МУ - Методы решения экзаменационных задач по математическому анализу (1238752), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

’ ª ª ª lim 1+α 1 2α =¨­â¥£à « I =1+α2αt→+∞ t 2 (ln t)9 t 2 (ln t) 1+α0= 0 ⇔ α > −1 ¨ ¯à¨ α > −1 ¯à®¨§¢®¤­ ï t 2 (ln t)2α >> 0 ¯à¨ ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å t, â® ¨­â¥£à « Iá室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α > −1 ¨ à á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α 66 −1 ¯® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ á室¨¬®á⨠¨à á室¨¬®áâ¨. DZ® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã¯à¨§­ ªã ¡á®«îâ­®©+∞R cos(2t+1) 1+αá室¨¬®á⨠¨­â¥£à « t 2 (ln t)2α dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «=0⇔α<< 25 ¨ ¯à¨ α < 52 äã­ªæ¨ï g(t) 0 ­ «ãç¥ [t0 , +∞). DZ®âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ á室¨¬®áâ¨, à á室¨¬®á⨠¨ ¡á®«îâ­®© á室¨¬®á⨠­ 室¨¬, çâ® ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¯à¨α < 25 , à á室¨âáï ¯à¨ α > 25 ¨ ¡á®«îâ­® á室¨âáï ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ 5 − 2α > 1 ⇔ α < 2.DZ à ¨ ¬ ¥ à.ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãîá室¨¬®áâì ¯à¨ ω 6= 0 ¨­â¥£à «ë+∞+∞ZZcos(ωx + ϕ)sin(ωx + ϕ)dx, I8 =dx.I7 =βαx ln xxα lnβ x22¥è¥­¨¥.(DZãáâì g(x) =1.xα lnβ x’®£¤ lim g(x) = 0 ⇔x→+∞α > 0, ∀ β.

„«ï ª ¦¤®© ¯ àë §­ 祭¨© α ¨ β ¨§α = 0, β > 0¯®«ã祭­ëå ¤«ï α ¨ β §­ 祭¨© ­ ©¤ñâáï â ª®¥ x0 > 2, çâ® ¤«ï⇔f ↑, g ↓ ­ [a, +∞) ¨ h = f ◦ g, â® ¨§ x1 > x2 ⇒ g(x1 ) 6 g(x2 ) ⇒ f (g(x1 )) 66 f (g(x2 )) ⇒ h(x1 ) 6 h(x2 ). ‡­ ç¨â, h ↓ ­ [a, +∞). €­ «®£¨ç­®2223à áᬠâਢ îâáï ¤à㣨¥ á«ãç ¨.¢á¥å x > x0 ¯à®¨§¢®¤­ ï g0 (x) =−1(xα−1 lnβ−1 x)(α ln x +(xα lnβ x)2+ β) < 0. ‡­ ç¨â, äã­ªæ¨ï g(x) ¬®­®â®­­ ­ «ãç¥ [x0 , +∞).DZ®(âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ ¨­â¥£à «ë( I7 , I8 á室ïâáïα > 0, ∀ βα > 1, ∀ β.⇔¨ ¡á®«îâ­® á室ïâáï ⇔α = 0, β > 0α = 1, β > 1DZ à ¨ ¬ ¥ à.8ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞Rx√dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « I =sin sin3x¥è¥­¨¥.sin z = z −+∞R =z−1z363z6DZãáâì z = z(x) =+z5120dx +sinx√3x .1’®£¤ + o(z 5 ) ¯à¨ z → 0, I =+∞R 1z5120lim z(x) = 0,x→+∞+∞Rsin zdx =1+ o(z 5 ) dx = I1 + I2 . „®ª ¦¥¬ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ¨­â¥£à « I2 .

DZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå z (¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å x)á¯à ¢¥¤«¨¢®, çâ® 55z5 5 1 6 |z|5 = | sin x| 6 1+o(z)+o(1)=|z| 120 120x5/3x5/3+∞R dx¨ ¨­â¥£à «á室¨âáï (íâ «®­), â® ¨­â¥£à «x5/31 z5 120 + o(z 5 ) dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.+∞R 1ˆâ ª,¨­â¥£à « I2 á室¨âáï (¨ ¤ ¦¥ ¡á®«îâ­®). „®ª ¦¥¬ á室¨+∞+∞+∞R R 3R3¬®áâì ¨­â¥£à « I1 =z − z6 dx =z dx.zdx − 611ˆ­â¥£à «+∞R+∞R11sin xx dxzdx =á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥:1Rξ11) ∀ ξ ∈ [1; +∞) sin xdx = | cos 1−cos ξ| 6 2; 2) lim √= 0;3x→+∞ x118â® ¢ ¦­ë© ¯à¨¬¥à ¤à㣮£® ª« áá íª§ ¬¥­ 樮­­ëå § ¤ ç ­ íâã⥬ã.2413) äã­ªæ¨ï ψ(x) = √3 x ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x > 1. ˆ­â¥£à «+∞+∞R 3R sin3 xz dx =x dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥: 1) ∀ ξ ∈11Rξ 3 3∈ [1; +∞) sin3 xdx = cos3 ξ − cos ξ − cos3 1 − cos 1 6 4;12)lim 1x→+∞ x= 0; 3) äã­ªæ¨ï ψ(x) =1x¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨x > 1. ‘室¨¬®áâì I1 ¤®ª § ­ .

ˆ§ á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1¨ I2 á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì ¨­â¥£à « I = I1 + I2 . €¡á®«îâ­®©á室¨¬®á⨠­¥â. „¥©á⢨⥫쭮, | sin z(x)| ∼ |z(x)| ¯à¨ x →+∞+∞RR→ +∞, ¯®í⮬㠨­â¥£à «| sin z(x)|dx á室¨âáï ⇔|z|dxá室¨âáï. ®−12+∞R1+∞R1cos2x√3 x dx+∞R|z|dx =1+∞R1| sin x|√3 x dx> 0, ¨­â¥£à «+∞R1>dx√3x+∞R1sin2x√3 x dx=121+∞R1dx√3x−à á室¨âáï (íâ «®­), á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥: 1) ∀ ξ ∈Rξ1= 0; 3) äã­ªæ¨ï∈ [1; +∞) cos 2xdx 6 2; 2) lim √3x→+∞ x1¨­â¥£à «1cos2x√3 x dx1ϕ(x) = √3 x ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x > 1. ‡­ ç¨â, ¨­â¥£à «+∞R|z| dx ®æ¥­¨¢ ¥âáï á­¨§ã à á室ï騬áï ª +∞ ¨­â¥£à «®¬1¨ à á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.Žâ¢¥â: ¨­â¥£à « I á室¨âáï ãá«®¢­®.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.DZ®à冷ª ¬ «®á⨠¢ à §«®¦¥­¨¨ sin z¢ë¡¨à «áï â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¨­â¥£à « I2 á室¨«áï ¡á®«îâ­®.

„®áâ â®ç­® ¢ë¡à âì ­ ¨¬¥­ì訩 â ª®© ¯®à冷ª.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.’ ª ª ª I = I1 + I2 ¨ ¨­â¥£à « I2á室¨âáï ¡á®«îâ­®, â® ¨­â¥£à «ë I ¨ I1 á室ïâáï ¨ ¡á®«îâ­®á室ïâáï ®¤­®¢à¥¬¥­­®. â® ã⢥ত¥­¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¨§­ ª áà ¢­¥­¨ï ¨ ®§­ ç ¥â, çâ® ¨â¥£à «ë I ¨ I1 íª¢¨¢ «¥­â­ë ¢25á¬ëá«¥ á室¨¬®áâ¨: ®­¨ «¨¡® ®¡ á室ïâáï ¡á®«îâ­®, «¨¡®®¡ á室ïâáï ãá«®¢­®, «¨¡® ®¡ à á室ïâáï.DZ à ¥ ¤ « ® ¦ ¥ ­ ¨ ¥.9 ¥¯à¥à뢭 ï ­¥çñâ­ ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª ïäã­ªæ¨ï f : R → R ­ «î¡®¬ «ãç¥ [a, +∞) ¨¬¥¥â®£à ­¨ç¥­­ãî ¯¥à¢®®¡à §­ãî.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠äã­ªæ¨ï f¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥. DZãáâì T > 0a+TRaRf (x)dx = f (t + T )dt ={ ¯¥à¨®¤ ä㭪樨 f. ∀ a ∈ R0T=+Raf (t)dt. ’®£¤ ∀ a ∈ R0a+TRf (x)dx =RT¨¬¥¥¬:aRTTf (x)dx =Tf (t)dt +0− T2TR20R2R0f (x)dx +af (x)dx. DZ®« £ ï a =0=−f (x)dx =0TR2a+TRf (x)dx = −− T2R− T2 ,RTf (x)dx +0Tf (−x)d(−x) +0f (x)dx =0f (x)dx = 0. ‡­ ç¨â, ∀ a ∈ Ra+TR5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì1nxfn (x) = √.cos1 + enxx+2¥è¥­¨¥a1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) =n→∞ã¯à ¦­¥­¨¥í⮯।«®¦¥­¨¥¨­®£¤ ®¡®á­®¢ë¢ ¥âáï­ á¥¬¨­ àáª¨å § ­ïâ¨ïå, ­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬ ¢ ¯¨á쬥­­®© à ¡®â¥ ¡¥§¤®ª § ⥫ìá⢠¬®¦­® ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ®­® ¡ë«® ¤®ª § ­® ­ «¥ªæ¨ïå.26√1x+22)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| =21nx√= √x+2sin2= x+2 1 − cos 1+enx= f (x).nx2(1+enx ) ;xn = n1 ∈ E1 ¯à¨ n > 2;1|Rn (xn )| = q 12 sin2 2(1+e)⇒n=+2⇒ ∀ n > 2 sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > |Rn (xn )| =1.sin2 2(1+e)1q2n+2…᫨ ¯à¥¤¥«lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } áãé¥áâ¢ã¥â, â®n→∞1lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > lim q 12 sin2 2(1+e)=n→∞+2n√1= 2 sin2 2(1+e)> 0.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨¡® ¯à¥¤¥« lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 }n→∞­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, «¨¡® ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï.n→∞Š ªx6Ž â ¢ ¥ â: á室¨âáï ãá«®¢­®.f (x)dx = 0.a+nTRDZ® ¨­¤ãªæ¨¨ ∀ a ∈ R ∀ n ∈ Nf (x)dx = 0.

„ «¥¥, ∀ b > aa b−a : n 6 b−a∃ n = TT < n + 1. ’®£¤ 0 6 b − a − T n < Tba+nTRRbRRb¨ f (x)dx =f (x)dx = f (x)dx, £¤¥ β =f (x)dx+aaa+nTβ = a + nT, 0 6 b − β < T. ’ ª ª ª ∀ x0 ∃ n = xT0 ∈ Z :n 6 xT0 < n + 1, 0 6 x0 − nT < T, â® f (x0 ) = f (x0 − nT ) 66 M = sup{f (x) : x ∈ [0; T ]} ¨ f (x0 ) = f (x0 − nT ) > µ == inf{f (x) : x ∈ [0; T ]}. —¨á« M ¨ µ áãé¥áâ¢ãîâ ¯® ⥮६¥‚¥©¥àèâà áá ® ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ äã­ªæ¨ïå.

‡­ ç¨â,9“ ¯ à ¦ ­ ¥ ­ ¨ ¥. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞R2)√dx.arctg cos x·ln(x+xá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «9 4‡ ¤ ç 6 .¢ ᨫ㠭¥çñâ­®á⨠fR2∃ C = |M | + |µ| + 1 > 0 ∀ x ∈ R |f (x)| < C. ’®£¤ ∀ a ∈ R RbRb Rb ∀ b > a ¢¥à­®, çâ® f (x)dx = f (x)dx 6 |f (x)|dx 6 CT. βa βDZ।«®¦¥­¨¥ ¤®ª § ­®. Ž¯¨à ïáì ­ íâ® ¯à¥¤«®¦¥­¨¥, ¬®¦­®¬£­®¢¥­­® § ª«îç¨âì, çâ® ¯¥à¢®®¡à §­ë¥ ä㭪権 sin x ¨sin3 x ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à ®£à ­¨ç¥­ë.27‚ «î¡®¬ á«ãç ¥ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x)­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E1 .fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

DZਢ¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦­® ®ä®à¬¨â쭥᪮«ìª® ¨­ ç¥, § ¬¥â¨¢, çâ®∃ n0 > 2 ∀ n > n0 sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } √> |Rn (xn )| =111= q 12 sin2 2(1+e)> 12 · lim q 12 sin2 2(1+e)= 22 sin2 2(1+e)>n+2n→∞n+2> 0. ’®£¤ ­¥¢¥à­®, çâ® lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } = 0. ‡­ ç¨â,n→∞ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E1 .fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.DZਢ¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ ®á­®¢ ­® ­ á«¥¤ãî饬 ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ (á¬. [1]): fn (x) ⇒ f (x) ­ E ⊂ Rn ⇔⇔ lim sup{|f (x) − fn (x)| : x ∈ E} = 0.

 ¢­®á¨«ì­®¥n→∞®¯à¥¤¥«¥­¨¥ (2) á®á⮨⠢ ⮬, çâ® fn (x) ⇒ f (x) ­ E ⊂ Rn ⇔⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ x ∈ E |f (x) − fn (x)| <1=< ε. ‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥ lim |Rn n1 | = lim q 12 sin2 2(1+e)n→∞n→∞+2n√1= 2 sin2 2(1+e)= 2ε0 > 0. ‡­ ç¨â, ∃ ε0 > 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N∃ xn = n1 ∈ E1 : |Rn (xn )| > ε0 . ‘®£« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î (2),á室¨¬®áâì ­ E1 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.3)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞).2nx∀ n ∈ N ∀ x ∈ E2 |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = √x+2sin2 2(1+enx ) 6226 enx6 enn , ¯®áª®«ìªã ¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ n ∈nx0∈ N ¯à¨ x ∈ E2 ¯à®¨§¢®¤­ ï enx= n(1−nx)< 0 ¨nx xenxnx 2 0, â ª çâ® ∀ n ∈ N ∀ x ∈äã­ªæ¨ï ϕn (x) = enx∈ E2 |ϕn (x)| 6 lim ϕn (x) = sup{ϕn (x) : x ∈ E2 } = x→1+0n 2= ϕn (1) = en ¯® ⥮६¥ ® ¯à¥¤¥«¥ ¬®­®â®­­®© ä㭪樨¨ ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ϕn (x).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ n ∈ N 0 626 sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } 6 enn . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ ®§ ¦ ⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = 0,n→∞28¨ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­®á室¨âáï ª f (x) ­ E2 .„ à ã £ ® © á ¯ ® á ® ¡. ’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E2 |Rn (x)| =2nx2nx 2= |f (x) − fn (x)| = √x+2sin2 2(1+e6 enn < ε ¤«ïnx ) 6enx¢á¥å n > n0 (ε), £¤¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ε ¯à®¨§¢®«ì­®, â®, ᮣ« á­®®¯à¥¤¥«¥­¨î (2), á室¨¬®áâì ­ E2 à ¢­®¬¥à­ ï.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞ sin xnPx2 +n2.1+ln2 n‡ ¤ ç 6¡.n=11) ‘室¨¬®áâì. DZ®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∪E2 ∀ n ∈ Nxn∞Px2 +n2CC0 < un (x) = 1+ln∼22 , n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤nn ln nn ln2 n¥è¥­¨¥.siná室¨âáï (íâ «®­), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 à勞ਧ­ ªã áà ¢­¥­¨ï.∞Pn=1n=2un (x) á室¨âáï ¯®‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. â «®­ ¬¨ ïîâáï á«¥¤ãî騥 ç¨á«®¢ë¥àï¤ë (C 6= 0):∞PCnα { á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 1;n=1∞Pn=2Cnα lnβ n{ á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1 ¯à¨ «î¡®¬ β ; ¥á«¨ α = 1,â® á室¨âáï ¯à¨ β > 1; ¢® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå { à á室¨âáï.‘室¨¬®áâì ¨«¨ à á室¨¬®áâì íâ¨å à冷¢ ¯à¨ α > 0, ∀ β ¨¯à¨ α = 0, β > 0 ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯® ¨­â¥£à «ì­®¬ã ¯à¨§­ ªã(á«¥¤ã¥â ¨§ á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢); ¢® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå㪠§ ­­ë¥ ç¨á«®¢ë¥ àï¤ë à á室ïâáï, ¯®áª®«ìªã ®¡é¨© ç«¥­ª ¦¤®£® ¨§ ­¨å ­¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ n → ∞.xn62) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∀ n > 1 |un (x)| 6 (x2 +n2 )(1+ln2n)∞P 16 n ln12 n ¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§­ ªãn ln2 nn=229‚¥©¥àèâà áá ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pn=1un (x) á室¨âáï à ¢­®-¬¥à­® ­ E1 .3) Ž¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) ⇒ 0 ­ E1 ∪ E2 .

Характеристики

Список файлов книги