¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® á室ï騬áï ­ E .n=1n=1¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¥£® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®áâ¨(á室¨¬®áâì àï¤ ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.ˆ§ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨4613â¨¬ ä ªâ®¬ ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¯¨á쬥­­®© à ¡®â¥ ¡¥§ ¤®ª § -⥫ìá⢠.47‡ ¤ ç 8.àï¤∞Pn=1ann5 DZãáâì àï¤∞Pn=1a2n á室¨âáï. ‚¥à­® «¨, çâ®á室¨âáï? „®ª § âì, ¨«¨ ®¯à®¢¥à£­ãâì ¯à¨¬¥à®¬. a2n + 12n‚¢¨¤ã ¢¥à­®£® ­¥à ¢¥­á⢠ann 62(¬¥¦¤ã á।­¨¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨ á।­¨¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬)∞∞∞ PPP1 an 6 1a2n + 1àï¤á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã2− f (1, 0) = f (x, y) − ln 3, ρ2 = (x − 1)2 + y 2 , ­ 室¨¬ f (x, y) =1= ln 3 + 31 (y − 0) − 13 (x − 1)(y − 0) − 18(y − 0)2 + o((x − 1)2 + y 2 ).122Žâ¢¥â: df (A) = 3 dy; d f (A) = − 3dxdy − 19 dy 2 ; f (x, y) =111= ln 3 + 3 (y − 0) − 3 (x − 1)(y − 0) − 18 (y − 0)2 + o((x − 1)2 + y 2 ).¥è¥­¨¥.n=1n2n=1áà ¢­¥­¨ï.

‡­ ç¨â, àï¤á室¨âáï.2∞Pn=1annn=1¥è¥­¨¥.p‚ ਠ­â Œ”’ˆ-714  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ¢â®çª¥ A(1, 0) ä㭪樨 f (x, y) = ln(sh xy +3).  §«®¦¨âì ¤ ­­ãîäã­ªæ¨î ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ A(1, 0) ¤®o((x − 1)2 + y 2 ).‡ ¤ ç 1.¥è¥­¨¥.−1ch xy xy2 ;ysh x+3= sh y1 +3 ch xy x1 ;x∂fdf (x, y) = ∂f∂x dx + ∂y dy;df (1, 0) = 13 dy;∂2fd ∂f(1,0)=(x,0)|x=12dx ∂x∂x∂f∂x∂f∂y=d= dx0 = 0;2∂ fd 1−1d ∂f∂x∂y (1, 0) = dx ∂y (x, 0) |x=1 = dx 3x |x=1 = 3x2 |x=1 =∂2fd ch yd ∂f(1,y)|=(1,0)=y=0dy ∂ydy sh y+3 |y=0∂y 2=sh y(sh y+3)−ch y ch y|y=0 = −19 ;(sh y+3)2222∂ fd2 f = ∂∂xf2 dx2 + 2 ∂x∂ydxdy+ ∂∂yf2 dy 2 ;d2 f (1, 0) = − 23 dxdy − 91 dy 2 .2−13 ;=”®à¬ã« ’¥©«®à ¨¬¥¥â ¢¨¤: 4f = df + d2!f + o(ρ2 ).“ç¨âë¢ ï, çâ® dx = (x − 1), dy = (y − 0), 4f (1, 0) = f (x, y) −4812− sin xcos x1 + ctg2 2x =1sin 2x ,DZ®áª®«ìªã y 0 ==§ 3.π6+ ln sin x),n ¡á®«îâ­® á室¨âáï, §­ ç¨â, ®­3  ©â¨ ¤«¨­ã ¤ã£¨ ªà¨¢®©: y = 21 (ln cos x +6 x 6 π3 .πR3 p„«¨­ ¤ã£¨ ªà¨¢®© l =1 + y 02 dx.‡ ¤ ç 2.− 21==142πR3π3+cos xsin xπ6â® l =1d cos y1−cos2 y 1 1+t 2ln 1−t |− 1 =2=ln 32 .12R2− 12dt1−t2cos 2x2 sin x cos x ,==π3Rπ614dxsin 2x1R2 − 21=11−tp12+1 + y 02 =2πR3π311+tdysin ydt==4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì¢p524â®çª¥ M (0, 0) äã­ªæ¨î z(x, y) = ln(2 + y + x y ).‡ ¤ ç 3.p¥è¥­¨¥.

„®ª ¦¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï f (x, y) = 2 + y ++ 5 x2 y 4 ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0). ’ ª ª ª ∂f∂x (0, 0) =∂fddd= dx f (x, 0)|x=0 = dx 2 = 0, ∂y (0, 0) = dy f (0, y)|y=0 =d(2 + y)|y=0 = 1 ¨ f (0, 0) = 2, â® äã­ªæ¨ï f (x, y)= dy¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 M (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ √¢ â®çª¥∃lim2+y+(x,y)→(0,0)5√x2 y 4 −2−yx2 +y 2= 0. √p 5 x2 y 4 DZãáâì ρ = x2 + y 2 > 0. ’®£¤ 0 6 √ 2 2 6x +y1/5p2/54/5√x2 + y 2→ 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0). ‘«¥6 ρ ρρ = 5 ρ =√5(2+y+ x2 y 4 )−2−y√¤®¢ ⥫쭮, ∃lim= 0 ¨ äã­ªæ¨ï f (x, y)22I ᯮᮡ.(x,y)→(0,0)x +y¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).49DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: √ x = 5 x2 y 4 = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.

Характеристики

Список файлов книги