МУ - Методы решения экзаменационных задач по математическому анализу (1238752), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E1 0 <x3< n < 1, â® ¯® ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢63n→∞∞Pä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ¨¬¥¥¬: ch xn − 1 = x 2nch2 ξ , 0 < ξ < 1. Šà®¬¥ − x2 1⮣®, n n 6 1. DZ®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N |un (x)| 6 ch2n2∞PC¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2 á室¨âáï, â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n=1ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pun (x) á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .n=1√3) ∀ n > 2 xn =13n ∈ E2 . ’ ª ª ª lim |un (xn )| =n→∞= lim n−1/3 | ch 1 − 1| = | ch 1 − 1| > 0, â® ä㭪樮­ «ì­ë©n→∞ n∞Pàï¤un (x) á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 (á室¨¬®áâì àï¤ n=1ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1).5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ¨­â¥£à «+∞Zlnα (1 + x2 )p√dx.x + x4‡ ¤ ç 6 .0¥è¥­¨¥.α2√√(1+x ) > 0 ¤«ï x > 0 ¨ ¢á¥åf (x) = ln4x+xα. ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞.

I =+∞+∞RR1R=f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 . Š ¦¤ë© ¨§001¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. „«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï.

’ ª ª ª f (x) ∼ 1C−2α ¯à¨ x → 0, â®x4I1 á室¨âáï ⇔ 41 − 2α < 1 ⇔ α > − 83 . ’ ª ª ª f (x) ∼ x2 lnC−α x¯à¨ x → +∞, â® I2 á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α ¨§ R. ˆ­â¥£à « I59á室¨âáï ⇔ I1 á室¨âáï ¨ I2 á室¨âáï ⇔ α > − 83 . ‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ¨­â¥£à «‡ ¤ ç 6¡.πZ4eα ctg x cos(ctg x) dx.0‡ ¬¥­®© t = ctg x § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì+∞+∞RR eαt cos tdt =­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =f (t)dt =1+t2¥è¥­¨¥.=+∞R1g(t) cos t dt, £¤¥ g(t) =1eαt1+t21.lim g(t) = 0 ⇔ α 6 0.t→+∞DZ®ª ¦¥¬, çâ® ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¡á®«îâ­® ¯à¨ α 6 0 ¯®¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨ à á室¨âáï ¯à¨ α > 0 ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.€ ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.

∀ α 6 0 ∀ t > 1 |f (t)| 6+∞R 1eαt16 1+tdt á室¨âáï (íâ «®­). DZ® ¯à¨§­ ªã2 6 t2 . ˆ­â¥£à «t2áà ¢­¥­¨ï ¨­â¥£à «1+∞R1|f (t)|dt á室¨âáï. á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ’ ª ª ª ∀ α > 0 lim g(t) = +∞, â®t→+∞∀ α > 0 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 1. DZ®í⮬ã ∀ α > 0 ∃ t0 >δδ> 1 ∀ δ > t0 ∃ n = 2π+ 1 > 2π∃ ξ 0 = 2πn > δ, ∃ ξ 00 =000000 RξRξRξπcos t dt =g(t) cos t dt >= 2 + 2πn > δ : f (t) dt =ξ 0ξ0ξ0= 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,∀ α > 0 ∃ ε0 = 1 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > 00 Rξ> δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 { á¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ïξ 0Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « 60I=+∞Rf (t) dt. DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨1¢á¥å α > 0.Žâ¢¥â: ¡á®«îâ­® á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 0, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨α > 0.‡ ¤ ç 7.5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ O(0, 0) äã­ªæ¨î 5 y4 x ln 1 +, y 6= 0,(x2 + y 2 )2z(x, y) = y 30,y = 0.∂zd∂x (0, 0) = dx z(x, 0)|x=0d= dy 0 = 0, z(0, 0) = 0,d= dx0 = 0,â® äã­ªæ¨ï=z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,√z(x,y)ª®£¤ ∃= 0.limx2 +y 2(x,y)→(0,0) x5 ln 1+ y4 y3(x2 +y 2 )2|x|5 |y| 6 6√ 2 2√I ᯮᮡ.

0 6 22x +y(x +y )2x2 +y 25 √√px2 +y 2x2 +y 2√6x2 + y 2 → 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0).622 222¥è¥­¨¥.∂z∂y (0, 0)(x +y )’ ª ª ªddy z(0, y)|y=0x +y‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).II ᯮᮡ.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: x == ρ cos ϕ, y = ρ sinϕ. ’®£¤ ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ [0, 2π) \ {0, π} x5 ln 1+ y4 y3(x2 +y 2 )2 cos5 ϕ4√á¯à ¢¥¤«¨¢® = ρ sin3 ϕ ln(1 + sin ϕ) 62 +y 2x6 |ρ cos5 ϕ sin ϕ| 6 =∈ [0, 2π) √z(x,y)22x +y ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃ρ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 ρ → 0 ¯à¨ ρ → +0.ρlim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).61= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)α >§ 5.‚ ਠ­â Œ”’ˆ-025  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë¢ â®çª¥ M (0, 1) ä㭪樨 f (x, y), ¥á«¨ f (x, y) = ln(1 ++ y sin x).

 §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f (x, y) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ M (0, 1) ¤® o(x2 + (y − 1)2 ).¥è¥­¨¥. DZãáâì u = x − 0, v = y − 1. ’®£¤ f (x, y) == f (u, v + 1) = g(u, v) = ln(1 + (v + 1) sin u) = ln(1 + sin u ++ v sin u) = ln(1 + u + uv + o(ρ2 )) = u + uv − 21 u2 + o(ρ2 ), £¤¥ρ2 = x2 + (y − 1)2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f (x, y) = x + x(y − 1) −− 21 x2 + o(x2 + (y − 1)2 ) ¥áâì ¨áª®¬®¥ ⥩«®à®¢áª®¥ à §«®¦¥­¨¥,®âªã¤ ¢¨¤­®, çâ® df (0, 1) = dx, d2 f (0, 1) = −dx2 + 2dxdy.Žâ¢¥â: df (M ) = dx; d2 f (M ) = −dx2 + 2dxdy; f (x, y) = x ++ x(y − 1) − 12 x2 + o(x2 + (y − 1)2 ).‡ ¤ ç 1.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ­¥¯à¥à뢭®áâì ¨¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¯à¨ ¢á¥å α ∈ R ¢ â®çª¥ O(0, 0) äã­ªæ¨î:(arctg(|x|α |y|1/3 ), x2 + y 2 6= 0f (x, y) =0,x2 + y 2 = 0.‡ ¤ ç 2.¥è¥­¨¥.DZਠα 6 0 äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ O(0, 0), ¯®í⮬㠭¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥ (¯®« £ ¥¬ 0α ¯à¨α 6 0p­¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« , ¯à¨ α > 0 0α = 0).

DZãáâì α > 0¨ ρ = x2 + y 2 > 0. ’®£¤ |f (x, y)| 6 ρα ρ1/3 = ρα+1/3 → 0,lim f (x, y) = 0 = f (0, 0) ¨¥á«¨ (x, y) → (0, 0). ‡­ ç¨â, ∃(x,y)→(0,0)äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ O(0, 0).∂f∂x (0, 0)= lim∆x→0f (∆x,0)−f (0,0)∆x0−0∆x→0 ∆xlim 0−0∆y→0 ∆y= lim= 0.(0,0)= lim f (0,∆y)−f== 0.∆y∆y→0 6 ρα+1/3 = ρα−2/3 → 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0), ¥á«¨0 6 √f (x,y)ρ22∂f∂y (0, 0)x +y6223.‡­ ç¨â, ¤«ï ª ¦¤®£® α >23∃lim(x,y)→(0,0)√f (x,y) = 0 ¨22x +yäã­ªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).√f (x,y)=limDZãáâì α ∈ 0, 32 .

’®£¤ ¯® ¯àאַ© x = 022= 0, ¯® ¯àאַ© y = x√f (x,y)limx2 +y 2(x,y)→(0,0)=x +y(x,y)→(0,0)arctg√|x|α+1/36=lim2|x|x→00.‡­ ç¨â, äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).Žâ¢¥â: ­¥¯à¥à뢭 ¯à¨ α > 0 ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯à¨α > 32 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 f (x, y) ¬®¦­®¯®­¨¬ âì ª ª ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã ¥ñ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.DZਠα 6 0 í⨬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¡ã¤¥â ¬­®¦¥á⢮ M = {(x; y) ∈∈ R2 : x = 0 ⇒ y = 0}. ’®£¤ ¯à¨ α = 0 äã­ªæ¨ïf (x, y) ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ O(0; 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã M ,â ª ª ª ¯à¨ α = 0 ¨ (x; y) ∈ M |f (x, y)| 6 ρ1/3 → 0, ¥á«¨M 3 (x, y) → (0, 0).

‡­ ç¨â, ∃limf (x, y) = 0 =M 3(x,y)→(0,0)= f (0, 0), ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì. DZਠα < 0 ¯® ªà¨¢®© y == |x|−3αlim f (x, y) = lim arctg 1 = arctg 1, ¯® ªà¨¢®©y =x→0(x,y)→(0,0)−6α|x|lim f (x, y) = lim arctg |x|−αx→0(x,y)→(0,0)ªà¨¢ë¬ à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, @lim= 0. DZ® à §­ë¬M 3(x,y)→(0,0)f (x, y) ¨ ¯à¨α < 0 äã­ªæ¨ï f (x.y) ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ O(0; 0)¯® ¬­®¦¥áâ¢ã M .‡ ¤ ç 3.3  ©â¨ ¯«®é ¤ì 䨣ãàë, ®£à ­¨ç¥­­®©ªà¨¢ë¬¨ y = ex sin x, y = 0, x = π4 , £¤¥ 0 6 x 6 π4 .„¢ ¦¤ëç áâï¬,I =R¥è¥­¨¥.R x ¨­â¥£à¨àãï ¯®R ­ 室¨¬xxx= e sin xdxR = − e d cos x = −e cos x + Rcos xde = −−ex cos x + ex d sin x = −ex cos x + ex sin x − ex sin xdx =x= ex (sin x − cos x) − I ⇒ I = e2 (sin x − cos x) + C.

ˆáª®¬ ïπ/4R xxπ/4¯«®é ¤ì S =e sin xdx = e2 (sin x − cos x)|0 = 21 .0634 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞R arctg(x−1)√dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «ex (x− 3 x)α‡ ¤ ç 4a.1‡ ¬¥­®© t = x − 1 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ­¥á®¡+∞Rarctg√tá⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =dt.

DZ®¤ë­â¥£à «ì­ ïet (1+t− 3 1+t)α¥è¥­¨¥.0arctgt√> 0 ¯à¨ t > 0 ¨ ¢á¥å α ¨§äã­ªæ¨ï f (t) = et (1+t−31+t)αR. ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞. I =+∞+∞RR1R=f (t)dt = f (t)dt +f (t)dt = I1 + I2 . Š ¦¤ë© ¨§001¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. „«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áïC¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª f (t) ∼ tα−1¯à¨ t → 0, ⮨­â¥£à « I1 á室¨âáï ⇔ α − 1 < 1 ⇔ α < 2. ’ ª ª ª f (t) ∼∼ etCtα ¯à¨ t → +∞, â® I2 á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α ¨§ R. ˆ­â¥£à «I á室¨âáï ⇔ I1 á室¨âáï ¨ I2 á室¨âáï ⇔ α > 2.

‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞Rlnα 1 + x1 sin x3 dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «‡ ¤ ç 4b.1‡ ¬¥­®© t = x3 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì+∞+∞RR­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =f (t)dt =g(t) sin tdt =¥è¥­¨¥.=+∞R11t2/3ln 1 +α1√3t1sin t dt. lim g(t) =t→+∞1limt→+∞12+αt 3= 0 ⇔⇔ α > −2. „®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2 ¨­â¥£à « I á室¨âáﯮ ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥, ¯à¨ α 6 −2 à á室¨âáï ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.I) ‘ å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.

DZਠα > −2 ¯à®¨§¢®¤­ ï g0 (t) = −4/3−2/3 α lnα−1 (1+t−1/3 )1= − 32 t−5/3 lnα (1 + t−1/3 ) + t·−=−1/33 t(1+t)64− 31 t−2 lnα−1 (1 + t−1/3 ) 2t1/3 ln(1 + t−1/3 ) +α(1+t−1/3 )−2 lnα−1 (1− 2+α3 t==+= − 13 t−2 lnα−1 (1 + t−1/3 )(2 + α + o(1)) ∼+ t−1/3 ) < 0 ¯à¨ t → +∞.’ ª¨¬®¡à §®¬,1)g(t)0¯à¨Rξt → +∞, 2) ∀ ξ ∈ [1, +∞) sin tdt = | − cos ξ + cos 1| 6 2. DZ®1¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥ ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α > −2.II)  á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.

∀ α < 2 lim g(t) = +∞, ¯à¨ α = −t→+∞lim g(t) = 1. ’®£¤ ∀ α > −2 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 21 .t→+∞δδ+ 1 > 2π∃ ξ0 =‡­ ç¨â, ∀ α > −2 ∃ t0 > 1 ∀ δ > t0 ∃ n = 2π00 Rξ 00Rξ= 2πn > δ, ∃ ξ 00 = π2 + 2πn > δ : f (t) dt = g(t) sin t dt >ξ 0 ξ0−21200Rξsin t dt = 12 . ˆâ ª, ∀ α > −2 ∃ ε0 = 12 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > 00 Rξ> δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 . ‘¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ïξ 0Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « +∞RI=f (t) dt.

DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨>ξ01¢á¥å α > −2.III) € ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.‚®á¯®«ì§ã¥¬áï| sin t|¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª |f (t)| ∼ 2+α ¯à¨ t → +∞, ⮨­â¥£à «2+α3+∞R1t|f (t)|dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «3+∞R1| sin t|t2+α3dt á室¨âáï> 1 ⇔ α > 1 (íâ «®­).Žâ¢¥â: ¡á®«îâ­® á室¨âáï ¯à¨ α > 1; ãá«®¢­® á室¨âáï¯à¨ −2 < α 6 1; à á室¨âáï ¯à¨ α 6 2.⇔‡ ¤ ç 5.¥è¥­¨¥.∞P32n (n!)42 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì àï¤(3n)!(n+1)! .n=1 an+1 32n+2 (n+1)!4(3n)!(n+1)!= an =(3n+3)!(n+2)! ·32n (n!)46549(n+1)→= (3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+2)„ « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.927< 1, n → ∞. DZ® ¯à¨§­ ªã5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãî+∞)á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1,p√ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) = n ln 1 + nx .√x = f (x).

Характеристики

Список файлов книги