МУ - Методы решения экзаменационных задач по математическому анализу (1238752), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

â¨¬à áá㦤¥­¨¥¬ (¯®á뫪 ¨¬¯«¨ª 樨) ãáâ ­®¢«¥­® «¨èì, ç⮯।¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ ­ã«î, ®âªã¤ ¥éñ ­¥á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« .¥ ।ª® 㪠§ ­­®¥ ®è¨¡®ç­®¥ à áá㦤¥­¨¥√ ®ä®à¬«ï¥âáï(2u2 +4u−v2 −2v) u2 +v2 −uv√¢ ¢¨¤¥ à ¢¥­á⢠=limu2 +v2(u,v)→(0,0)√(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ) ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕ= 0,=limρρ→+0ª®â®à®¥ ­¥ ¤®ª §ë¢ ¥â âॡ㥬®¥, â ª ª ª ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥√f (u,v) = lim f (ρ cos ϕ,ρ sin ϕ) ­¥ ï¥âáïà ¢¥­á⢮lim22ρ¢¥à­ë¬.1111(u,v)→(0,0)u +vρ→+02 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)→ (0, 0). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim=DZ à ¨ ¬ ¥ à.

ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥M (0, 0) äã­ªæ¨î 2ysh(3x), x 6= 0,f (x, y) =x y 3 + |y|3/2 , x = 0.(0,0)f (0, 0) = 0. ∂flim f (∆x,0)−f=∂x (0, 0) = ∆x→0∆xd33/2 )0 |= 0. ∂f= lim 0−0y=0 =∂y (0, 0) = dy f (0, y) |y=0 = (y + |y|∆x→0 ∆x√ 3p|∆y||∆y| = 0.= (y 3 )0 |y=0 + lim= lim |∆y|∆y∆y¥è¥­¨¥.∆y→0„®ª ¦¥¬, çâ® ∃∆y→0lim(∆x,∆y)→(0,0)√f (∆x,∆y) = 0.

(∗)22∆x +∆ypDZãáâì ∆x2 + ∆y 2 ∈ (0, ρ0 ), £¤¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ρ0 áâ®«ì¬ «®, çâ® | sh(3∆x)| < 6|∆x|. ’®£¤ ¯à¨ ∆x 6= f (∆x,∆y) ∆y2 sh(3∆x) 22= √ 6 √ 6∆y2√ +∆y ) =6 6(∆x6= 0 √ 2222222∆x +∆y∆x ∆x +∆y∆x +∆y∆x +∆y 2p=∆x2 + ∆y 2 → 0, ¥á«¨ (∆x, ∆y) → (0, 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã®¯à¥¤¥«¥­¨ï (¯à¨ ∆x 6= 0). ∆y3 +|∆y|3/2 f (∆x,∆y) 6√√DZਠ∆x = 0, ∆y 6= 0 = ∆x2 +∆y 2 ∆x2 +∆y 2 √3 √ 3/2∆x2 +∆y 2 +∆x2 +∆y 2|∆y|3 +|∆y|3/2√66 (∆x2 + ∆y 2 ) +6 √I ᯮᮡ.∆x2 +∆y 2∆x2 +∆y 2ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â ª ª ª,„«ï ä㭪樨f (x, y) =x2 yx4 +y 2, x2 + y 2 > 0, ¢ â®çª¥ (0; 0) ¯à¥¤¥« ¯®36­ ¯à¨¬¥à,f (x, x2 ) = 21 . ‘¬. [5].371/2p+∆x2 + ∆y 2→ 0, ¥á«¨ (∆x, ∆y) → (0, 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã®¯à¥¤¥«¥­¨ï (¯à¨ ∆x = 0, ∆y 6= 0).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå∆x ¨ ∆y , f (∆x,∆y) 6­¥ à ¢­ëå ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î, ¢ë¯®«­¥­® √ 2∆x +∆y 2 pp6∆x2 + ∆y 2 + (∆x2 + ∆y 2 ) + ( ∆x2 + ∆y 2 )1/2 → 0 ¯à¨√f (∆x,∆y) = 0.(∆x, ∆y) → (0, 0).

‡­ ç¨â, ∃lim22(∆x,∆y)→(0,0)II ᯮᮡ.∆x +∆yDZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬:(∆x = ρ cos ϕ,∆y = ρ sin ϕ, ρ > 0, ϕ ∈ [0, 2π).1-© á«ãç ©: ∆x 6= 0. ∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρ0 ) ∀ ϕ ∈ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) sin2 ϕπ 3π∈ [0, 2π) \ { 2 , 2 } = cos ϕ sh(3ρ cos ϕ) =ρcos ϕ) 2= 6ρ sin2 ϕ · sh(3ρ6ρ cos ϕ 6 |6ρ sin ϕ| 6 6ρ = F1 (ρ), ¯®áª®«ìªãsh α2α< 1 ¤«ï ¢á¥å α : 0 < |α| < α0 . f (ρ cos ϕ,ρ sin ϕ) 2-© á«ãç ©: ∆x = 0.

∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ { π2 , 3π=2 } ρ 2 3√√3/22= ρ sin ϕ + ρ| sin ϕ| 6 ρ + ρ = F2 (ρ).∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρ0 ) ∀ ϕ ∈ [0, 2π) ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,√ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 F1 (ρ)+F2 (ρ) = 6ρ+ρ2 + ρ → 0 ¯à¨ ρ → +0,ρçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.¤«ï ­¥ª®â®à®£® α0 > 0, 0 <“⢥ত¥­¨¥ (∗) à ¢­®á¨«ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨ä㭪樨 f (x, y) ¢ â®çª¥ M (0, 0).Žâ¢¥â: f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).§ 2.‚ ਠ­â Œ”’ˆ-61”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ⮦¤¥á⢮ z 2 −− 2xy = ln z + y, ­ 室¨¬ 2zdz − 2ydx − 2xdy = dzz + dy (1).DZ®¤áâ ¢«ïï ¢ (1) x = 0, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ dz = 2dx ++ dy (2).”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï (1) ¨ áç¨â ï dx ¨ dy22¯®áâ®ï­­ë¬¨, ­ 室¨¬ 2dz 2 +2zd2 z −2dxdy −2dxdy = d z·z−dz.z2DZ®¤áâ ¢«ïï x = 0, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ d2 z = 4dxdy − 3dz 2 .DZ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® dz á㬬ã 2dx + dy ¨§ (2), ­ 室¨¬ d2 z = −−12dx2 − 8dxdy − 3dy 2 .2”®à¬ã« ’¥©«®à ¨¬¥¥â ¢¨¤: z − 1 = dz + d2!z + o(ρ2 ).“ç¨âë¢ ï, çâ® dx = (x − 0), dy = (y − 1), ρ2 = x2 + (y − 1)2 ,­ 室¨¬, çâ® z(x, y) = 1 + 2(x − 0) + 1 · (y − 1)+ + 21 (−12(x −− 0)2 − 8(x − 0)(y − 1) − 3(y − 1)2 ) + o(x2 + (y − 1)2 ).¥è¥­¨¥.4  ©â¨ ¤«¨­ã ¤ã£¨ ªà¨¢®© y = ln(1 +0 6 x 6 π2 .π/2R p¥è¥­¨¥.„«¨­ ¤ã£¨ ªà¨¢®© l =1 + y 02 dx =0r2π/2π/4π/4π/2RR dyR d sin yR dx− sin x==1 + 1+cos=2dx=x = 2xcoscos y1−sin2 y‡ ¤ ç 2.+ cos x),0=220√12R0dt1−t2√12=R 011−t+11+t00 √1√ 1+t 2dt = ln 1−t = 2 ln(1 + 2).0‡ ¤ ç 3.4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ M (0, 0) äã­ªæ¨îr !4 ln 1 + x sin 3 y , x 6= 0,xz(x, y) =0,x = 0.5  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ¢â®çª¥ (0, 1) ä㭪樨 z = z(x, y), § ¤ ­­®© ­¥ï¢­® ãà ¢­¥­¨¥¬z 2 − 2xy = ln z + y, £¤¥ z(0, 1) = 1.

 §«®¦¨âì äã­ªæ¨î z == z(x, y) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠í⮩ â®çª¨ ¤®o(x2 + (y − 1)2 ).d= dx0 = 0,â® äã­ªæ¨ï=z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,√z(x,y) = 0.ª®£¤ ∃lim223839‡ ¤ ç 1.¥è¥­¨¥.∂z∂y (0, 0)’ ª ª ªddy z(0, y)|y=0(x,y)→(0,0)d∂z∂x (0, 0) = dx z(x, 0)|x=0d= dy 0 = 0, z(0, 0) = 0,x +yDZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëåx ¨ y , z(x,y) ­¥ à ¢­ëå ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î, ¢ë¯®«­¥­® 0 6 √ 2 2 6x +y√ 2 √4√p2x2 +y 2 3x2 +y 2 32 3 x2 y 4√ 2 26 2 x2 + y 2 → 0 ¯à¨6 √ 2 2 6I ᯮᮡ.x +yx +y(x, y) → (0, 0), â® ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).II ᯮᮡ.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: x == ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. DZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì­ë姭 祭¨© ¯¥à¥¬¥­­®© t á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ | sin t| 6 |t|¨ ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ¯® ¬®¤ã«î ¤¥©á⢨⥫ì­ë姭 祭¨© ¯¥à¥¬¥­­®© t á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ | ln(1 ++ t)| 6 |2t|, â® ∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρr0 ) ∀ ϕ! ∈ q ln 1+x sin 3 y4 ln 1+ρ cos ϕ·sin 3 ρ4 sin4 ϕ ρ cos ϕ x=√}∈ [0, 2π) \ { π2 , 3π62ρ 2 +y 2x p6 2ρ 3 cos 2 ϕ sin4 ϕ 6 2ρ.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ z(x,y) z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) √∈ [0, 2π) 2 2 = 6 2ρ → 0, ¥á«¨ ρ → +0.ρx +y‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)x2 +y 2¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).‡ ¤ ç 4.2x29 − 4x4¥è¥­¨¥.−1/2=∞Pn=0n+1 n+14n (−1)C−132n+120402á⥯¥­­®£®àï¤ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠­¥ ¬¥­ï¥âáï. DZ®í⮬ã R =q= 32 .1nŽâ¬¥â¨¬, çâ® C−− 21 − 23 . . . − 12 − (n − 1) == n!1=(−1)n (2n−1)!!2n (n!)20¤«ï ¢á¥å ­ âãà «ì­ëå n; C−1 = 1.

® íâ¨2¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤¥« âì ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮: Cαn { áâ ­¤ àâ­ë©á¨¬¢®«.‡ ¤ ç 5.3 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì àï¤s∞X(3n)!.(2n)3nn=1¥è¥­¨¥.q an+1 an =(3n+3)!(2n)3n(2n+2)3n+3 (3n)!r=(3n+1)(3n+2)(3n+3)3n1(2n+2)3 (1+ n)→< 1, n → ∞. DZ® ¯à¨§­ ªã „ « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.q278e3<‡ ¤ ç 6a. 4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «:+∞√Z( 3 x + x3 )αdx.2(x17 + 2) arcsin x2x+2¥è¥­¨¥.0x4n+1 .  ¤¨ãáá室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£® àï¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï 49 x4 <qRx 03< 1, ®âªã¤ |x| <f (t)dt =2 = R.

’®£¤ f (x) = f (0) += − 34 x 1 − 49 x4n=0n+1 n+144n+2 . DZਠ¯®ç«¥­­®¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨n (−1)C−1 (4n+2)·32n+1 xf (x) =√( 3 x+x3 )α(x17 +2) arcsin> 0 ¯à¨ x > 0.x2x2 +2ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞. I =+∞+∞RR1R=f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 . Š ¦¤ë© ¨§¨ ­ ©â¨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£® àï¤ .f 0 (x)∞P04  §«®¦¨âì ¯® á⥯¥­ï¬ x äã­ªæ¨îf (x) = arcctg √= π2 +01¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.

„«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áïC¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª f (x) ∼ 2−α ¯à¨ x → 0, â®x3CI1 á室¨âáï ⇔ 2 − α3 < 1 ⇔ α > 3. ’ ª ª ª f (x) ∼ x17−3α¯à¨16x → +∞, â® I2 á室¨âáï ⇔ 17 − 3α > 1 ⇔ α < 3 . ˆ­â¥£à «41I á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à « I1 á室¨âáï ¨ ¨­â¥£à « I2 á室¨âáï ⇔⇔ 3 < α < 163 . ‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.‡ ¤ ç 6¡. 6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «+∞Zsin x3 dx.(x + cos ln x)α11‡ ¬¥­®© t = x3 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­®£®+∞+∞RRf (t)dt =¨­â¥£à « I =g(t) sin tdt, £¤¥ g(t) =¥è¥­¨¥.=t2+α311ln1+ cos √3t√3tα1> 0. Ÿá­®, çâ®lim g(t) = 0 ⇔t→+∞2+α3>> 0 ⇔ α > −2. DZ®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2 ¨­â¥£à « á室¨âáﯮ ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥, ¯à¨ α 6 −2 { à á室¨âáï ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.RξI) ‘ å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. 1) ∀ ξ ∈ [1; +∞) sin t dt 6 2.12) DZ஢¥à¨¬, çâ® g(t) 0 ¯à¨ t > t0 ¨ α > −2.

„®áâ â®ç­®1 ¯à¨ t > t0 ¨ α > −2, íâ® ¢ë⥪ ¥â¤®ª § âì, çâ® h(t) = g(t)¨§ á«¥¤ãî饣® ã⢥ত¥­¨ï: ∀ α > − 2 √ α α−2cos √ln 3 t31+×t∃ t0 > 1 ∀ t > t0 h0 (t) = 2+α33t√√−1√√3ln 3 tπsinln× 3 t − α2+α2 1 + cos √> 0, ¯®áª®«ìªãt+34täã­ªæ¨ï ¢ ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å áâ६¨âáï ª +∞ ¯à¨ t → +∞.ˆ§ 1) { 2) ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥ § ª«îç ¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2¨­â¥£à « I á室¨âáï.II)  á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ’ ª ª ª ∀ α 6 −2 lim g(t) > 1, â®t→+∞∀ α 6 −2 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 21 . ‡­ ç¨â, ∀ α 6 −2 ∃ t0 > 1δδπ000∀ 00δ > t0 ∃n = 00 2π + 1 > 2π ∃ ξ 00= 2πn > δ, ∃ ξ = 2 + 2πn > δ : Rξ RξRξ f (t) dt = g(t) sin t dt > 21 sin t dt = 12 . ˆâ ª,ξ 0 ξ0ξ042 00 Rξ∀ α 6 −2 ∃ ε0 = 12 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 .ξ 0DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨ α 6 −2.III) € ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.

ˆ­â¥£à « I ¬®¦¥â ¡á®«îâ­® á室¨âìáï «¨èì ¯à¨ â¥å §­ 祭¨ïå α, ¯à¨ ª®â®àëå+∞R®­ á室¨âáï. DZਠα > −2 ¨­â¥£à «g(t) cos 2t dt á室¨âáï ¯®¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥. ’®£¤ ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨§ 楯®çª¨+∞+∞+∞RRR­¥à ¢¥­áâ¢g(t) dt >g(t)| sin t| dt >g(t) sin2 t dt ==12+∞R1+∞R11g(t) dt −|f (t)| dt =á室¨âáï ⇔+∞R1+∞R112t+∞R11g(t) cos 2t dt > 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¨­â¥£à «1g(t)| sin t| dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «C2+α3dt á室¨âáï ⇔2+α3+∞Rg(t) dt1> 1 ⇔ α > 1.á室¨âáï ¡á®«îâ­®, ¥á«¨ α > 1; á室¨âáï ãá«®¢­®,¥á«¨ −2 < α 6 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 −2.Žâ¢¥â:‡ ¤ ç 7a.

Характеристики

Список файлов книги